2020-05-14

Q&ABC (おまけ)

ABC予想

せきゅーん: やあ、久しぶり。

ラムネ: この間、ABC予想から非ヴィーフェリッヒ素数の無限性を導出するシルヴァーマンとは別の方法があると言っていたよね。今日はそれを教えて欲しい。

せきゅーん: 了解。その方法は「Mollin-Walsh予想」と関係している。予想の主張は「3連続するパワフル数は存在しない」というものだ。未解決問題である。

ラムネ: へえ。パワフル数というのは素因数分解したときの指数が全て $2$ 以上となるような自然数だね。パワフル数 - INTEGERS

せきゅーん: シルヴァーマン(1988年)よりも前の1986年にグランヴィルが

Mollin-Walsh予想 $\Longrightarrow$ 非ヴィーフェリッヒ素数の無限性

を証明している。

ラムネ: そんな仕事があるんだね。ABC予想に限らず他のどんな予想から導出されるかを考えるのも確かに興味深い。

せきゅーん: 簡単なところでいくと

メルセンヌ素数の無限性 $\Longrightarrow$ 非ヴィーフェリッヒ素数の無限性

が言えたりもする。先にこちらを見てみよう。1つ補題を証明したい。正整数 $m$ と奇素数 $p$ が条件

$2^m\equiv 1\pmod{p},\quad 2^{p-1}\equiv 1 \pmod{p^2}$

を満たすならば

$2^m\equiv 1 \pmod{p^2}$

が成り立つ。これはヴィーフェリッヒ素数の基本性質と言える。

ラムネ: それは証明できそうだからやってみていい？とりあえず $g$ を $m$ と $p-1$ の最大公約数 $g:=(m,p-1)$ とおくと、ベズーの等式によって $2^g\equiv 1 \pmod{p}$ なので、 $2^g=1+ap$ と整数 $a$ を用いて表示できる。これを利用すれば

$2^{p-1}=(2^g)^{\frac{p-1}{g}}=(1+ap)^{\frac{p-1}{g}}\equiv 1+a\cdot\frac{p-1}{g}\cdot p\pmod{p^2}$

が得られるので、 $2^{p-1}\equiv 1 \pmod{p^2}$ となるためには $p\mid a$ でなければならないことが判明する。すると、 $2^g\equiv 1\pmod{p^2}$ が帰結されるので、特に $2^m\equiv 1 \pmod{p^2}$ が成り立つ。

せきゅーん: あれベズーの等式っていうんだ。

さて、 $p$ をメルセンヌ素数とする。すると、ある素数 $l$ が存在して $p=2^l-1$ と書ける。

ラムネ: メルセンヌ素数の定義そのものだね。

せきゅーん: この $p$ が非ヴィーフェリッヒ素数であることを示したい。もし、ヴィーフェリッヒ素数であれば、 $2^{p-1}\equiv 1 \pmod{p^2}$ が成り立つので、先ほど示した補題によって $2^l\equiv 1 \pmod{p^2}$ となってしまう。それは $p$ が $p^2$ で割り切れると言っていてあり得ない。

ラムネ: なるほど〜。メルセンヌ素数は必ず非ヴィーフェリッヒ素数なんだね。でも、実際は殆どの非ヴィーフェリッヒ素数がメルセンヌ素数ではないだろうから、メルセンヌ素数の無限性なんていう超絶ゲキムズ未解決問題を使わずに導出できた方が嬉しいね。

せきゅーん: そうだね。それでは次にグランヴィルの定理を示そう。つまり、Mollin-Walsh予想から非ヴィーフェリッヒ素数の無限性を証明しよう。

非ヴィーフェリッヒ素数が有限個しか存在しなかったと仮定し、最大の非ヴィーフェリッヒ素数を $p_0$ とおく。すると、 $p > p_0$ なる素数 $p$ は全てヴィーフェリッヒ素数だ。うへー、想像するだけでヤバすぎる世界だ。

ラムネ: うへー。

せきゅーん: そして、全ての $p_0$ 以下の素数を掛けた整数を $t$ とおく。この $t$ に対して整数 $A$ を

$\displaystyle A:=2^{t\varphi(t)}$

と定義する。ここで、 $\varphi(t)$ はオイラーのトーシェント関数だ。

ラムネ: もし存在したとすると $A$ は破茶滅茶にでかいね。

せきゅーん: この破茶滅茶にでかい整数 $A$ について、著しい性質が成り立つ。それは、

全ての正整数 $n$ に対して $A^n-1$ はパワフル数である。

という性質だ。 $A^n-1$ の全ての素因数 $p$ についてその指数が $2$ 以上、すなわち

$\displaystyle A^n\equiv 1\pmod{p^2}$

であることを示せばよい。 $A^n-1$ は奇数だから、 $p$ は奇素数だ。まず、 $p \leq p_0$ の場合を考えよう。このとき、 $t$ の定義とトーシェント関数の乗法性から $p(p-1)\mid t\varphi(t)$ が成り立つ。よって、オイラーの定理から $2^{p(p-1)}\equiv 1\pmod{p^2}$ なので、 $A$ の定義から $A\equiv 1\pmod{p^2}$ が成り立つ。特に、 $A^n\equiv 1\pmod{p^2}$ だ。

次に $p > p_0$ の場合を考えよう。このとき $p$ はヴィーフェリッヒ素数なので $2^{p-1}\equiv 1\pmod{p^2}$ が成り立つ。更に、 $p$ が $A^n-1$ の素因数であるという仮定から $2^{nt\varphi(t)}\equiv 1\pmod{p}$ が成り立つ。よって、先ほどの補題から

$A^n=2^{nt\varphi(t)}\equiv 1\pmod{p^2}$

と所望の合同式が得られる。これで、 $A^n-1$ がパワフル数であることが証明された。

ラムネ: $A$ がうまく構成されているなあ。

せきゅーん: Mollin-Walsh予想が正しいと仮定しよう。今示した定理から特に $A-1$ と $A^2-1=(A-1)(A+1)$ がパワフル数である。 $A-1$ と $A+1$ の最大公約数は $1$ または $2$ であるが、 $A$ が偶数なので $A-1$ と $A+1$ は互いに素であることがわかる。よって、 $A+1$ もパワフル数でなければならない。また、自明に $A$ はパワフル数である。こうして、

$A-1,\quad A, \quad A+1$

と3連続パワフル数が得られてMollin-Walsh予想に矛盾する。すなわち、非ヴィーフェリッヒ素数は無数に存在しなければならない。

ラムネ: 証明された！素晴らしい！！

ところで、これとABC予想が何か関係してくるの？

せきゅーん: もし、

ABC予想 $\Longrightarrow$ Mollin-Walsh予想

が言えればグランヴィルの定理と合わせてシルヴァーマンの定理の別証明が得られることになる。

ABC予想 $\Longrightarrow$ Mollin-Walsh予想 $\Longrightarrow$ 非ヴィーフェリッヒ素数の無限性

という流れだ。これについてはシルヴァーマン自身が言及しており、「ABC予想 $\Longrightarrow$ Mollin-Walsh予想」が言えるかは知られていないということだ。

ラムネ: じゃあダメじゃん。

せきゅーん: ところがだ。実は次のような論理の流れなら実現できる。

ABC予想 $\Longrightarrow$ 弱いMollin-Walsh予想 $\Longrightarrow$ 非ヴィーフェリッヒ素数の無限性

ラムネ: 弱いMollin-Walsh予想？

せきゅーん: 3連続するパワフル数が一切存在しないことを主張するのがMollin-Walsh予想であったが、弱いMollin-Walsh予想は「3連続するパワフル数の組は高々有限個しか存在しない」ことを主張する予想だ。まず、

弱いMollin-Walsh予想 $\Longrightarrow$ 非ヴィーフェリッヒ素数の無限性

を証明しよう。これは簡単で、グランヴィルの証明を完全に真似た上で、 $A^n-1$ , $A^{2n}-1=(A^n-1)(A^n+1)$ がパワフル数で $A^n-1$ と $A^n+1$ は互いに素だから $A^n+1$ もパワフル数、従って

$A^n-1,\quad A^n, \quad A^n+1$

は3連続パワフル数となる。 $n$ は何でもよいので3連続パワフル数の組は無数に存在することとなり、弱いMollin-Walsh予想に矛盾するという寸法だ。

ラムネ: 確かに。Mollin-Walsh予想は弱い版だけで十分だね。

せきゅーん: そして、弱いMollin-Walsh予想だったらABC予想から導出できる。 $a\geq 2$ に対する $(a-1,a,a+1)$ を3連続パワフル数と仮定する。このとき、 $(1,a^2-1,a^2)$ というABCトリプルを作ることができる。

ラムネ: $a=1$ ではないから $a^2-1$ は正整数だし、互いに素の仮定は明らかに成り立っているね。

せきゅーん: $\mathrm{rad}(1\cdot (a^2-1)\cdot a^2)$ を計算しよう。一般にパワフル数 $m$ に対して $\mathrm{rad}(m)\leq \sqrt{m}$ が成り立つこと、 $(a^2-1)a$ がパワフル数であることに注意すれば

$\displaystyle \mathrm{rad}(1\cdot (a^2-1)\cdot a^2)=\mathrm{rad}( (a^2-1)a)\leq \sqrt{(a^2-1)a} < a^{\frac{3}{2}}$

が成り立つので、

$\mathrm{rad}(1\cdot (a^2-1)\cdot a^2)^{1+\varepsilon} < a^{\frac{3}{2}(1+\varepsilon)} \leq a^2$

が $\varepsilon \leq 1/3$ の場合に成立する。つまり、例えば $\varepsilon=1/3$ に対するABC予想を適用すれば、このような $a$ は高々有限個しか存在しないため、3連続パワフル数の組は有限個しか存在せず、弱いMollin-Walsh予想が成立することになる。

ラムネ: これで、ABC予想から非ヴィーフェリッヒ素数の無限性が証明された。

せきゅーん: ただ、シルヴァーマンの方法は個数評価まで与えている点は忘れてはならない。

2020-05-14

Q&ABC (その８)

ABC予想

せきゅーん: 今日の話を聴いて生じた疑問があったんだっけ？

ラムネ: $r$ の関数 $F(r)$ に対して

$\displaystyle F(\mathrm{rad}(abc) ) > c$

が全ての or 有限個の例外を除くABCトリプル対して成立するような $F(r)$ を追求しているものと考える。このとき、 $F(r)=r$ が駄目ってのが話の出発点で、StwertとTijdemanの最初の定理によって

$F(r)=r\log r$

で駄目どころか

$\displaystyle F(r)=r\exp\left( (4-\delta)\frac{\sqrt{\log r}}{\log \log r}\right) \tag{14}$

でも駄目だった。

$\displaystyle F(r)=r^{1+\varepsilon} \tag{15}$

でOKというのがABC予想であり、

$\displaystyle F(r)=r\exp(Kr^{15})$

であれば比較的簡単に示せるとうのがStwertとTijdemanのたった今証明を紹介してもらった定理だ。

さて、今日生じた質問というのは $(14)$ と $(15)$ の間についてだ。ABC予想よりも深い予想も存在しそうだ。 $F(r)$ はどこまで小さくできるのか。

せきゅーん: いい質問だね。それに関連する話題としてベイカーの予想を以前紹介したことがある。明示的ABC予想 - INTEGERS

ただ、これは $F(r)$ に数論的関数 $\omega(r)$ を使ってしまっているから挙動は複雑である。もっと簡単な関数で君の質問に答えるようなものがないかについての研究もいくらかなされているのだけれど、2014年のRobert-Stewart-Tenenbaumの論文*1によれば正の定数 $C_1, C_2$ が存在して

$\displaystyle F(r)=r\exp\left(4\sqrt{\frac{3\log r}{\log\log r}}\left(1+\frac{\log\log\log r}{2\log\log r}+\frac{C_1}{\log\log r}\right)\right)$

でOK、

$\displaystyle F(r)=r\exp\left(4\sqrt{\frac{3\log r}{\log\log r}}\left(1+\frac{\log\log\log r}{2\log\log r}+\frac{C_2}{\log\log r}\right)\right)$

で駄目と予想されている。根拠は確率的heuristicとのこと。

ラムネ: そ、そんなに精密な予想があるのか。 $\exp$ の中身の $\sqrt{\log r}$ に着目すれば、StwertとTijdemanの最初の定理は中々いい結果に思えてきた。実際に $C_2$ の予想に到達するにはまだまだギャップがあるのだろうけど。

せきゅーん: 2014年の論文では上記予想(= Conjecture A)を更に精密化した予想(= Conjecture B, C)およびそのheuristicな導出が議論されているから興味があったら勉強して私に教えて欲しい。

ラムネ: 余裕があれば。何はともあれ、ABC予想について前よりはわかった気がする。どうもありがとう。

せきゅーん: 今回はあくまで整数の性質として議論してきたけれど、スピロ予想やヴォイタ予想との関係性という重要なトピックについては触れられなかった。

ラムネ: あ、もう1つ質問なんだけどホッジ劇場って何であんな定義をするの？

せきゅーん: おっと、もう用事の時間だ。その質問は今度にしてくれ。では。

*1:A refinement of the abc conjecture, Bull. London Math. Soc. 46 (2014), 1156-1166.

2020-05-14

Q&ABC (その７)

ABC予想

せきゅーん: 存在性が好きだから、ABC予想もいくらでも説明のしようがありそうなもんだけど、無理矢理「お助け素因数」の「存在性」として語ってみたりもした。

ところで、ABC予想の応用で私が好きなものに「非ヴィーフェリッヒ素数の無限性」がある。ヴィーフェリッヒ素数は知っているかい？

ラムネ: $1903$ と $3511$ でしょ？

せきゅーん: それらは確かにヴィーフェリッヒ素数だ。有名なフェルマーの小定理を思い出すと、奇素数 $p$ に対して必ず合同式

$2^{p-1}\equiv 1\pmod{p}$

が成り立つのだった。一方、

$2^{p-1}\equiv 1\pmod{p^2} \tag{6}$

は成り立つ $p$ もあれば成り立たない $p$ もある。 $(6)$ が成り立つ奇素数 $p$ をヴィーフェリッヒ素数といい、成り立たない素数 $p$ を非ヴィーフェリッヒ素数という。詳しくは1093と3511について - INTEGERSなどを見て欲しい。

ヴィーフェリッヒ素数の探索については、 $p=1093,3511$ の2つが知られているのみで、他にあるのかないのか、ヴィーフェリッヒ素数は有限個しかないのか無限個存在するのかは未解決問題だ。私のようにheuristicな議論をもとに無限個存在するだろうと信じている人もいて、やはり数値例だけでは有限性や無限性は語れないこともわかる。

これはとても難しい問題だが、実はそれよりはるかに簡単そうに聞こえる「非ヴィーフェリッヒ素数が無限に存在すること」も全く簡単ではない。

ラムネ: $1093$ と $3511$ しかヴィーフェリッヒ素数が知られていないということは、有限範囲での数値的なデータとしては殆どが非ヴィーフェリッヒ素数なんだよね。なのに、無限性を証明することは難しいのか。

せきゅーん: そうなんだ。そして、シルヴァーマンがなんとABC予想を使って非ヴィーフェリッヒ素数の無限性を証明した。「〜素数の無限性」なんて私が最も好きな数学の主張の型といっても過言ではないぐらい好きな存在性定理であるが、ABC予想の応用のポテンシャルは「有限性定理」に対してだけではなかったんだ。

ラムネ: ほえ〜〜。すごいなABC予想。一体どうやってABC予想をこの問題に使うんだ？

せきゅーん: ほれ: 非Wieferich素数の無限性とABC予想 - INTEGERS

ラムネ: う、もう書いていたか。さすがだな。

せきゅーん: でも実はABC予想から非ヴィーフェリッヒ素数の無限性を導出する方法はシルヴァーマンとは違った方法もあるんだよ。また後日(=おまけ)聴いて欲しい。

ラムネ: 是非とも。

せきゅーん: これで疑問は解消されたかな？

ラムネ: 聞こうと思ってて今思い出した疑問が1つと、今日の話を聴いて生じた疑問が1つある。

せきゅーん: どうぞ。

ラムネ: ABC予想って $\varepsilon < \varepsilon'$ のときに $\varepsilon$ に関する主張が成り立てば、 $\varepsilon'$ に関する主張も成り立つんだよね？

せきゅーん: そうだね、 $\mathrm{rad}(abc)^{1+\varepsilon'} > \mathrm{rad}(abc)^{1+\varepsilon} > c$ を睨むとよい。さっき、 $\varepsilon < 1$ に限定した議論をしたときの限定していい理由とも言える。

ラムネ: すると、 $\varepsilon$ が大きければ大きいほど証明が簡単になるかもしれない。ヨビノリさんの動画だと $\varepsilon=5$ 億のときに例外的ABCトリプルが有限個でもびっくりしないという旨のことを述べておられる。で、質問としては $\varepsilon=5$ 億に対するABC予想だったら簡単に証明できるのだろうか。

せきゅーん: うーん。証明となると難しいんじゃない？

5億って人間的には大きい数かもしれないけれど、無数のABCトリプルを相手にすると5億なんて特に大きくはない。実際、StwertとTijdemanは鳩の巣原理を使う議論をしたやつと同じ論文で、ある定数 $K > 0$ が存在して全てのABCトリプル $(a,b,c)$ に対して

$\displaystyle c < \exp\left(K\cdot\mathrm{rad}(abc)^{15}\right) \tag{7}$

が成り立つことを証明しているんだ。もし、 $\varepsilon=5$ 億の場合が簡単に証明できるんだったら上の評価は全く無価値ということになってしまう。

ラムネ: 証明の概略だけでも教えてもらえると嬉しい。

せきゅーん: $(a,b,c)$ をABCトリプルとして、 $(7)$ が成立することを示したい。今回は $p_1,p_2,p_3,\dots$ を $a,b,c$ の素因数として現れる素数を小さい順に並べたものとし、 $a,b,c$ の素因数のうち最大のものが $p_n$ であるとしよう。すると、 $e_i,f_i,g_i$ を非負整数として

$\displaystyle a=p_1^{e_1}\cdots p_n^{e_n},\quad b=p_1^{f_1}\cdots p_n^{f_n},\quad c=p_1^{g_1}\cdots p_n^{g_n}$

と素因数分解される。このときの指数の最大値を $h$ とおこう。

$\displaystyle h:=\max\limits_{1\leq j\leq n}\{e_j,f_j,g_j\}.$

すると、

$\displaystyle c=p_1^{g_1}\cdots p_n^{g_n}\leq p_1^{h}\cdots p_n^{h}$

なので、

$\displaystyle \log c\leq h\log(p_1\cdots p_n)=h\log r \tag{8}$

と評価できる。ここで、 $r:=\mathrm{rad}(abc)=p_1\cdots p_n$ に注意。今我々は $c$ を $r$ の式で上から押さえたい気持ちになっているが、この評価をもとにしようと考えれば、 $h$ を $r$ の式で上から評価できればいいことになる。

ラムネ: ふむふむ。そのようなことは可能なのか？

せきゅーん: $p$ 進ベイカー理論を使う。超越数論におけるゲルフォント・シュナイダーの定理の一般化としてのベイカーの定理については証明をこのブログで紹介したことがある: ベイカーの定理の証明 - INTEGERS

実際はベイカーの対数一次形式の理論にはeffectivityが備わっていて、極めて強力な応用性がある。例えば、虚二次体の類数の問題に応用できる: ベイカーの定理と類数１の虚二次体の決定 - tsujimotterのノートブック

ここではWikipediaの記事の系5に注目して欲しい。これの $p$ 進版として、StwertとTijdemanは次の形の定理を利用している:

$p$ を素数、 $n$ を $2$ 以上の整数、 $A\geq 4$ , $B\geq e^2$ とする。このとき、 $0$ でない絶対値が $A$ 以下であるような整数 $a_1,\dots,a_n$ と絶対値が $B$ 以下の整数 $b_1,\dots, b_n$ に対して

$\mathrm{ord}_p(a_1^{b_1}\cdots a_n^{b_n}-1)=\infty$

または

$\displaystyle \mathrm{ord}_p(a_1^{b_1}\cdots a_n^{b_n}-1) \leq (16(n+1))^{12(n+1)}\frac{p}{\log p}(\log A)^n\cdot (\log B)^2$

が成り立つ。

ラムネ: なるほど、これはどうやって示すの？

せきゅーん: 先ほど「概略」と要求されたので、こちらは割愛させていただく。

さて、 $a,b,c$ の中にその素因数分解において指数に $h$ を実現するものが存在する。そのようなものの1つ( $a,b,c$ のいずれか)を $a'$ としよう。 $p_i^h \mid a'$ となるような番号 $i$ が存在するが、そのような $i$ を1つとって $p=p_i$ とおこう。

また、ABCトリプルの関係性を適当に書き直せば

$a'=c'-b'$

という形の関係が成り立つ( $b',c'$ は $a,b,c$ のうち $a'$ を除く残りの2つの $\pm 1$ 倍)。このとき、 $b',c'$ は $a'$ と互いに素なので $p$ では割り切れないため、

$\displaystyle \infty > h=\mathrm{ord}_p(a')=\mathrm{ord}_p(c'-b')=\mathrm{ord}_p(c'/b'-1)=\mathrm{ord}_p(\pm p_1^{b_1}\cdots p_n^{b_n}-1)$

の形の等式が成立する。ここで、 $b_1,\dots,b_n$ は整数であり、 $a,b,c$ の素因数分解の設定からどれも絶対値は $h$ 以下である。

上述の $p$ 進ベイカーの定理を、 $n+1$ , 上記の $b_1,\dots,b_n$ および $b_{n+1}\in \{0,1\}$ , $p=p_i$ , $A=p_n$ , $B=h$ , $a_1=p_1, \dots, a_n=p_n, a_{n+1}=\pm 1$ に対して適用しよう。すると、

$\begin{align} h&\leq (16(n+2))^{12(n+2)}\frac{p}{\log p}(\log p_n)^{n+1}\cdot (\log h)^2\\ &\leq 2(16(n+2))^{12(n+2)}\cdot p_n\cdot(\log p_n)^{n+1}\cdot (\log h)^2\end{align} \tag{9}$

と $h$ に関する評価が得られる。これを解析していこう。

ラムネ: すごい！これまでの議論でABC予想に肉薄するためには「 $a+b=c$ 」という構造に真剣に向き合う必要があって、唯一行った議論が確率的解釈だったわけだけど、ここでは $p$ 進付値の議論が見事にマッチしている。

ちなみに、 $p_n\geq 4$ , $h\geq e^2$ がでないと $p$ 進ベイカーの定理を応用できないけれど、これらの条件が満たされないケースは例外として処理すれば今の所望の不等式 $(7)$ を示すにあたっては問題ないね。

せきゅーん: 以下、 $c_1,c_2,\dots$ は絶対定数とする。 $i$ 番目の素数を $q_i$ と表す。これは既に $p_i$ という記号を使ってしまったからだ。とにかく、 $p_i\geq q_i$ が成り立つが、ロッサーの有名な定理

$q_i > i\log i$

を使うと、

$\displaystyle r=\mathrm{rad}(abc)=\prod_{i=1}^np_i > \prod_{i=2}^ni\log i$

と評価できる。 $n!$ についてはスターリングの公式より

$\displaystyle n! \geq c_1\left(\frac{n}{e}\right)^n$

と評価する。また、アーベルの総和公式によって

$\displaystyle \sum_{i=2}^n\log\log i > c_2n\log \log n$

なので、

$\displaystyle \prod_{i=2}^n\log i > \exp(c_2n\log \log n)=(\log n)^{c_2n}$

と評価できる。この2つを合わせると

$\displaystyle r > c_1\left(\frac{n(\log n)^{c_2}}{e}\right)^n$

が得られる。

$\displaystyle 16(n+2))^{n+2} \leq c_3\left(\frac{n(\log n)^{c_2}}{e}\right)^n$

なので、

$16(n+2))^{n+2} < c_4r\tag{10}$

を得る( $c_4$ は好きなだけ大きくとっていいことに注意しておく)。特に $(n+1)^{n+1} < c_4r$ なので、例えば

$\displaystyle \frac{10(n+1)}{19} < \frac{\log( (n+1)^{n+1})}{\log\log( (n+1)^{n+1})} < \frac{\log(c_4r)}{\log\log(c_4r)}\leq \frac{\log(c_4r)}{\log\log r}$