31, 331, 3331, … Near-repdigit素数と交代階乗和

今日は3月31日。月、日、繋げて出来る数( $3$ , $31$ , $331$ )が全て素数になる貴重な日です。

このような日は以下の記事で紹介しました：
integers.hatenablog.com

$31$ という素数をみると $31$ 桁の素数Berphegor素数
integers.hatenablog.com
を思い出しますが、

$31$ , $331$ という並びをみると次の数列を思い出します：

$31$ ←素数！

$331$ ←素数！

$3331$ ←素数！

$33331$ ←素数！

$333331$ ←素数！

$3333331$ ←素数！

$33333331$ ←素数！

次の数は素数ではありません：

$333333331=17\times 19607843$

$33333331$ は左切り取り可能素数に近いですが、最後の $1$ は素数ではないので左切り取り可能素数ではありません。しかしながら、最後に右から $1$ を切り取れば素数が得られるので削除可能素数です：
integers.hatenablog.com
integers.hatenablog.com

このように同じ数が並んで一部だけ異なる数をNear-repdigit数といい、Near-repdigit数であるような素数のことをNear-repdigit素数といいます。 $3333\cdots 331$ という形の知られているNear-repdigit素数には次のようなものがあるようです*1：

$\displaystyle \underbrace{3\cdots 3}_{17}1$ ←素数！

$\displaystyle \underbrace{3\cdots 3}_{39}1$ ←素数！

$\displaystyle \underbrace{3\cdots 3}_{49}1$ ←素数！

$\displaystyle \underbrace{3\cdots 3}_{59}1$ ←素数！

$\displaystyle \underbrace{3\cdots 3}_{77}1$ ←素数！

$\displaystyle \underbrace{3\cdots 3}_{100}1$ ←素数！

$\displaystyle \underbrace{3\cdots 3}_{150}1$ ←素数！

$\displaystyle \underbrace{3\cdots 3}_{318}1$ ←素数！

$\displaystyle \underbrace{3\cdots 3}_{381}1$ ←素数！

$\displaystyle \underbrace{3\cdots 3}_{783}1$ ←素数！

$\displaystyle \underbrace{3\cdots 3}_{1731}1$ ←素数！

$\displaystyle \underbrace{3\cdots 3}_{1917}1$ ←素数！

似たような現象

素数が連続で現れる他の数列として交代階乗和があります：

$3!-2!+1!=5$ ←素数！

$4!-3!+2!-1!=19$ ←素数！

$5!-4!+3!-2!+1!=101$ ←素数！

$6!-5!+4!-3!+2!-1!=619$ ←素数！

$7!-6!+5!-4!+3!-2!+1!=4421$ ←素数！

$8!-7!+6!-5!+4!-3!+2!-1!=35899$ ←素数！

しかしながら、

$9!-8!+7!-6!+5!-4!+3!-2!+1!=326981=79\times 4139$

は素数ではありません。

$\displaystyle a_n:= (-1)^n\sum_{k=1}^n(-1)^{k}k!$

とすると、

$a_{10}=3301819$ ←素数！

$a_{15}=1226280710981$ ←素数！

$a_{19}=115578717622022981$ ←素数！

$a_{41}=32656499591185747972776747396512425885838364422981$ ←素数！

$\begin{equation}\begin{split}a_{59}= \ &136372385605079432248118270297843987319730859689490\\ &659519593045108637838364422981\end{split}\end{equation}$ ←素数！

$\begin{equation}\begin{split}a_{61}= \ & 499395599150088488088828589263699706832570087241364\\ &247806476254829684637838364422981\end{split}\end{equation}$ ←素数！