の定義については高校の数学の教科書等を参照してください。
しかしながら、
という表示も大切です。
第一証明
正整数を用いて
と書けたと仮定する。このとき、
とすれば、仮定よりなので、
となってが従う。これは
に矛盾。 Q.E.D.
追記)
とした後に、と合わせることによって、
がいえて即矛盾する。
第三証明
非負整数に対して
とおく。に対して
より、
がわかる。また、部分積分により
が成り立つ。これとから整数
が存在して
と表示されることが帰納的にわかる。(2)の両辺をで割ることによって、(1)より
なるが存在する。さて、
なる整数
が存在したと仮定すると、(3)、(4)より
が成り立つ。は整数なので、
を十分大きくとると矛盾が生じる。 Q.E.D.
第四証明
証明. (5)は明らか。または
のときは
である。
のときは、
を
と展開するとであることから
がわかる。であることから
もわかる。 Q.E.D.
証明. とするとき、
が成り立つので、が無理数であることを示せば十分である。
と仮定しよう。
を固定して補題の
を考える。
とおく。このとき、
なので、
(6)よりこれは整数である。一方、(5)より
が成り立つ。は任意であったので、十分大きい
を考えることにより階乗とガンマ関数 - INTEGERSで解説した極限公式によって矛盾が生じる。 Q.E.D.
第五証明(by Sondow)
とし、閉区間
を次のように帰納的に定義する:
とすると、
であって両方に収束する。すなわち、区間縮小法による確定実数は
である:
さて、が有理数であったと仮定しよう。すると、
が存在して
と書ける。一方、ある整数が存在して
と書けるので、であることから
は
の端点のいずれかに一致せざるを得ない。これは(7)に反する。 Q.E.D.