君にこの問題が解けるか！？

本日は数学の問題をいくつか出題します。君は何題解けるだろうか！！！？

問１
素数を順番に掛け合わせて $1$ 足した数をEuclid数という：

$2+1=3$

$2\times 3+1=7$

$2\times 3\times 5+1=31$

$2\times 3\times 5\times 7+1=211$

$2\times 3\times 5\times 7\times 11+1=2311$

これらは偶然全て素数であるが

$2\times 3\times 5\times 7\times 11\times 13+1=30031=59\times 509$

は素数でない。それでは、以上の考察を受けて
「素数を $n$ 個順番に掛け合わせて $a_n$ 足し合わせると素数となるような最小の $2$ 以上の整数 $a_n$ 」
を考察することにしよう。例えば：

$2+3=5$

$2\times 3+5=11$

$2\times 3\times 5+7=37$

$2\times 3\times 5\times 7+13=223$

$2\times 3\times 5\times 7\times 11+23=2333$

$2\times 3\times 5\times 7\times 11\times 13+17=30047$

$2\times 3\times 5\times 7\times 11\times 13\times 17+19=510529$

$2\times 3\times 5\times 7\times 11\times 13\times 17\times 19+23=9699713$

$2\times 3\times 5\times 7\times 11\times 13\times 17\times 19\times 23+37=223092907$

$2\times 3\times 5\times 7\times 11\times 13\times 17\times 19\times 23\times 29+61=6469693291$

$2\times 3\times 5\times 7\times 11\times 13\times 17\times 19\times 23\times 29\times 31+67=200560490197$

から
$a_1=3, \ a_2=5, \ a_3=7, \ a_4=13, \ a_5=23, \ a_6=17, \ a_7=19, \ a_8=23, \ a_9=37, \ a_{10}=61,$
$a_{11}=67$
が分かる。任意の $n$ に対して $a_n$ は素数であることを証明せよ。

問２
階乗交代和 $a_n$ を次のように定義する：

$\displaystyle a_n:=(-1)^n\sum_{k=1}^n(-1)^kk!$

また、 $a_n$ の最小の素因数を $p_n$ とする。このとき、任意の自然数 $n$ に対して

$p_n > n$

が成り立つことを示せ。

問３
数列 $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ を $a_1=1$ および

$na_{n+1}=1+a_1^2+a_2^2+\cdots +a_n^2$

によって定義する。
$a_1=1, \ a_2=2, \ a_3=3, \ a_4=5, \ a_5=10, \ a_6=28, \ a_7=154, \ a_8=3520, \dots$
このとき、任意の自然数 $n$ に対して $a_n$ が整数であることを証明せよ。

問４
次の形式的べき級数の等式を証明せよ：

$\displaystyle \prod_{n=1}^{\infty}\frac{1}{1-x^{p_n}} = 1+ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{p_1+p_2+\cdots +p_n}}{(1-x)(1-x^2)\cdots (1-x^n)}.$

ここで、 $p_n$ は $n$ 番目の素数を表す。

参考記事

Euclid数に関しては
integers.hatenablog.com
階乗交代和に関しては
integers.hatenablog.com
を参照してください。

追記

この記事は4/1に執筆したということでエイプリルフールネタでした。どういうネタかというと、どの問題も証明せよと言われている主張が成り立たないというものです(問一のみは未解決)。「成り立たねえじゃねえかよ！嘘つくな！」「エイプリルフールだから嘘をつきました」というわけです。それぞれについて記事を書く予定です。