2017-01-29

ラマヌジャンによる円周率近似の作図②

整数整数-2143 整数-22 数数-円周率 Ramanujan

$2143$ は $1, 2, 3, 4$ を並び替えてできる素数の一つですが、 $\displaystyle \frac{2143}{22}$ が $\pi^4$ に近いという事実は覚える価値があります:

$\displaystyle \sqrt[4]{\frac{2143}{22}} = 3.14159265258264612520603717964402237155787798316012\dots$

Ramanujanは

$\displaystyle \frac{2143}{22} = 9^2+\frac{19^2}{22}$

と書けることに着目して次のような作図を提唱しています：

f:id:integers:20180211233243p:plain

$AB$ は円 $O$ の直径.
$C$ は弧 $AB$ の中点.
$T$ は $AO$ を $1:2$ に内分する点.
$CM=MN=AT$ .
$AP=AM$ .
$PQ$ は $MN$ に平行.
$TR$ は $OQ$ に平行.
$AS=AR$ で $\angle OAS=90^{\circ}$ .

このとき、Ramanujan曰く「 $OS$ と $OB$ の比例中項は円周の $6$ 分の $1$ に非常に近い」。

実際、 $AO=1$ とすれば $\displaystyle AT=CM=MN=\frac{1}{3}$ であり、 $AC=\sqrt{2}$ .

$\displaystyle AM = \sqrt{2+\frac{1}{9}} = \frac{\sqrt{19}}{3}$ .

$\displaystyle AN = \sqrt{2+\frac{4}{9}} = \frac{\sqrt{22}}{3}$ .

$\displaystyle \frac{AP}{AN} = \sqrt{\frac{19}{22}}$ .

よって、 $\displaystyle AQ=\sqrt{\frac{19}{22}} \times AM = \frac{19}{3\sqrt{22}}$ . $\ \displaystyle AS=\frac{1}{3}AQ = \frac{19}{9\sqrt{22}}$ .

$\displaystyle OS = \frac{1}{9}\sqrt{9^2+\frac{19^2}{22}} = \frac{1}{9}\sqrt{\frac{2143}{22}}$ .

よって、 $OS$ と $OB$ の比例中項は $\displaystyle \frac{1}{3}\sqrt[4]{\frac{2143}{22}}$ となる。

2017-01-28

Shanksの恒等式の拡張と円周率近似の作図

整数整数-31 整数-113 整数-355 数数-円周率 Ramanujan

以前紹介したShanksの恒等式

integers.hatenablog.com

はWilliam G. Spohn, Jr. によって次のように拡張できることが指摘されています:

$K^2=m+n$ のとき、

$\sqrt{K+\sqrt{n}}+\sqrt{K+m-\sqrt{n}+2\sqrt{m(K-\sqrt{n})}} = \sqrt{m}+\sqrt{2(K+\sqrt{m})}.$

$11^2=5+116$ のときがShanksの恒等式になっています。他には、例えば $6^2=5+31$ より

$\begin{align}&\sqrt{6+\sqrt{31}}+\sqrt{11-\sqrt{31}+2\sqrt{30-5\sqrt{31}}} = \sqrt{5}+\sqrt{12+2\sqrt{5}}\\ &=6.294655903737137999795666954270866835755781658953676453787\dots \end{align}$

が得られますし、 $12^2=31+113$ より

$\begin{align}&\sqrt{12+\sqrt{113}}+\sqrt{43-\sqrt{113}+2\sqrt{372-31\sqrt{113}}} = \sqrt{31}+\sqrt{24+2\sqrt{31}}\\ &=11.49528734681414510373602785519044656701402256143457869209\dots \end{align}$

が得られます。

$6^2=5+31$ 、 $12^2=31+113$ と言えばピンとくるものがありますよね。

~~私がフリーハンドで描いた次の芸術的な図をご覧ください~~(GeoGebraで描き直しました)：

f:id:integers:20180212004837p:plain

$O$ を中心とする円を考える.
$AB$ は円の直径.
$M$ は $AO$ の中点. $T$ は $OB$ を $2:1$ に内分する点.
$PT$ は $AB$ と垂直.
$BQ=PT$ .
$OS$ と $TR$ は $BQ$ と平行.
$AD=AS$ .
$AC=RS$ で、 $AC$ を延長してできる直線は円の $A$ における接線.
$BE=BM$ .
$EX$ は $CD$ と平行*1.

このとき、Ramanujan曰く、「 $BX^2$ は円の面積に非常に近い」(1914年)。

$AO=1$ としてみましょう。勾股弦の定理を使っていけば計算できます*2。まず、 $PT$ を求めると $\displaystyle PT=\frac{\sqrt{5}}{3}$ . よって、 $\displaystyle BQ=\frac{\sqrt{5}}{3}$ . これより、

$\displaystyle AQ=\sqrt{4-\frac{5}{9}}=\frac{\sqrt{6^2-5}}{3}=\frac{\sqrt{31}}{3}$ .

よって、 $\displaystyle AS=\frac{\sqrt{31}}{6}$ 、 $\displaystyle AC=RS=\frac{\sqrt{31}}{9}$ .

$\displaystyle BC = \sqrt{4+\frac{31}{81}}=\frac{\sqrt{18^2+31}}{9}=\frac{\sqrt{355}}{9}$ .

$\displaystyle BE=BM=\frac{3}{2}$ .

$\displaystyle BD = \sqrt{4-\frac{31}{36}}=\frac{\sqrt{12^2-31}}{6} = \frac{\sqrt{113}}{6}$ .

従って、

$\displaystyle BX= \frac{BE}{BD}\times BC = \frac{\frac{3}{2}}{\frac{\sqrt{113}}{6}}\times \frac{\sqrt{355}}{9} = \sqrt{\frac{355}{113}}$ .

すなわち、 $BX^2$ は密率

$\displaystyle \frac{355}{113}=3.141592920353982300884955752212389380530973451327433628318\dots$

になっていることが分かりました。密率については

integers.hatenablog.com

tsujimotter.hatenablog.com

をご覧ください。

実は密率に現れる $113$ と $355$ には $31$ が

$113= 12^2-31, \quad 355= 18^2+31$

という形で関わっており、それを上手く作図化したというわけです。見事。

*1: $X$ は $AD$ 上にはない。

*2:integers.hatenablog.com

2017-01-26

基準完全数

整数整数-6 整数-60 整数-90 整数-87360 整数-146361946186458562560000

$\sigma$ を約数総和関数とするとき、 $\sigma (n)=2n$ が成り立つような正整数のことを完全数というのでした：
integers.hatenablog.com

$d$ を $n$ の正の約数とするとき、 $d$ が基準約数であるとは、 $d$ と $n/d$ が互いに素であることと定義します。

例） $36=3\times 12=4 \times 9$ なので、 $3$ や $12$ は $36$ の基準約数ではないが、 $4$ や $9$ は $36$ の基準約数である。

$\sigma$ の類似として、 $n$ の基準約数の総和を $\sigma^{\ast}(n)$ と定義します。

例） $36$ の基準約数は $1, 4, 9, 36$ なので、 $\sigma^{\ast}(36)=1+4+9+36=50$ が成り立つ。

$\sigma^{\ast}(1)=1$ であり、 $n > 1$ については $n=p_1^{e_1}\cdots p_k^{e_k}$ と素因数分解することによって

$\sigma^{\ast}(n)=(1+p_1^{e_1})\cdots (1+p_k^{e_k})$

が成り立つことが分かります(約数の素因数 $p_i$ の指数が $e_i$ より小さいとそれは基準約数ではない)。よって、 $\sigma^{\ast}$ は乗法的関数です*1。

この基準約数という概念を用いて、基準完全数が定義されます：

定義正の整数 $n$ が基準完全数であるとは、 $\sigma^{\ast}(n)=2n$ が成り立つときにいう。

知られている基準完全数は全部で五個です。

一つ目
$6=2\times 3, \quad \sigma^{\ast}(6)=(1+2)(1+3)=12$

二つ目
$60=2^2\times 3\times 5, \quad \sigma^{\ast}(60)=(1+4)(1+3)(1+5)=120$

三つ目
$90=2\times 3^2\times 5, \quad \sigma^{\ast}(90)=(1+2)(1+9)(1+5)=180$

四つ目
$87360=2^6\times 3\times 5\times 7\times 13$

$\begin{align} \sigma^{\ast}(87360)&=(1+64)(1+3)(1+5)(1+7)(1+13)\\ &=(5\times 13) \times 2^2\times (2\times 3)\times 2^3\times (2\times 7)=2^7\times 3\times 5 \times 7 \times 13\end{align}$

五つ目
$\begin{align}&146361946186458562560000\\ &= 2^{18} \times 3 \times 5^4 \times 7 \times 11 \times 13 \times 19 \times 37 \times 79 \times 109 \times 157 \times 313\end{align}$

$\begin{align}&\sigma^{\ast}(146361946186458562560000)\\ &= (1+2^{18})(1+3)(1+5^4)(1+7)(1+11)(1+13)(1+19)(1+37)(1+79)(1+109)\\ &\quad \quad \times (1+157)(1+313)\\ &= 262145 \times 4 \times 626 \times 8 \times 12 \times 14 \times 20 \times 38 \times 80\times 110 \times 158 \times 314 \\ &= (5\times 13\times 37\times 109)\times 2^2 \times (2 \times 313) \times 2^3 \times (2^2\times 3) \times (2\times 7) \times (2^2\times 5) \\ &\quad \quad \times (2\times 19)\times (2^4\times 5) \times (2 \times 5 \times 11) \times (2 \times 79) \times (2\times 157)\\ &=2^{19}\times 3 \times 5^4 \times 7 \times 11 \times 13 \times 19 \times 37 \times 79 \times 109 \times 157 \times 313\end{align}$