2016-03-17

天才素数少年の母の発言に対する一考察と妄想

整数整数-16

3/11にあしぃさんという方によって発信された次のツイートに1万リツイートを超える反響がありました：

電車で数遊びをしている5才くらいの子がいる。
男の子「にぃ、さん、ご！」
母親「そうね、2たす3は5だね。」
男の子「なな、じゅいち、じゅーさん！」
母親「違うでしょ、16でしよ。」
男の子「じゅーなな、じゅーきゅ、にじゅーさん、にじゅーきゅ、さんじゅいち！」
ざわ、ざわ。。。
— あしぃ (@asi1024) 2016年3月11日

twitter.com

このツイートが創作でないならば、若干５歳にして素数の概念を習得している可能性の高いこの少年は将来有望です。是非、お会いして素数について熱く語り合いたいです。

さて、

男の子「にぃ、さん、ご！」
母親「そうね、 $2$ たす $3$ は $5$ だね。」

の部分から、母親は少年が素数のことを考えているのではなく「 $2+3=5$ 」という計算を行っていると思い込んでいたものと考えられます。

そして、

男の子「なな、じゅいち、じゅーさん！」
母親「違うでしょ、 $16$ でしよ。」

と会話が続きます。先ほどの推察からすると、 $7+11=18\neq 13$ であることから母親は

「違うでしょ、 $18$ でしょ。」

と発言するはずです。

にもかかわらず「違うでしょ、 $16$ でしょ。」と発言しています。

これについて、一つの可能性として、

母親は $7+11 = 16$ という誤った計算を行ってしまった

と考えることが出来ます。もしそうであるならば、人は間違いを犯すとは言え、かように簡単な計算を間違えてしまう母親に一抹の不安を覚えてしまいます。

別のストーリーを考える

本当にそうだったのでしょうか？ツイートからは前後の文脈を読み取ることは出来ないですが、はなから「母親が計算間違いを犯した」と決めつけるのは傲慢というものです。

天才少年を生んだ母親はもっと天才だったとしてもおかしくありません。

何か別の考えがあって、正しく $16$ と答えた可能性は否定できないのです。そもそも少年の言葉には「たす」という言葉が入っていません。ツイートには「電車で数遊びをしている」とあります。

この母親が何故 $16$ と答えたのかについて、実は親子は次の節で述べるような数遊びを行っていたのではないか？と妄想してみましょう。

とある数遊び

下の図のような状況からスタートする遊びを考えます。
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図に出てくる白丸の個数をカウントしていきます。すなわち、スタートの図から $a_1=2$ と定めます。

次のようなルールによって次のステップに進みます：

残っている白丸に ①上にあるもの, ②左にあるもの, の順に優先順位を付ける。
優先順位の高いものから順に、残っている白丸の個数（ $a_n$ 個）だけ新しい白丸をくっつけていく。
一つの白丸に対して最大２つの新しい白丸を下の段にくっつけることができる。
２つの白丸が下にくっついた白丸は黒く塗りつぶす。
残っている白丸の個数を $a_{n+1}$ とする。

言葉で説明すると難しいので実際に図で確認してみましょう：

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図から分かるように $a_2=3$ です。とりあえず、 $a_5$ まで遊んでみましょう：

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より $a_3=5$ 。

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より $a_4=7$ 。

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より $a_5=11$ 。

何だって！？素数が現れているではないか！！
次はもしかして $a_6=13$ ？

と思ったそこの奥さん！それは早とちりです。

実は、天才少年の母親が言ったように $a_6=16$ なのです！！

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さて、親子はこのような数列遊びをしていた可能性があるのではないでしょうか？

母親「そうね、 $2$ たす $3$ は $5$ だね。」

というのは図を子どもと見ながら、あるいは思い浮かべながら単に $a_3=5$ をカウントしていたのでしょう（最初の２つの白丸から延びるのがそれぞれ３個と２個である。強引な推論ですが（汗））。

そして、 $a_6=16$ となるにも関わらず、「この数列は素数になるに違いない！」と早とちりして

「じゅーさん！」

と言ってしまった子どもに対し、

「違うでしょ、（ $a_6=$ ） $16$ でしょ。」

と母親は修正を促したのです。

しかしながら、一度素数だと勘違いしてしまった少年は

「じゅーなな、じゅーきゅ、にじゅーさん、にじゅーきゅ、さんじゅいち！」

と止まることが出来なくなってしまって、母親は

「この子の数学力はまだまだね。」

と呆れてしまったのであった。。。

冒頭のツイートはもしかしたらこのようなエピソードだったんじゃないか？と妄想してしまったせきゅーん（当ブログ管理人）なのでした。

数列の満たす漸化式

実はこの数列は次のような単純な漸化式を満たします：

定理前節の数遊びの数列 $\{a_n\}$ は $a_1=2$ および

$\displaystyle a_n=\left[ \frac{5+a_1+\cdots +a_{n-1}}{2}\right] \ \ (n \geq 2)$ ]

によって定まる。ここで、 $[ \ ]$ はGauss記号。

この定理を証明しましょう。

定義
各 $n$ に対して、前節で考えたような図の最後の状態の彩色グラフを考える。そのグラフの下の２段の状況が下の図のどちらの状況になっているかによって、「 $a_n$ はType Aである」または「 $a_n$ はType Bである」と表現することにする。
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$a_1, a_2, a_4, a_6$ はType Aであり、 $a_3, a_5$ はType Bです。

Typeについては数遊びの定義から次が分かります：

補題１ 次が成り立つ：

$\begin{equation}\begin{split}&a_n\text{が偶数かつType A} \Longrightarrow a_{n+1}\text{はType A} \\ &a_n\text{が偶数かつType B} \Longrightarrow a_{n+1}\text{はType B} \\ &a_n\text{が奇数かつType A} \Longrightarrow a_{n+1}\text{はType B} \\ &a_n\text{が奇数かつType B} \Longrightarrow a_{n+1}\text{はType A} \end{split}\end{equation}$

次に、数列 $\{b_n\}$ を「 $a_{n+1}$ をカウントする図において新しく増えた黒丸の個数」と定義します。

$b_1=1, b_2=1, b_3=3, b_4=3, b_5=6, b_6=8, \dots$

すると、数遊びのルールから

$\displaystyle a_{n+1}=2a_n-b_n$ ―①

であることが分かります。

また、次の補題が成り立つことも数遊びのルールから分かります：

補題２ $b_n$ は次のように $a_n$ を用いて書ける：

$\displaystyle b_n = \begin{cases}\frac{a_n}{2} & a_n\text{が偶数} \\ \frac{a_n-1}{2} & a_n\text{が奇数かつType A} \\ \frac{a_n+1}{2} & a_n\text{が奇数かつType B} \end{cases}$

最後に次の補題が必要になります：

補題３

$\begin{equation}\begin{split}&a_1+\cdots +a_{n-1}\text{が偶数} \Longrightarrow a_n\text{はType A} \\ &a_1+\cdots +a_{n-1}\text{が奇数} \Longrightarrow a_n\text{はType B} \end{split}\end{equation}$

証明. $n$ に関する数学的帰納法で証明する。 $n=2$ のときは正しい。 $n$ で正しいと仮定して $n+1$ のときに証明する。
$a_n$ が偶数のとき $a_1+\cdots +a_n$ が偶数ならば $a_1+\cdots +a_{n-1}$ も偶数なので、帰納法の仮定によって $a_n$ は偶数でType Aである。よって、補題１より $a_{n+1}$ はType Aである。また、 $a_1+\cdots +a_n$ が奇数ならば $a_1+\cdots + a_{n-1}$ は奇数で、帰納法の仮定により $a_n$ は奇数でType Bとなる。よって、補題１より $a_{n+1}$ はやはりType Aである。 $a_n$ が奇数の場合も同様に示す。 Q.E.D.

定理の証明. $n$ に関する数学的帰納法で証明する。 $n=1$ のときは正しいので、 $n$ で正しいと仮定して $n+1$ のときに証明する。

$a_n$ が偶数のとき $\displaystyle \frac{a_n}{2}$ は整数なので、

$\displaystyle \left[ \frac{5+a_1+\cdots +a_n}{2} \right] = \left[ \frac{5+a_1+\cdots +a_{n-1}}{2}\right] + \frac{a_n}{2}$

が成り立つ。帰納法の仮定により、これは $\displaystyle \frac{3}{2}a_n$ に等しい。一方、補題２より $\displaystyle b_n = \frac{a_n}{2}$ なので、 $\displaystyle a_{n+1} = 2a_n-b_n=\frac{3}{2}a_n$ 。よって、 $n+1$ のときも主張は正しい。

$a_n$ が奇数かつType Aのとき補題３より $a_1+\cdots +a_{n-1}$ は偶数でなければならない。従って、

$\displaystyle \left[ \frac{5+a_1+\cdots +a_{n-1}}{2} \right] = \frac{5+a_1+\cdots + a_{n-1}}{2}-\frac{1}{2}$

および

$\displaystyle \left[ \frac{5+a_1+\cdots +a_{n}}{2} \right] = \frac{5+a_1+\cdots + a_{n}}{2}$

が成り立つ。よって、帰納法の仮定により

$\displaystyle \left[ \frac{5+a_1+\cdots +a_{n}}{2} \right] = \frac{3a_n+1}{2}$

となるが、補題２および①よりこれは $a_{n+1}$ に等しい。

$a_n$ が奇数かつType Bのとき補題３より $a_1+\cdots +a_{n-1}$ は奇数でなければならない。従って、

$\displaystyle \left[ \frac{5+a_1+\cdots +a_{n-1}}{2} \right] = \frac{5+a_1+\cdots + a_{n-1}}{2}$

および

$\displaystyle \left[ \frac{5+a_1+\cdots +a_{n}}{2} \right] = \frac{5+a_1+\cdots + a_{n}}{2}-\frac{1}{2}$

が成り立つ。よって、帰納法の仮定により

$\displaystyle \left[ \frac{5+a_1+\cdots +a_{n}}{2} \right] = \frac{3a_n-1}{2}$

となるが、補題２および①よりこれは $a_{n+1}$ に等しい。 Q.E.D.

$a_1, \dots, a_{100}$ のデータ

$a_{1}= 2$ ←素数！
$a_{2}= 3$ ←素数！
$a_{3}= 5$ ←素数！
$a_{4}= 7$ ←素数！
$a_{5}= 11$ ←素数！
$a_{6}= 16$
$a_{7}= 24$
$a_{8}= 36$
$a_{9}= 54$
$a_{10}= 81$
$a_{11}= 122$
$a_{12}= 183$
$a_{13}= 274$
$a_{14}= 411$
$a_{15}= 617$ ←素数！
$a_{16}= 925$
$a_{17}= 1388$
$a_{18}= 2082$
$a_{19}= 3123$
$a_{20}= 4684$
$a_{21}= 7026$
$a_{22}= 10539$
$a_{23}= 15809$ ←素数！
$a_{24}= 23713$
$a_{25}= 35570$
$a_{26}= 53355$
$a_{27}= 80032$
$a_{28}= 120048$
$a_{29}= 180072$
$a_{30}= 270108$
$a_{31}= 405162$
$a_{32}= 607743$
$a_{33}= 911615$
$a_{34}= 1367422$
$a_{35}= 2051133$
$a_{36}= 3076700$
$a_{37}= 4615050$
$a_{38}= 6922575$
$a_{39}= 10383862$
$a_{40}= 15575793$
$a_{41}= 23363690$
$a_{42}= 35045535$
$a_{43}= 52568302$
$a_{44}= 78852453$
$a_{45}= 118278680$
$a_{46}= 177418020$
$a_{47}= 266127030$
$a_{48}= 399190545$
$a_{49}= 598785817$
$a_{50}= 898178726$
$a_{51}= 1347268089$
$a_{52}= 2020902133$ ←素数！
$a_{53}= 3031353200$
$a_{54}= 4547029800$
$a_{55}= 6820544700$
$a_{56}= 10230817050$
$a_{57}= 15346225575$
$a_{58}= 23019338362$
$a_{59}= 34529007543$
$a_{60}= 51793511315$
$a_{61}= 77690266972$
$a_{62}= 116535400458$
$a_{63}= 174803100687$
$a_{64}= 262204651031$
$a_{65}= 393306976546$
$a_{66}= 589960464819$
$a_{67}= 884940697229$ ←素数！
$a_{68}= 1327411045843$
$a_{69}= 1991116568765$
$a_{70}= 2986674853147$
$a_{71}= 4480012279721$
$a_{72}= 6720018419581$
$a_{73}= 10080027629372$
$a_{74}= 15120041444058$
$a_{75}= 22680062166087$
$a_{76}= 34020093249130$
$a_{77}= 51030139873695$
$a_{78}= 76545209810543$
$a_{79}= 114817814715814$
$a_{80}= 172226722073721$
$a_{81}= 258340083110582$
$a_{82}= 387510124665873$
$a_{83}= 581265186998809$ ←素数！
$a_{84}= 871897780498214$
$a_{85}= 1307846670747321$
$a_{86}= 1961770006120981$
$a_{87}= 2942655009181472$
$a_{88}= 4413982513772208$
$a_{89}= 6620973770658312$
$a_{90}= 9931460655987468$
$a_{91}= 14897190983981202$
$a_{92}= 22345786475971803$
$a_{93}= 33518679713957704$
$a_{94}= 50278019570936556$
$a_{95}= 75417029356404834$
$a_{96}= 113125544034607251$
$a_{97}= 169688316051910877$
$a_{98}= 254532474077866315$
$a_{99}= 381798711116799473$
$a_{100}= 572698066675199209$