Weyl Differencing

Weyl DifferencingによってWeylの一様分布定理を二次式の場合に拡張しましょう。

記号: 実数 $\alpha$ に対して、 $\alpha$ に一番近い整数との距離を $\left\|\alpha\right\|$ と表し*1、 $e(\alpha) := e^{2\pi \sqrt{-1}\alpha}$ とします
( $\left|e(\alpha)\right|=1$ )。

補題１ $\alpha$ を任意の実数とし、 $N$ を正の整数とする。このとき、

$\displaystyle \left| \sum_{n=1}^Ne(\alpha n) \right| \leq \min \left\{ N, \frac{1}{2\left\|\alpha\right\|}\right\}$

が成り立つ。

証明. 三角不等式より

$\displaystyle \left| \sum_{n=1}^Ne(\alpha n) \right| \leq N$

が成り立つ。 $\alpha \not \in \mathbb{Z}$ であれば、等比数列の和の公式と三角不等式により

$\displaystyle \left| \sum_{n=1}^Ne(\alpha n) \right| = \frac{\left|e(\alpha)-e(\alpha(N+1))\right|}{\left|1-e(\alpha)\right|} \leq \frac{2}{\left|1-e(\alpha)\right|} = \frac{2}{\left|e(\alpha/2)-e(-\alpha/2)\right|} = \frac{1}{\left|\sin(\pi \alpha)\right|}$

を得る。任意の実数 $x$ に対して $\left|\sin(\pi x)\right| \geq 2\left\|x\right\|$ が成り立つ*2ので証明が完了する。 Q.E.D.

Weyl Differencing $N \geq 2$ を整数とし、 $P(X)$ を実数係数多項式とする。

$\displaystyle S:=\sum_{n=1}^Ne(P(n))$

に対して

$\displaystyle \left|S\right|^2 \leq N+2\sum_{h=1}^{N-1}\left| \sum_{n=1}^{N-h}e\left( P(n+h)-P(n) \right) \right|$

が成り立つ。

$P(n+h)-P(n)$ の次数は $P(n)$ の次数より $1$ 落ちていることに注意しましょう。多項式に関する指数和を評価する際に次数を $1$ 下げることができるというテクニックが"Weyl Differencing"です。

証明. 実数 $x$ に対して $\overline{e(x)}=e(-x)$ であることに注意すると

$\displaystyle \left|S\right|^2 = \sum_{n=1}^N\sum_{m=1}^Ne(P(m)-P(n))$

と変形できる。 $h=m-n$ とすると $1-N \leq h \leq N-1$ であり、

$\max\{1, 1-h\} \leq n=m-h \leq \min\{N, N-h\}$

なので、

$\begin{align} \left|S\right|^2 &= \sum_{1-N \leq h \leq N-1}\sum_{n=\max\{1, 1-h\}}^{\min\{N, N-h\}}e(P(n+h)-P(n)) \\ &= \left( \sum_{h=0}^{N-1}\sum_{n=1}^{N-h}+\sum_{h=1-N}^{-1}\sum_{n=1-h}^N \right) e(P(n+h)-P(n)) \\ &= N + \sum_{h=1}^{N-1}\sum_{n=1}^{N-h}e(P(n+h)-P(n)) + \sum_{k=1}^{N-1}\sum_{j=1}^{N-k}e(P(j)-P(j+k)) \\ &= N + 2\mathrm{Re}\left( \sum_{h=1}^{N-1}\sum_{n=1}^{N-h}e(P(n+h)-P(n))\right) \\ &\leq N+2\sum_{h=1}^{N-1}\left| \sum_{n=1}^{N-h}e(P(n+h)-P(n))\right| \end{align}$

と計算できる。 Q.E.D.

命題１ $N, a, q$ は整数で $N, q \geq 2$ , $a$ と $q$ は互いに素とする。また、実数 $\alpha$ が

$\displaystyle \left| \alpha-\frac{a}{q} \right| \leq \frac{1}{q^2}$

を満たすものとする。 $\beta, \gamma$ は実数。このとき、指数和評価

$\displaystyle \left| \sum_{n=1}^Ne(\alpha n^2+\beta n+\gamma) \right| \leq 8N\left( \frac{1}{\sqrt{q}}+\sqrt{\frac{1}{N}+\frac{q+4N}{N^2}\log q} \right)$

が成り立つ。

これがメインの計算ですが、もう少し準備が必要です。

補題２ $L, M, N$ は $L \leq M$ を満たす $2$ 以上の整数。 $\alpha_1, \dots, \alpha_L$ は実数で、 $i \neq j$ に対して $\left\|\alpha_i-\alpha_j\right\| \geq 1/M$ が成り立つものとする。このとき、

$\displaystyle \sum_{l=1}^{L}\min\left\{ N, \frac{1}{\left\|\alpha_l\right\|}\right\} \leq 2N+8M\log M$

が成り立つ。

証明. $\left\| \ \ \right\|$ の値は $\bmod{1}$ で決まるので $\alpha_1, \dots, \alpha_L \in [-1/2, 1/2)$ と仮定しても一般性を失わない。また、必要ならば $\alpha_l \mapsto -\alpha_l$ とすることによって

$\displaystyle \sum_{\substack{1 \leq l \leq L \\ \alpha_l \geq 0}}\min\left\{N, \frac{1}{\left\|\alpha_l\right\|}\right\} \geq \frac{1}{2}\sum_{l=1}^L\min\left\{N, \frac{1}{\left\|\alpha_l\right\|}\right\}$

が成り立つと仮定しても一般性を失わない。番号を入れ替えることによって非負値を取るものが

$0 \leq \alpha_1 < \alpha_2 < \cdots < \alpha_r < \frac{1}{2}$

だとする。このとき、 $1 \leq j < i \leq r$ に対して $\left\| \alpha_i \right\| = \alpha_i$ かつ $\left\|\alpha_i - \alpha_j\right\|=\alpha_i-\alpha_j$ なので、仮定より

$\displaystyle \alpha_i \geq \frac{i-1}{M}$

である。従って、

$\begin{align}\sum_{\substack{1 \leq l \leq L \\ \alpha_l \geq 0}}\min\left\{N, \frac{1}{\left\|\alpha_l\right\|}\right\} &\leq \sum_{i=0}^{r-1}\min\left\{ N, \frac{M}{i}\right\} = \sum_{i=0}^{[M/N]}N+\sum_{M/N < i < r}\frac{M}{i} \\ &\leq \left( \left[ \frac{M}{N} \right] + 1 \right) N + \sum_{i=1}^M\frac{M}{i} \leq N+2M+M\log M \\ &\leq N+4M\log M\end{align}$

を得る。よって、

$\displaystyle \sum_{l=1}^L\min\left\{N, \frac{1}{\left\|\alpha_l\right\|}\right\} \leq 2N+8M\log M$

が示された。Q.E.D.

次の補題は繊細な議論が必要であり、Keyとも言えます。

補題３ $a, q, \alpha$ は命題１と同じ設定。正整数 $k_1, k_2$ が $0 < \left| k_2-k_1\right| \leq q/2$ を満たすならば

$\displaystyle \left\|\alpha k_2 - \alpha k_1 \right\| \geq \frac{1}{2q}$

が成り立つ。

証明. $\beta := \alpha - a/q$ とすると $\left|\beta\right| \leq 1/q^2$ であり、

$\displaystyle \left\|\alpha k_2-\alpha k_1 \right\| = \left\| (k_2-k_1)\frac{a}{q} + (k_2-k_1)\beta \right\|$

である。 $(a, q)=1$ と $0 < \left|k_2-k_1\right| \leq q/2$ より $(k_2-k_1)a/q$ は整数ではない。

$\displaystyle (k_2-k_1)\frac{a}{q} \in \frac{1}{q}\mathbb{Z}$

であり

$\displaystyle \left|(k_2-k_1)\beta \right| \leq \frac{1}{2q}$

なので、

$\displaystyle \left\|\alpha k_2-\alpha k_1 \right\| \geq \left\| (k_2-k_1)\frac{a}{q} \right\| - \frac{1}{2q} \geq \frac{1}{q} - \frac{1}{2q} = \frac{1}{2q}$

を得る。 Q.E.D.

命題２ $N, a, q, \alpha$ は命題１と同じ設定で $H$ を正の整数とする。このとき、

$\displaystyle \sum_{k=1}^H \min\left\{N, \frac{1}{\left\|\alpha k\right\|} \right\} \leq 2\left(N+\frac{4HN}{q}+16(q+4H)\log q\right)$

が成り立つ。

証明. 和の範囲を $[q/2]$ 個ずつに分けるというアイデアによって

$\displaystyle \sum_{k=1}^H \min\left\{N, \frac{1}{\left\|\alpha k\right\|} \right\} \leq \sum_{j=0}^{[4H/q]}\sum_{k=j[q/2]+1}^{(j+1)[q/2]}\min\left\{N, \frac{1}{\left\|\alpha k\right\|} \right\}$

とする。この内側の和は補題３によって $L=[q/2], M=2q$ に対して補題２が適用できる形になっており、

$\begin{align} \sum_{k=1}^H \min\left\{N, \frac{1}{\left\|\alpha k\right\|} \right\} &\leq 2\left( 1+\frac{4H}{q} \right) (N+8q\log (2q)) \\ &\leq 2\left( 1+\frac{4H}{q} \right)(N+16q\log q) \\ &= 2\left(N+\frac{4HN}{q}+16(q+4H)\log q\right) \end{align}$

が示された。 Q.E.D.

命題１の証明. $P(X) = \alpha X^2+\beta X+\gamma$ とすると

$P(X+h)-P(X) = 2\alpha h X + \alpha h^2 + \beta h$

である。よって、Weyl Differencingと補題１によって

$\begin{align}\left| \sum_{n=1}^Ne(\alpha n^2+\beta n+\gamma) \right|^2 &\leq N+2\sum_{h=1}^{N-1}\left| \sum_{n=1}^{N-h}e(2\alpha hn + \alpha h^2 + \beta h) \right| \\ & = N+2\sum_{h=1}^{N-1}\left| \sum_{n=1}^{N-h}e(2\alpha hn) e(\alpha h^2 + \beta h) \right| \\ &= N+2\sum_{h=1}^{N-1}\left| \sum_{n=1}^{N-h}e(2\alpha hn) \right| \\ &\leq N + 2\sum_{h=1}^{N-1}\min \left\{ N-h, \frac{1}{\left\| 2\alpha h \right\|} \right\} \\ &\leq N+2\sum_{k=1}^{2N}\min \left\{N, \frac{1}{\left\|\alpha k \right\|} \right\} \end{align}$

と評価できる。よって、命題２で $H=2N$ とすることにより

$\begin{align} \left| \sum_{n=1}^Ne(\alpha n^2+\beta n+\gamma) \right|^2 &\leq N+4\left(N+\frac{8N^2}{q}+16(q+8N)\log q\right) \\ &\leq 64\left( \frac{N^2}{q} + N+(q+8N)\log q\right)\end{align}$

であり、

$\displaystyle \left| \sum_{n=1}^Ne(\alpha n^2+\beta n+\gamma) \right| \leq 8N\left( \frac{1}{\sqrt{q}}+\sqrt{\frac{1}{N}+\frac{q+4N}{N^2}\log q} \right)$

を得る。 Q.E.D.

定理 $\alpha$ を無理数, $\beta, \gamma$ を実数とする。このとき、数列 $\{\alpha n^2+\beta n+\gamma\}_{n=1}^{\infty}$ は $\bmod{1}$ で一様分布する。

証明. $(a, q)=1$ なる整数 $a$ と $q\geq 2$ に対して

$\displaystyle \left| \alpha-\frac{a}{q} \right| \leq \frac{1}{q^2}$ −①

であれば、命題１より

$\displaystyle \frac{1}{8N}\left| \sum_{n=1}^Ne(\alpha n^2+\beta n+\gamma) \right| \leq \frac{1}{\sqrt{q}}+\sqrt{\frac{1}{N}+\frac{q+4N}{N^2}\log q} \xrightarrow{N \to \infty} \frac{1}{\sqrt{q}}$