INTEGERS

数、特に整数に関する記事。

2017-11-23

19441

整数整数-3 整数-13 整数-12721 整数-19441 整数-5516281 整数-7321991041 整数-363500177041 整数-2394196081201 整数-3163427380990801 整数-22755817971366481 整数-3788978012188649281 整数-2918756139031688155201

$p+1$ が $2\times$ 素数、 $p+2$ が $3\times$ 素数、 $p+3$ が $4\times$ 素数、 $p+4$ が $5\times$ 素数となる最小の素数 $p$ は $19441$ です。

$\begin{align}19442&= 2 \times 9721 \\ 19443 &= 3 \times 6481 \\ 19444 &= 4 \times 4861 \\ 19445 &= 5 \times 3889\end{align}$

一般に $k=2, \dots, m$ に対して $p+k-1$ が「 $k\times$ 素数」となるような最小の素数 $p$ を $a_m$ とすると

$\begin{align} a_2 &= 3 \\ a_3 &=13\\ a_4 &=12721\\ a_5 &=19441\\ a_6 &=5516281\\ a_7 &=5516281\\ a_8 &=7321991041\\ a_9 &=363500177041\\ a_{10} &=2394196081201\\ a_{11} &=3163427380990801\\ a_{12} &=22755817971366481\\ a_{13} &=3788978012188649281\\ a_{14} &=2918756139031688155201\end{align}$

となっています。 $12721$ は回文素数ですね。 $m \geq 4$ であれば $a_m+4$ が $5$ で割り切れ $a_m$ は奇数なので、 $a_m \equiv 1 \pmod{10}$ が成り立ちます。