ディリクレの近似定理 - インテジャーズ

有理数と無理数を分かつもの。それは「近似の精度」である。

Dirichletの近似定理 $\omega$ を実数とする。このとき、任意の自然数 $n$ に対して整数 $a, b$ が存在して、 $0< a < n$ および

$\displaystyle \left|a\omega -b\right| < \frac{1}{n}$

が成り立つ。

証明. $[0, 1)$ を

$\displaystyle \left[ 0, \frac{1}{n} \right) \cup \left[ \frac{1}{n}, \frac{2}{n} \right) \cup \cdots \cup \left[ \frac{n-1}{n}, 1\right)$

と分ける。 $\{k\omega\} := k\omega - [k\omega] \in [0, 1) \ \ (k=0, 1, \dots, n)$ を考える。このとき、鳩の巣原理から $i > j$ が存在して、 $\{i\omega\}$ と $\{j\omega\}$ は同じ小区間に属する。すなわち、 $0 < i-j < n$ および

$\displaystyle \left|\{i \omega\}-\{j\omega\}\right| < \frac{1}{n},$

$\displaystyle \left|(i-j)\omega -([i\omega]-[j\omega])\right| < \frac{1}{n}$

が成り立つ。よって、 $a:=i-j$ , $b:=[i\omega]-[j\omega]$ とすればよい。 Q.E.D.

定義有理数 $p/q \ (p, q \in \mathbb{Z}, q > 0)$ が実数 $\omega$ のDirichlet近似であるとは、

$\displaystyle \left| \omega - \frac{p}{q} \right| < \frac{1}{q^2}$

が成り立つときにいう。

補題実数 $\omega$ のDirichlet近似であって、分母が $q > 0$ であるようなものは高々二個しか存在しない。

証明. $p/q$ が $\omega$ のDirichlet近似ならば

$\displaystyle q\omega -\frac{1}{q} < p < q\omega +\frac{1}{q}$

が成り立つ。よって、これを満たす $p$ は高々二個であることがわかる。 Q.E.D.

定理１ 実数 $\omega$ が有理数ならば、 $\omega$ のDirichlet近似は有限個しか存在しない。

証明. $\omega = b/a \ (a, b \in \mathbb{Z}, b > 0)$ 、 $p/q \neq b/a$ を $\omega$ のDirichlet近似とする。このとき、

$\displaystyle \frac{1}{q^2} > \left| \frac{a}{b} - \frac{p}{q} \right| = \frac{|aq-bp|}{bq} \geq \frac{1}{bq}$

である。従って、 $q < b$ となり、 $\omega$ のDirichlet近似の分母の取り得る値は有限個しか存在しない。補題と合わせると所望の結果を得る。 Q.E.D.

定理２ 実数 $\omega$ が無理数ならば、 $\omega$ のDirichlet近似は無数に存在する。

証明. $\omega$ のDirichlet近似が有限個しか存在しなかったと仮定する。すると、任意の $\omega$ のDirichlet近似 $p/q$ に対して

$\displaystyle \frac{1}{n} < |q\omega - p|$ -①

が成り立つような自然数 $n$ が存在する( $\omega$ は無理数なので、 $|q\omega - p|$ は常に正であることに注意)。この $n$ に対してDirichletの近似定理を適用すると、 $a, b \in \mathbb{Z}$ であって、 $0 < a < n$ および

$\displaystyle |a \omega - b | < \frac{1}{n}$ -②

を満たすものが存在する。このとき、

$\displaystyle \left| \omega - \frac{b}{a} \right| < \frac{1}{an} < \frac{1}{a^2}$

となって、 $b/a$ は $\omega$ のDirichlet近似であることがわかる。すると、①、②は矛盾する。従って、 $\omega$ のDirichlet近似は無数に存在する。 Q.E.D.