van der Waerdenの定理
におけるの取り得る最小の値をvan der Waerden数といい、
と表します。
はすぐに分かります。それ以外に確定しているのは
のみです(このうちは素数)。
一般的な上界についてはGowers(フィールズメダリスト)によるものがbestのようです:
定理 (Gowers, 2001) ![\ \ \ W(k, m) < 2^{2^{m^{2^{2^{k+9}}}}}.](http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=%5C%C2%A0%5C%C2%A0%5C%C2%A0W%28k%2C%20m%29%20%3C%202%5E%7B2%5E%7Bm%5E%7B2%5E%7B2%5E%7Bk%2B9%7D%7D%7D%7D%7D.)
特に、の場合は
が示されていることになりますが、次のような予想があります:
Grahamの1000ドル予想 ![\ \ \ W(k, 2) \leq 2^{k^2}.](http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=%5C%C2%A0%5C%C2%A0%5C%C2%A0W%28k%2C%202%29%20%5Cleq%202%5E%7Bk%5E2%7D.)
van der Waerdenの定理
におけるの取り得る最小の値をvan der Waerden数といい、
と表します。
はすぐに分かります。それ以外に確定しているのは
のみです(このうちは素数)。
一般的な上界についてはGowers(フィールズメダリスト)によるものがbestのようです:
特に、の場合は
が示されていることになりますが、次のような予想があります: