は素数ですが、の分割を
これ以上、1つの数式では読み込まないようなので仕切り直し。
と書き下したときに現れる+の個数がですね。
以前、Ramanujanの不等式
を紹介した際に証明を割愛したLandauの定理
の証明を紹介します。
幾つかの補助的関数を導入して証明する。は実数。は正の整数。和のは素数。Landauの記号はで考える。範囲が空集合であるような和はと定義する。
証明. まず、
であり、対数法則を用いれば
も同様にわかる。よって、
証明. に関する帰納法で証明する。のときは
最後の等号は素数定理に他ならない。
のときに成立すると仮定すると、
と関数 をに対して導入すれば ということになる。つまり、を任意にとると、が存在して
が成り立つ。ここで、帰納法で示す主張を少し強く変更する。すなわち、ならば常に
となるような定数 の存在を帰納法の仮定に加える。の存在はChebyshevの定理の証明チェビシェフの定理 - INTEGERSを見ればわかる(この場合はで存在)。帰納法の仮定のもと、の場合にも強い主張が成立することを確かめよう。Mertensの第二定理より或る定数が存在して、で
が成り立ち、
なる漸近公式が成立する。のとき、補題1より
なので、の存在がわかる(上記変形におけるの評価はで成立)。また、かつ必要に応じて更に大きく取るとき
となって、①よりの場合も主張が成立することが示された。 Q.E.D.
証明. これは、
と
よりわかる。 Q.E.D.
証明. なので、命題と補題2から従う。 Q.E.D.
Landauの定理のの場合は素数定理なので、以下 とする。
証明. まず、
と上から評価でき、とすれば
と下から評価できる。 なので系1より
これと より、系1から
が成り立つ。 Q.E.D.
が相異なる個の素数の積であれば であり、等しいものを含む個の素数の積の場合はなので
はでと書け、少なくとも2つのは等しいものの個数なので、
である。つまり、
であり、系2からLandauの定理が導かれる。
#85は素数番目の素数と素数番目の素数との積でありながら合成数番目の合成数でない最小の自然数 #みらいけん数学デー pic.twitter.com/WtPKtNVdwX
— 鯵坂もっちょ (@motcho_tw) 2017年4月11日
だぶん【駄文】くだらない文章。
は番目の合成数であり、であるがとはそれぞれ番目の素数と番目の素数であり、ともに超素数だ*1。はこのような性質を持つ最小の正整数だという。みらいけん数学デーという数学好きの人々が集まる場所での発見らしい。面白いことを考える人達がいるものだ。他にこんな数があるかを調べてみると、が番目の合成数 −は当然素数であるが− であり、に対しては番目の素数、は番目の素数である。せっかくなので用語を導入しよう。二つの素数の積を半素数*2と呼ぶのにならって二つの超素数の積は半超素数とするのがよかろう。素数番目の素数を素数の中の素数として超素数と呼ぶのであれば、合成数番目の合成数を合成数の中の合成数として超合成数と呼ぶとして、考察対象にある合成数番目ではない合成数は頻度こそ珍しかれど、合成数の世界では平凡なものとして凡合成数とでも呼ばしてもらおう*3。お前、合成数なのに素数番目なのかよ。そうすれば、半超素数が合成数としては凡合成数なのであれば、それは凡半超素数とでも呼べばよいか。は最小の凡半超素数であり、は番目の凡半超素数といった具合である。それでは、凡半超素数はどれぐらい存在するのであろうか。無数に存在するのか、それとも有限個しかないのか。皆が思う当然の疑問である。しかし、午前4時を過ぎて頭の働かない今、とてもそんなことを証明できそうにもない。例えば、以下の半超素数の個数を、以下の超素数の個数をとでも書くのであれば、が成り立つが −勿論は超素数を表す記号として用いている− 超素数定理を使って計算をすると、素数のときとは違って超素数の逆和は有界なのであるから、ということになる。一方、以下の凡合成数の個数はであり、素数定理よりに漸近する(エリートの方が圧倒的に多いということになる。何がおかしいかというと命名がおかしい。追記:やっぱり合成数番目の合成数は平凡だ。素数番目の合成数の方が超合成数に相応しいかもしれない。すると超半超素数のできあがり。さっき裏切り合成数を提案したが、劣合成数もよいなあ)。以下の数が目の前にあったときにそれが凡合成数である確率はであると考えることにすれば、確率論的に賢い議論をする気力もなく、陳腐な評価であるが以下の凡半超素数の個数はであると期待してよいだろう。おかしなことばかり言っている気がするが、凡半超素数は無数に存在すると予想してよいのではなかろうか。
起きたら消すだろう。たぶん。
*3:スーパーマンでない人間はすなわち凡人である。追記:やっぱり、裏切り合成数がいい気がしてきた。裏切り半超素数とかね。