インテジャーズ

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数、特に整数に関する記事。

31, 331, 3331, … Near-repdigit素数と階乗交代和

今日は3月31日。月、日、繋げて出来る数(3, 31, 331)が全て素数になる貴重な日です。

このような日は以下の記事で紹介しました:
integers.hatenablog.com

31という素数をみると31桁の素数Berphegor素数
integers.hatenablog.com
を思い出しますが、

31, 331という並びをみると次の数列を思い出します:

31 ←素数!
331 ←素数!
3331 ←素数!
33331 ←素数!
333331 ←素数!
3333331 ←素数!
33333331 ←素数!

次の数は素数ではありません:

333333331=17\times 19607843

33333331は左切り取り可能素数に近いですが、最後の1は素数ではないので左切り取り可能素数ではありません。しかしながら、最後に右から1を切り取れば素数が得られるので削除可能素数です:
integers.hatenablog.com
integers.hatenablog.com

このように同じ数が並んで一部だけ異なる数をNear-repdigit数といい、Near-repdigit数であるような素数のことをNear-repdigit素数といいます。3333\cdots 331という形の知られているNear-repdigit素数には次のようなものがあるようです*1

\displaystyle \underbrace{3\cdots 3}_{17}1 ←素数!
\displaystyle \underbrace{3\cdots 3}_{39}1 ←素数!
\displaystyle \underbrace{3\cdots 3}_{49}1 ←素数!
\displaystyle \underbrace{3\cdots 3}_{59}1 ←素数!
\displaystyle \underbrace{3\cdots 3}_{77}1 ←素数!
\displaystyle \underbrace{3\cdots 3}_{100}1 ←素数!
\displaystyle \underbrace{3\cdots 3}_{150}1 ←素数!
\displaystyle \underbrace{3\cdots 3}_{318}1 ←素数!
\displaystyle \underbrace{3\cdots 3}_{381}1 ←素数!
\displaystyle \underbrace{3\cdots 3}_{783}1 ←素数!
\displaystyle \underbrace{3\cdots 3}_{1731}1 ←素数!
\displaystyle \underbrace{3\cdots 3}_{1917}1 ←素数!

似たような現象

素数が連続で現れる他の数列として階乗交代和があります:

3!-2!+1!=5 ←素数!
4!-3!+2!-1!=19 ←素数!
5!-4!+3!-2!+1!=101 ←素数!
6!-5!+4!-3!+2!-1!=619 ←素数!
7!-6!+5!-4!+3!-2!+1!=4421 ←素数!
8!-7!+6!-5!+4!-3!+2!-1!=35899 ←素数!

しかしながら、
9!-8!+7!-6!+5!-4!+3!-2!+1!=326981=79\times 4139
は素数ではありません。

\displaystyle a_n:= (-1)^n\sum_{k=1}^n(-1)^{k}k!

とすると、

a_{10}=3301819 ←素数!
a_{15}=1226280710981 ←素数!
a_{19}=115578717622022981 ←素数!
a_{41}=32656499591185747972776747396512425885838364422981 ←素数!
\begin{equation}\begin{split}a_{59}=&136372385605079432248118270297843987319730859689490\\ &659519593045108637838364422981\end{split}\end{equation} ←素数!
\begin{equation}\begin{split}a_{61}=& 499395599150088488088828589263699706832570087241364\\ &247806476254829684637838364422981\end{split}\end{equation} ←素数!

などの素数があります。


*1:STADIO KAMADAを参照。