メルテンス関数

Mertens関数 $M(x)$ は

$\displaystyle M(x) := \sum_{n \leq x} \mu(n)$

で定義されます。ここで、 $\mu(n)$ はMöbius関数です: メビウス関数 - INTEGERS

数値例

$\begin{align} M(31) &= \mu(1)+ \mu(2)+\mu(3)+\mu(5)+\mu(6)+\mu(7)+\mu(10)+\mu(11)+\mu(13)+\mu(14)+\mu(15)\\ &\quad +\mu(17)+\mu(19)+\mu(20)+\mu(21)+\mu(23)+\mu(26)+\mu(29)+\mu(30)+\mu(31)\\ &= 1-1-1-1+1-1+1-1-1+1+1-1-1+1+1-1+1-1-1-1 \\ &= -4\end{align}$

$M(1)=1$ の次にMertens関数の値が $1$ をとるのは $M(94) = 1$ です。

$M(2018)=1, \ M(10^8)=1928$ など。

Riemann予想

Riemann予想は任意の $\varepsilon > 0$ に対して

$\displaystyle M(x) = O(x^{\frac{1}{2}+\varepsilon}), \quad x \to \infty$

が成り立つことと同値です。Mertens関数に関するこの評価からRiemann予想が導出されることは次のように証明されます*1:

$s=\sigma+it \in \mathbb{C}$ , $\sigma > 1/2$ とする。トーシェント関数に関する漸近評価 - INTEGERSの補題１およびAbelの総和法 *2より

$\displaystyle \frac{1}{\zeta(s)} = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\mu(n)}{n^s} = s\int_1^{\infty}t^{-s-1}M(t)dt$

が成り立つ。 $M=O(x^{\frac{1}{2}+\varepsilon})$ と仮定すると、積分は

$\displaystyle \left|\int_1^{\infty}t^{-s-1}M(t)dt\right| \ll \int_1^{\infty}t^{-\frac{1}{2}+\varepsilon -\sigma}dt$

と評価できるので、 $\sigma > \frac{1}{2}+\varepsilon$ で広義一様絶対収束する。よって、 $\varepsilon > 0$ は任意であるから、 $1/\zeta(s)$ は $\sigma > 1/2$ で正則となり、(関数等式により)これはRiemann予想の成立を意味する。 Q.E.D.