2016-03-13

数列lcm[1,2,…,n]のgrowthと素数定理

定理解説

今回は二つの数列を紹介します(両数列とも数値例を最後の方に掲載しています)。

一つ目は数列 $\{d_n\}$ 。自然数 $n$ に対して $1, 2, \dots, n$ の最小公倍数を $d_n$ と定義します：

$\displaystyle d_n := \mathrm{lcm}[ 1, 2, \dots, n].$

二つ目はSylvester数列です。これは、 $s_1:=2$ 、

$\displaystyle s_{n+1} := s_1s_2\cdots s_n + 1$

で定義される数列 $\{s_n\}$ です。

Sylvester数列については思い出深い話があるのですが、それについては別の記事で紹介します。今回は脇役です。

定義式がEuclid数の定義に似ていますが、Sylvester数列を用いて素数の無限性を証明することもできます。

Sylvester数列を用いた素数の無限性証明
定義式より $n < m$ ならば $s_m \equiv 1 \pmod{s_n}$ が成り立つので、特に $s_n$ と $s_m$ は互いに素である。よって、 $\{s_n\}_{n=1}^{\infty}$ の素因数を一つずつ取っていけば素数が無数に得られる。

cf.
ユークリッド数と素数の無限性 - INTEGERS
フェルマー数とオイラーの素因数641 - INTEGERS

Sylvester数列は次の漸化式でも定義できます( $s_1=2$ は当然同じ)：

$s_{n+1}=s_n(s_n-1)+1=s_n^2-s_n+1$

一方の漸化式から他方を導出するのは簡単です。

Sylvester数列の成長スピードは二重指数関数的に成長しますが、次は容易に分かります：

補題１ $\ n\geq 3$ のとき、 $s_n > 2^{2^{n-2}}+1$ が成り立つ。

証明. $n$ に関する帰納法で示す。 $s_3=7 > 2^{2^{1}}+1$ である。 $n$ のときに成立すると仮定すると、

$s_{n+1}=s_n(s_n-1)+1 > (s_n-1)^2+1 > (2^{2^{n-2}})^2+1=2^{2^{n-1}}+1$

と $n+1$ のときも成立することがわかる。 Q.E.D.　

また、Sylvester数列は $1$ のエジプト分数分解を無数に提供します：

命題１ 任意の自然数 $N$ に対して

$\displaystyle 1 = \sum_{n=1}^N\frac{1}{s_n}+\frac{1}{s_{N+1}-1}$

が成り立つ。

証明. 漸化式より

$\displaystyle \frac{1}{s_{n+1}-1} = \frac{1}{s_n(s_n-1)} = \frac{1}{s_n-1}-\frac{1}{s_n}$

と分解できるので、次のように望遠鏡和の変形が行える：

$\displaystyle \sum_{n=1}^N\frac{1}{s_n} = \sum_{n=1}^N\left( \frac{1}{s_n-1}-\frac{1}{s_{n+1}-1}\right) = 1-\frac{1}{s_{N+1}-1}.$

Q.E.D.

例) $\ \ \ \ \ \ \displaystyle 1=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{7}+\frac{1}{43}+\frac{1}{1806}.$

$\displaystyle \lim_{n \to \infty}s_n=\infty$ なので、次の系が得られます：

系１ $\ \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{s_n} = 1.$

cf.
エジプト分数とグラハムの定理 - INTEGERS
望遠鏡和 - INTEGERS

$d_n$ のgrowthと素数定理

明らかに $d_n=O(n!)$ ですが、実際には指数関数のオーダーで成長します：

定理次の極限公式が成り立つ：

$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{\log d_n}{n}=1.$

また、任意の正の数 $\varepsilon > 0$ に対して

$\displaystyle d_n < e^{(1+\varepsilon)n}$

が十分大きい $n$ に対して成り立つ。

証明. $n > 1$ を考える。 $n$ が素数 $p$ の冪乗、すなわち $n=p^k$ であったとする（ $k$ は自然数）。このとき、 $n$ 未満の自然数には $p^k$ の倍数はないが $p^{k-1}$ の倍数はあるので、 $p$ と互いに素な自然数 $m$ が存在して

$\displaystyle d_{n-1}=p^{k-1}m$

と書ける。このとき、

$\displaystyle d_n=p^km$

となるので、

$\displaystyle \log d_n-\log d_{n-1} = \log p$

を得る。一方、 $n$ が素数冪でない場合を考える。このとき、 $n=ab$ と $0 < a, b < n$ を満たす互いに素な整数 $a, b$ を用いて $n$ を分解できる。 $a \mid d_{n-1}$ および $b \mid d_{n-1}$ であるため、互いに素であるという条件から $n \mid d_n$ が分かる。すなわち、このケースでは

$\displaystyle d_n = d_{n-1}$

が成り立つ。従って、 $n > 1$ に対して

$\displaystyle \log d_n- \log d_{n-1} = \Lambda (n)$

が成立する。ここで、 $\Lambda (n)$ はvon-Mangoldt関数である：メルテンスの第一定理 - INTEGERS

よって、望遠鏡和をとることによって

$\displaystyle \psi (n) = \sum_{k \leq n}\Lambda (k) = \log d_n$

が得られる。ここで、 $\psi(n)$ についてはチェビシェフの定理 - INTEGERSを参照せよ。Chebyshevの定理の記事で示したように素数定理は

$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{\psi(n)}{n}=1$

と同値であるから、前半の証明が終わる*1。たった今証明した極限公式を用いれば、任意の正の数 $\varepsilon$ に対して

$\displaystyle \frac{\log d_n}{n} < 1+\varepsilon$

が十分大きい $n$ に対して成立することがわかる。これを言い換えると後半の主張になる。 Q.E.D.

証明を見れば分かるように、前半の極限公式は素数定理と同値です*2。

この定理は無理数性証明などで活躍することがあるのですが、実際には次の系で十分であることが多いです：

系２十分大きい $n$ に対して、 $\displaystyle d_n \leq 3^n$ が成り立つ。

実はこれだけを証明するなら次のように初等的に証明することができます(この証明でSylvester数列が活躍します*3 )：

系２の初等的証明

補題３ $\ x \geq 1$ ならば、

$\displaystyle [x]-\sum_{i=1}^{\infty}\left[ \frac{x}{s_i} \right] \geq 1$

が成り立つ。ここで、 $[\cdot ]$ はGauss記号で $s_i$ はSylvester数列の第 $i$ 項である。

証明. $s_k \leq x < s_{k+1}$ なる $k$ をとる。一般に自然数 $m$ に対して、

$\displaystyle \left[ \frac{x}{m}\right] = \left[ \frac{[x]}{m}\right]$

が成り立つことに注意すると、

$\displaystyle \sum_{i=1}^{\infty}\left[ \frac{x}{s_i}\right] = \sum_{i=1}^{k}\left[ \frac{x}{s_i}\right]= \sum_{i=1}^{k}\left[ \frac{[x]}{s_i}\right] \leq \sum_{i=1}^k\frac{[x]}{s_i} < [ x]$

と評価できる。最後の不等号は命題１よりわかる。整数の差は $1$ 以上なので、

$\displaystyle [ x]-\sum_{i=1}^{\infty}\left[ \frac{x}{s_i}\right] \geq 1$

を得る。 Q.E.D.

補題４ $\ n, i$ を自然数とする。このとき、

$\displaystyle \frac{\left(\frac{n}{s_i}\right)^{\frac{n}{s_i}}}{\left[ \frac{n}{s_i} \right]^{\left[\frac{n}{s_i}\right]}} < \left( \frac{en}{s_i}\right)^{1-\frac{1}{s_i}}$

が成り立つ。

証明. $\frac{n}{s_i}-\left[ \frac{n}{s_i} \right] < 1$ であるが、 $\frac{n}{s_i}-\left[ \frac{n}{s_i} \right] \in \frac{1}{s_i}\mathbb{Z}$ なので、 $\frac{n}{s_i}-\left[ \frac{n}{s_i} \right] \leq 1-\frac{1}{s_i}$ が成り立つ。よって、

$\displaystyle \left[ \frac{n}{s_i} \right] \geq \frac{n}{s_i}-\left( 1-\frac{1}{s_i} \right) = \frac{n}{s_i}\left( 1+\frac{s_i-1}{n-s_i+1}\right)^{-1}$

なので、 $x \geq 1$ に対して成り立つ $\left( 1+ \frac{1}{x} \right)^x < e$ を用いることにより、

$\displaystyle \frac{\left(\frac{n}{s_i}\right)^{\frac{n}{s_i}}}{\left[ \frac{n}{s_i} \right]^{\left[\frac{n}{s_i}\right]}} \leq \left( \frac{n}{s_i} \right)^{1-\frac{1}{s_i}}\left( 1+\frac{s_i-1}{n-s_i+1} \right)^{\frac{n-s_i+1}{s_i-1}\frac{s_i-1}{s_i}} < \left( \frac{en}{s_i} \right)^{1-\frac{1}{s_i}}$ .

Q.E.D.

補題５ $\ \ \ \displaystyle \sum_{i=1}^{\infty}\frac{\log s_i}{s_i} < 1.08241$ .

証明. $s_n$ の漸化式より $s_{i+1} < s_i^2$ がわかるので、

$\log s_{i+1} < 2\log s_i$

が成り立つ。一方、 $i \geq 3$ ならば

$\displaystyle s_i < \frac{1}{4}s_{i+1}$

が成り立つことを数学的帰納法で示すことができる。よって、 $n\geq 3$ のとき

$\displaystyle \frac{\log s_{i+1}}{s_{i+1}} < \frac{1}{2}\frac{\log s_i}{s_i}.$

故に、

$\displaystyle \sum_{i=6}^{\infty}\frac{\log s_i}{s_i} < \left( 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\cdots \right) \frac{\log s_6}{s_6} = 2\times \frac{\log 3263443}{32663443} < 10^{-5}$

および

$\displaystyle \sum_{i=1}^{\infty}\frac{\log s_i}{s_i} < \sum_{i=1}^5\frac{\log s_i}{s_i} + 10^{-5} < 1.08241$

を得る。 Q.E.D.

$\displaystyle a_n := \frac{n!}{\displaystyle \prod_{i=1}^k\left( \left[ \frac{n}{s_i} \right]!\right)}$

とします。ただし、 $k=k(n)$ は $s_k \leq n < s_{k+1}$ なる $k$ とします。

命題２ $\ \ \ d_n \leq a_n$ .

証明. $d_n$ の素因数分解は

$\displaystyle d_n=\prod_{p \leq n}p^{[\log_pn]}$

で与えられる。一方、Legendreの公式より $a_n$ の素因数分解は

$\displaystyle a_n=\prod_{p \leq n}p^{e_p(n)}$ ,

$\displaystyle e_p(n)=\sum_{m=1}^{[\log_pn]}\left( \left[ \frac{n}{p^m} \right] -\sum_{i=1}^k\left[ \frac{n/s_i}{p^m} \right] \right)$

で与えられる。補題３において $x=n/p^m$ とすることによって $e_p(n) \geq [\log_pn]$

を得る。 Q.E.D.

命題２より、系２を証明するには次を示せばよいです：

命題３ 十分大きい $n$ に対して $a_n < 3^n$ が成り立つ。

証明. $\displaystyle \ell := \sum_{i=1}^k\left[ \frac{n}{s_i}\right]$ とおく。このとき、多項定理より

$\displaystyle \ell^{\ell} > \frac{\ell!}{\displaystyle \prod_{i=1}^k\left( \left[ \frac{n}{s_i}\right]!\right)}\prod_{i=1}^k\left( \left[ \frac{n}{s_i}\right]^{\left[ \frac{n}{s_i}\right]}\right)$ .

補題３より $\displaystyle n \geq 1+\sum_{i=1}^{\infty}\left[\frac{n}{s_i}\right]=1+\ell$ であることから、

$\displaystyle a_n = \frac{n(n-1)\cdots (\ell +1)\ell !}{\displaystyle \prod_{i=1}^k\left( \left[ \frac{n}{s_i}\right]!\right)} < \frac{n(n-1)\cdots (\ell +1)\ell^{\ell}}{\displaystyle \prod_{i=1}^k\left( \left[ \frac{n}{s_i}\right]^{\left[ \frac{n}{s_i}\right]}\right)} < \frac{n^n}{\displaystyle \prod_{i=1}^k\left( \left[ \frac{n}{s_i}\right]^{\left[ \frac{n}{s_i}\right]}\right)}$

と評価できる。補題４より

$\displaystyle a_n < n^n\frac{\displaystyle \prod_{i=1}^k\left(\frac{en}{s_i}\right)^{1-\frac{1}{s_i}}}{\displaystyle \prod_{i=1}^k\left( \frac{n}{s_i} \right)^{\frac{n}{s_i}}}$

を得る。両辺の自然対数をとることにより

$\begin{align}\log a_n &< n\log n+\sum_{i=1}^k\left( 1-\frac{1}{s_i}\right) \left( 1+\log \frac{n}{s_i} \right) - \sum_{i=1}^k\frac{n}{s_i}\log \frac{n}{s_i} \\ &< n\log n+k(1+\log n)-n\log n\sum_{i=1}^k\frac{1}{s_i} + n\sum_{i=1}^k\frac{\log s_i}{s_i}.\end{align}$

補題２および $n < s_{k+1}$ より

$\displaystyle \sum_{i=k+1}^{\infty}\frac{1}{s_i} = \frac{1}{s_{k+1}-1} \leq \frac{2}{s_{k+1}} < \frac{2}{n}$

であり、補題１より( $s_k < n$ に注意して)、 $n \geq 7$ ならば

$k=k(n) < \log_2 \log_2 n+2$ .

従って、補題５と合わせて

$\log a_n < 2\log n+2\log n\log_2\log_2 n + 1.08241n$

を得る。すなわち、 $n$ が十分大きいとき、 $\log a_n < 1.08242n$ が成り立つ。 Q.E.D.

この証明は

D. Hanson, On the product of the primes, Canad. Math. Bull., 15, (1972), 33–37.

によるものです。最後の部分はeffectiveに計算可能なため、怠けずに計算することによって、命題３は「十分大きい」ではなく、全ての自然数 $n$ で成立することを示すことができます。

$d_n$ の数値

$d_1=1$
$d_2=2$
$d_3=6$
$d_4= 12$
$d_5= 60$
$d_6= 420$
$d_7= 840$
$d_8= 2520$
$d_9= 27720$
$d_{10}= 360360$
$d_{11}= 720720$
$d_{12}= 12252240$
$d_{13}= 232792560$
$d_{14}= 5354228880$
$d_{15}= 26771144400$
$d_{16}= 80313433200$
$d_{17}= 2329089562800$
$d_{18}= 72201776446800$
$d_{19}= 144403552893600$
$d_{20}= 5342931457063200$
$d_{21}= 219060189739591200$
$d_{22}= 9419588158802421600$
$d_{23}= 442720643463713815200$
$d_{24}= 3099044504245996706400$
$d_{25}= 164249358725037825439200$
$d_{26}= 9690712164777231700912800$
$d_{27}= 591133442051411133755680800$
$d_{28}= 1182266884102822267511361600$
$d_{29}= 79211881234889091923261227200$
$d_{30}= 5624043567677125526551547131200$
$d_{31}= 410555180440430163438262940577600$
$d_{32}= 32433859254793982911622772305630400$
$d_{33}= 97301577764381948734868316916891200$
$d_{34}= 8076030954443701744994070304101969600$
$d_{35}= 718766754945489455304472257065075294400$
$d_{36}= 69720375229712477164533808935312303556800$
$d_{37}= 7041757898200960193617914702466542659236800$
$d_{38}= 725301063514698899942645214354053893901390400$
$d_{39}= 77607213796072782293863037935883766647448772800$
$d_{40}= 8459186303771933270031071135011330564571916235200$
$d_{41}= 955888052326228459513511038256280353796626534577600$
$d_{42}= 10514768575588513054648621420819083891762891880353600$
$d_{43}= 52573842877942565273243107104095419458814459401768000$
$d_{44}= 6676878045498705789701874602220118271269436344024536000$
$d_{45}= 13353756090997411579403749204440236542538872688049072000$
$d_{46}= 1749342047920660916901891145781670987072592322134428432000$
$d_{47}= 239659860565130545615559086972088925228945148132416695184000$
$d_{48}= 33312720618553145840562713089120360606823375590405920630576000$

$\begin{align}d_{49} = &\ 4963595372164418730243844250278933730416682962970482173955824\\ &\ 000\end{align}$

$\begin{align}d_{50}= &\ 7495029011968272282668204817921189932929191274085428082673294\\ &\ 24000\end{align}$

$\begin{align}d_{51}= &\ 1176719554879018748378908156413626819469883030031412208979707\\ &\ 19568000\end{align}$

$\begin{align}d_{52}= &\ 1918052874452800559857620294954211715735909338951201900636922\\ &\ 7289584000\end{align}$

$\begin{align}d_{53}= &\ 3203148300336176934962225892573533565278968596048507174063660\\ &\ 957360528000\end{align}$

$\begin{align}d_{54}= &\ 4164092790437030015450893660345593634862659174863059326282759\\ &\ 2445686864000\end{align}$

$\begin{align}d_{55}= &\ 7203880527456061926730046032397876988312400372513092634469173\\ &\ 493103827472000\end{align}$

$\begin{align}d_{56}= &\ 1289494614414635084884678239799219980907919666679843581569982\\ &\ 055265585117488000\end{align}$

$\begin{align}d_{57}= &\ 2333985252090489503641267614036588165443334596690516882641667\\ &\ 52003070906265328000\end{align}$

$\begin{align}d_{58}= &\ 4457911831492834951954821142809883395996769079678887245845584\\ &\ 9632586543096677648000\end{align}$

$\begin{align}d_{59}= &\ 8603769834781171457272804805623074954273764323780252384481978\\ &\ 979089202817658786064000\end{align}$

$\begin{align}d_{60}= &\ 1694942657451890777082742546707745765991931571784709719742949\\ &\ 858880572955078780854608000\end{align}$

$\begin{align}d_{61}= &\ 3372935888329262646394657667948414074323943827851572342288470\\ &\ 21917234018060677390066992000\end{align}$

$\begin{align}d_{62}= &\ 7116894724374744183892727679371153696823521476766817642228672\\ &\ 1624536377810802929304135312000\end{align}$

$\begin{align}d_{63}= &\ 1587067523535567953008078272499767274391645289319000334216993\\ &\ 8922271612251809053234822174576000\end{align}$

$\begin{align}d_{64}= &\ 3602643278425739253328337678574471712869034806754130758672576\\ &\ 135355655981160655084304633628752000\end{align}$

$\begin{align}d_{65}= &\ 8250053107594942890121893283935540222470089707466959437360199\\ &\ 34996445219685790014305761100984208000\end{align}$

$\begin{align}d_{66}= &\ 1922262374069621693398401135156980871835530901839801548904926\\ &\ 44854171736186789073333242336529320464000\end{align}$

$\begin{align}d_{67}= &\ 4594207074026395847222178713025184283686918855397125701882774\\ &\ 2120147044948642588526644918430507590896000\end{align}$

$\begin{align}d_{68}= &\ 1107203904840361399180545069839069412368547444150707294153748\\ &\ 5850955437832622863834921425341752329405936000\end{align}$

$\begin{align}d_{69}= &\ 3321611714521084197541635209517208237105642332452121882461245\\ &\ 7552866313497868591504764276025256988217808000\end{align}$

$\begin{align}d_{70}= &\ 8337245403447921335829504375888192675135162254454825924977726\\ &\ 845769444687965016467695833282339504042669808000\end{align}$

$\begin{align}d_{71}= &\ 1667449080689584267165900875177638535027032450890965184995545\\ &\ 3691538889375930032935391666564679008085339616000\end{align}$

$\begin{align}d_{72}= &\ 4285344137372231566616365249206531035019473398789780525438551\\ &\ 598725494569614018464395658307122505077932281312000\end{align}$

$\begin{align}d_{73}= &\ 1127045508128896902020104060541317662210121503881712278190339\\ &\ 070464805071808486856136058134773218835496189985056000\end{align}$

$\begin{align}d_{74}= &\ 3031752416866732666434079922856144511345226845441806028332012\\ &\ 09955032564316482964300599638253995866748475105980064000\end{align}$

$\begin{align}d_{75}= &\ 8216049049708845526036356590940151625745564751147294336779752\\ &\ 7897813824929766883325462501966832879888836753720597344000\end{align}$

$\begin{align}d_{76}= &\ 2275845586769350210712070775690422000331521436067800531287991\\ &\ 5227694429505545426681153113044812707729207780780605464288000\end{align}$

$\begin{align}d_{77}= &\ 6395126098821874092100918879690085820931575235350519492919256\\ &\ 1789821346910582648974040247655923708719073863993501354649280\\ &\ 00\end{align}$

$\begin{align}d_{78}= &\ 1809820685966590368064560042952294287323635791604197016496149\\ &\ 4986519441175694889659653390086626409567497903510160883365746\\ &\ 24000\end{align}$

$\begin{align}d_{79}= &\ 3076695166143203625709752073018900288450180845727134928043454\\ &\ 1477083049998681312421410763147264896264746435967273501721768\\ &\ 608000\end{align}$

$\begin{align}d_{80}= &\ 9014716836799586623329573573945377845159029877980505339167320\\ &\ 6527853336496136245394733536021486146055707057384111360044782\\ &\ 02144000\end{align}$

$\begin{align}d_{81}= &\ 2767518068897473093362179087201230998463822172540015139124367\\ &\ 4404050974304313827336183195558596246839102066616922187533748\\ &\ 08058208000\end{align}$

$\begin{align}d_{82}= &\ 8606981194271141320356376961195828405222486956599447082676782\\ &\ 7396598530086416003015529738187234327669607427178628003229956\\ &\ 5306102688000\end{align}$

$\begin{align}d_{83}= &\ 2693985113806867233271545988854294290834638417415626936877832\\ &\ 9975135339917048208943860808052604344560587124706910565010976\\ &\ 3940810141344000\end{align}$

$\begin{align}d_{84}= &\ 8539932810767769129470800784668112901945803783207537389902730\\ &\ 6021179027537042822352038761526755772257061185320906491084795\\ &\ 169236814806048000\end{align}$

$\begin{align}d_{85}= &\ 2826717760364131581854835059725145370544061052241694876057803\\ &\ 8293010258114761174198524830065356160617087252341220048549067\\ &\ 201017385700801888000\end{align}$

$\begin{align}d_{86}= &\ 9526038852427123430850794151273739898733485746054511732314798\\ &\ 9047444569846745157049028677320250261279584040389911563610356\\ &\ 46742858981170236256000\end{align}$

$\begin{align}d_{87}= &\ 6668227196698986401595555905891617929113440022238158212620359\\ &\ 2333211198892721609934320074124175182895708828272938094527249\\ &\ 527200012868191653792000\end{align}$

$\begin{align}d_{88}= &\ 2313874837254548281353657899344391421402363687716640899779264\\ &\ 6539624286015774398647209065721088788464810963410709518800955\\ &\ 585938404465262503865824000\end{align}$

$\begin{align}d_{89}= &\ 8075423182018373501924266068711926060694249270131076740229633\\ &\ 6423288758195052651278759639366599871742190262303376220615334\\ &\ 99492503158376613849172576000\end{align}$

$\begin{align}d_{90}= &\ 2850624383252485846179265922255309899425069992356270089301060\\ &\ 6757420931642853585901402152696409754724993162593091805877213\\ &\ 25320853614906944688757919328000\end{align}$

$\begin{align}d_{91}= &\ 1023374153587642418778356466089656253893600127255900962059080\\ &\ 7825914114459784437338603372818011101946272545370919958309919\\ &\ 55790186447751593143264093038752000\end{align}$

$\begin{align}d_{92}= &\ 1944410891816520595678877285570346882397840241786211827912253\\ &\ 4869236817473590430943346408354221093697917836204747920788847\\ &\ 160013542507280269722017767736288000\end{align}$

$\begin{align}d_{93}= &\ 7135987972966630586141479638043173058400073687355397408437970\\ &\ 2970099120128076881562081318659991413871358458871424869295069\\ &\ 07724970100171858987980520759217696000\end{align}$

$\begin{align}d_{94}= &\ 2661723513916553208630771904990103550783227485383563233347362\\ &\ 9207846971807772676822656331860176797374016705159041476247060\\ &\ 76581413847364103402516734243188200608000\end{align}$

$\begin{align}d_{95}= &\ 1008793211774373666071062551991249245746843216960370465438650\\ &\ 5469774002315145844515786749775007006204752331255276719497636\\ &\ 03024355848150995189553842278168328030432000\end{align}$

$\begin{align}d_{96}= &\ 3863678001095851141052169574126484611210409520958218882630031\\ &\ 5949234428867008584495463251638276833764201428707709835675945\\ &\ 9958328289841831157599121592538469635655456000\end{align}$

$\begin{align}d_{97}= &\ 1502970742426286093869293964335202513760849303652747145343082\\ &\ 2904252192829266339368735204887289688334274355767299126077942\\ &\ 9923789704748472320306058299497464688269972384000\end{align}$

$\begin{align}d_{98}= &\ 5966793847432355792661097038410753979630571735501406167012036\\ &\ 6929881205532187367293878763402540062687069192396177530529433\\ &\ 679744512785143511161505144900493481243179036448000\end{align}$

$\begin{align}d_{99}= &\ 2392684332820374672857099912402712345831859265936063872971826\\ &\ 7138882363418407134284845384124418565137514746150867189742302\\ &\ 905577549626842547975763563105097885978514793615648000\end{align}$

$\begin{align}d_{100}= &\ 978607892123533241198553864172709349445230439767850124045477\\ &\ 125980288663812851792250176210688719314124353117570468060460\\ &\ 1888381217797378602122087297309985035365212550588800032000\end{align}$

Sylvester数列の数値

$s_1=2$
$s_2=3$
$s_3=7$
$s_4=43$
$s_5=1807$
$s_6=3263443$
$s_7=10650056950807$
$s_8=113423713055421844361000443$
$s_9=12864938683278671740537145998360961546653259485195807$

$\begin{align}s_{10}=&\ 1655066473245199641984681954444391800175131527063774978418513\\ &\ 88766535868639572406808911988131737645185443\end{align}$

$\begin{align}s_{11}=&\ 2739245030860303142341023429167468628119436436758091462794736\\ &\ 7941608692026226993634332118404582438634929548737283992369758\\ &\ 4879743063177305807538834294603449564100770347613304760167394\\ &\ 54649828385541500213920807\end{align}$

$\begin{align}s_{12}=&\ 7503463339092863114642183483642930173847241400737323631766843\\ &\ 9176837423823720023320372427483981973622749306010738694206952\\ &\ 1875902258281351952761393460726027774387698896086030486687796\\ &\ 2756619501998354844183841030968994995246660070732987978529321\\ &\ 2787692398334049744823196004883309419542523184647878503560233\\ &\ 9261149953564729371337917773386670133413581537490788020231265\\ &\ 093210310224397095644371148893261284201611453610443\end{align}$

$\begin{align}s_{13}=&\ 5630196208111061887353457930291311276451264562015083283959347\\ &\ 0994871336987501742839861652651535080197890128084842923602378\\ &\ 0360625686785326318172135941491985234945009397938528773976977\\ &\ 8873566303279177214196667515915598834558280276433297409303205\\ &\ 4808983657515658107088006684729472235325511964834127140272316\\ &\ 7206816552066010592134725124376810874159292118224274440907862\\ &\ 9963440673250251517515066473396849594794383541929894704704886\\ &\ 2117274598008643580151957558166403870364180197445335486423812\\ &\ 3148678312993828328158261237284571445163949954735321181426755\\ &\ 4855638608049357550999280855087856376064522070079846386106041\\ &\ 1371873872780416924021304148864514215566470660001932980918612\\ &\ 1988322464207409749450811638629159492106903853533242008723387\\ &\ 1183977949805758783571562851112587338624315221783284414699801\\ &\ 10808406224908967784943255608168545045807\end{align}$