有理数と無理数を分かつもの。それは「近似の精度」である。
Dirichletの近似定理
を実数とする。このとき、任意の自然数
に対して整数
が存在して、
および
が成り立つ。
証明. を
と分ける。を考える。このとき、鳩ノ巣原理から
が存在して、
と
は同じ小区間に属する。すなわち、
および
が成り立つ。よって、,
とすればよい。 Q.E.D.
定義 有理数
が実数
のDirichlet近似であるとは、
が成り立つときにいう。
補題 実数
のDirichlet近似であって、分母が
であるようなものは高々二個しか存在しない。
証明. が
のDirichlet近似ならば
が成り立つ。よって、これを満たすは高々二個であることがわかる。 Q.E.D.
定理1 実数
が有理数ならば、
のDirichlet近似は有限個しか存在しない。
証明. 、
を
のDirichlet近似とする。このとき、
である。従って、となり、
のDirichlet近似の分母の取り得る値は有限個しか存在しない。補題と合わせると所望の結果を得る。 Q.E.D.
定理2 実数
が無理数ならば、
のDirichlet近似は無数に存在する。
証明. のDirichlet近似が有限個しか存在しなかったと仮定する。すると、任意の
のDirichlet近似
に対して
が成り立つような自然数が存在する(
は無理数なので、
は常に正であることに注意)。この
に対してDirichletの近似定理を適用すると、
であって、
および
を満たすものが存在する。このとき、
となって、は
のDirichlet近似であることがわかる。すると、
、
は矛盾する。従って、
のDirichlet近似は無数に存在する。 Q.E.D.