インテジャーズ

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数、特に整数に関する記事。

ディリクレの近似定理

有理数と無理数を分かつもの。それは「近似の精度」である。

Dirichletの近似定理 \omegaを実数とする。このとき、任意の自然数nに対して整数a, bが存在して、0< a < nおよび
\displaystyle \left|a\omega -b\right| < \frac{1}{n}
が成り立つ。

証明. [0, 1)

\displaystyle \left[ 0, \frac{1}{n} \right) \cup \left[ \frac{1}{n}, \frac{2}{n} \right) \cup \cdots \cup \left[ \frac{n-1}{n}, 1\right)

と分ける。\{k\omega\} := k\omega - [k\omega] \in [0, 1) \ \ (k=0, 1, \dots, n)を考える。このとき、鳩の巣原理からi > jが存在して、\{i\omega\}\{j\omega\}は同じ小区間に属する。すなわち、0 < i-j < nおよび

\displaystyle \left|\{i \omega\}-\{j\omega\}\right| < \frac{1}{n},

\displaystyle \left|(i-j)\omega -([i\omega]-[j\omega])\right| < \frac{1}{n}

が成り立つ。よって、a:=i-j, b:=[i\omega]-[j\omega]とすればよい。 Q.E.D.

定義 有理数p/q \ (p, q \in \mathbb{Z}, q > 0)が実数\omegaDirichlet近似であるとは、
\displaystyle \left| \omega - \frac{p}{q} \right| < \frac{1}{q^2}
が成り立つときにいう。

補題 実数\omegaのDirichlet近似であって、分母がq > 0であるようなものは高々二個しか存在しない。

証明. p/q\omegaのDirichlet近似ならば

\displaystyle q\omega -\frac{1}{q} < p < q\omega +\frac{1}{q}

が成り立つ。よって、これを満たすpは高々二個であることがわかる。 Q.E.D.

定理1 実数\omegaが有理数ならば、\omegaのDirichlet近似は有限個しか存在しない。

証明. \omega = b/a \ (a, b \in \mathbb{Z}, b > 0)p/q \neq b/a\omegaのDirichlet近似とする。このとき、

\displaystyle \frac{1}{q^2} > \left| \frac{a}{b} - \frac{p}{q} \right| = \frac{|aq-bp|}{bq} \geq \frac{1}{bq}

である。従って、q < bとなり、\omegaのDirichlet近似の分母の取り得る値は有限個しか存在しない。補題と合わせると所望の結果を得る。 Q.E.D.

定理2 実数\omegaが無理数ならば、\omegaのDirichlet近似は無数に存在する。

証明. \omegaのDirichlet近似が有限個しか存在しなかったと仮定する。すると、任意の\omegaのDirichlet近似p/qに対して

\displaystyle \frac{1}{n} < |q\omega - p| -①

が成り立つような自然数nが存在する(\omegaは無理数なので、|q\omega - p| は常に正であることに注意)。このnに対してDirichletの近似定理を適用すると、a, b \in \mathbb{Z}であって、0 < a < nおよび

\displaystyle |a \omega - b |  < \frac{1}{n} -②

を満たすものが存在する。このとき、

\displaystyle \left| \omega - \frac{b}{a} \right| < \frac{1}{an} < \frac{1}{a^2}

となって、b/a\omegaのDirichlet近似であることがわかる。すると、①、②は矛盾する。従って、\omegaのDirichlet近似は無数に存在する。 Q.E.D.