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数、特に整数に関する記事。

タオのセメレディ論文の§9を読む(その一)

§9 Compactness on atoms, and an application of van der Waerden's theorem を二回に分けて読んでいきます。残すところは構造化回帰定理(Thm 3.3)のみですが、これは§9と§10の二節を使って証明されている最も難しい部分となります。この記事ではKeyとなる命題を紹介し、その命題からThm 3.3のd=1の場合が出ることを確認します。そして、命題の証明は幾つかの帰着をしながら実行されますが、第四帰着までを扱います。

命題 (条件付き一様概周期関数に対する回帰性, Proposition 9.1)
(データ)
\mathcal{B}\mathbb{Z}_N上の\sigma-加法族、Mを正の実数、Hを空でない有限集合とする。各 n \in \mathbb{Z}_N, \ h \in H 毎にc_{n, h}を有界\mathcal{B}-可測関数とし、各h \in Hに対しg_hを有界関数とする。これらの関数を用いて、各n \in \mathbb{Z}_N毎に関数F_n
F_n:=M\mathbb{E}_{h \in H}(c_{n, h}g_h)

と定義する。f_{U^{\perp}}は非負値有界関数とする。
(定義) 実数\delta > 0, 正整数 k \in \mathbb{Z}_+, n \in \mathbb{Z}_Nに対して集合E_n(k, \delta, \mathcal{B})

\displaystyle E_n(k, \delta, \mathcal{B}):=\left\{x \in \mathbb{Z}_N\left|\left.\mathbb{E}(T^nf_{U^{\perp}}\right|\mathcal{B})(x) \geq \frac{\delta}{2}, \ \left. \mathbb{E}(\left|T^nf_{U^{\perp}}-F_n\right| \right| \mathcal{B})(x) \leq \frac{\delta}{8k}\right\}\right.

と定義する。
(主張) 以上の設定のもと、任意の\delta > 0及びk \in \mathbb{Z}_+に対し、或る正整数 k_{\ast}=k_{\ast}(k, \delta, M)が存在して

\displaystyle \mathbb{E}_{1 \leq r \leq N_0}\left(\int_{\mathbb{Z}_N}\prod_{j=0}^{k-1}T^{\mu jr}f_{U^{\perp}}\right) \gg_{k, \delta, M}\mathbb{E}_{1 \leq \lambda \leq \frac{N_0}{k_{\ast}}}\left(\mathbb{P}_{\mathbb{Z}_N}\left( \bigcap_{m=1}^{k_{\ast}}E_{\mu \lambda m}(k, \delta, \mathcal{B})\right) \right)

が任意の\mu \in \mathbb{Z}_Nと整数 N_0 \geq k_{\ast}に対して成立する(r, \lambdaは整数を動く)。

構造化回帰定理のd=1の場合の証明

(再掲) 一様概周期関数の回帰性 (Theorem 3.3) d \geq 0, k\geq 1を整数とする。非負値有界関数 f_{U^{\perp}}, f_{UAP}は或る 0 < \delta \leq 1, M > 0に対して
1. \displaystyle \left\| f_{U^{\perp}}-f_{UAP} \right\|_{L^2} \leq \frac{\delta^2}{1024k},\quad 2. \displaystyle \int_{\mathbb{Z}_N}f_{U^{\perp}} \geq \delta,\quad 3. \left\|f_{UAP}\right\|_{UAP^d} < M
を満たすと仮定する。このとき、任意の\mu \in \mathbb{Z}_N及び正整数N_1に対して
\displaystyle \mathbb{E}_{0 \leq r \leq N_1}\left( \int_{\mathbb{Z}_N}\prod_{j=0}^{k-1}T^{\mu jr}f_{U^{\perp}}\right) \gg_{d, k, \delta, M} 1
が成り立つ。

命題を仮定した上でのd=1の場合の証明

Thm 3.3のd=1の場合のf_{U^{\perp}}, f_{UAP}, k, M, \deltaを取る。\left\|f_{UAP}\right\|_{UAP^1} < Mなので、一様概周期関数の定義によって、空でない有限集合Hn \in \mathbb{Z}_N, \ h \in H毎に定まる絶対値1以下の複素数c_{n, h}, h \in H毎に定まる有界関数 g_hが存在して、任意のn \in \mathbb{Z}_Nに対して

\displaystyle T^nf_{UAP} = F_n = M\mathbb{E}_{h \in H}(c_{n, h}g_h)

と表示できる。\mathcal{B}=\{\emptyset, \mathbb{Z}_N\}とすれば \mathcal{B}-可測関数 = 定数関数となるので、冒頭の命題が適用可能な状況となった。よって、命題よりk_{\ast}が存在し、任意の\mu \in \mathbb{Z}_Nと整数N_1 \geq k_{\ast}に対して、

\displaystyle \mathbb{E}_{1 \leq r \leq N_1}\left(\int_{\mathbb{Z}_N}\prod_{j=0}^{k-1}T^{\mu jr}f_{U^{\perp}}\right) \gg_{k, \delta, M}\mathbb{E}_{1 \leq \lambda \leq \frac{N_1}{k_{\ast}}}\left(\mathbb{P}_{\mathbb{Z}_N}\left( \bigcap_{m=1}^{k_{\ast}}E_{\mu \lambda m}(k, \delta, \mathcal{B})\right) \right)

が成立する。実は、考察中の各\mu, \lambda, mに対して E_{\mu \lambda m}(k, \delta, \mathcal{B})=\mathbb{Z}_N が確認できる。そのためには、

\displaystyle \int_{\mathbb{Z}_N}T^{\mu \lambda m}f_{U^{\perp}} \geq \frac{\delta}{2}, \quad \int_{\mathbb{Z}_N}\left|T^{\mu \lambda m}f_{U^{\perp}}-F_{\mu \lambda m}\right| \leq \frac{\delta}{8k}

が成り立つことを確認すればよい。一つ目は \displaystyle \int_{\mathbb{Z}_N}f_{U^{\perp}} \geq \delta であることと積分のシフト不変性から従う。二つ目は積分のシフト不変性とCauchy-Schwarzの不等式より

\begin{align} \int_{\mathbb{Z}_N}\left|T^{\mu \lambda m}f_{U^{\perp}}-F_{\mu \lambda m}\right| &= \int_{\mathbb{Z}_N}T^{\mu \lambda m}\left|f_{U^{\perp}}-f_{UAP}\right| = \int_{\mathbb{Z}_N}\left|f_{U^{\perp}}-f_{UAP}\right|\\  &\leq \left\|f_{U^{\perp}}-f_{UAP}\right\|_{L^2} \leq \frac{\delta^2}{1024k} \leq \frac{\delta}{8k}\end{align}

と確認できる。従って、今のケースでは

\displaystyle \mathbb{E}_{1 \leq \lambda \leq \frac{N_1}{k_{\ast}}}\left(\mathbb{P}_{\mathbb{Z}_N}\left( \bigcap_{m=1}^{k_{\ast}}E_{\mu \lambda m}(k, \delta, \mathcal{B})\right) \right)=1

である。f_{U^{\perp}}は非負値なので、

\displaystyle 2\mathbb{E}_{0 \leq r \leq N_1}\left(\int_{\mathbb{Z}_N}\prod_{j=0}^{k-1}T^{\mu jr}f_{U^{\perp}}\right) \geq \mathbb{E}_{1 \leq r \leq N_1}\left(\int_{\mathbb{Z}_N}\prod_{j=0}^{k-1}T^{\mu jr}f_{U^{\perp}}\right)

であり、N_1 \geq k_{\ast}の場合は所望の不等式が得られたことになる。N_1 < k_{\ast}の場合は f_{U^{\perp}}が非負値なので

\displaystyle k_{\ast}\mathbb{E}_{0 \leq r \leq N_1}\left(\int_{\mathbb{Z}_N}\prod_{j=0}^{k-1}T^{\mu jr}f_{U^{\perp}}\right) \geq \int_{\mathbb{Z}_N}f_{U^{\perp}}^k \geq \left(\int_{\mathbb{Z}_N}f_{U^{\perp}}\right)^k \geq \delta^k

と評価でき(Hölderの不等式を用いた)、k_{\ast}k, \delta, Mで決まるので

\displaystyle \mathbb{E}_{0 \leq r \leq N_1}\left(\int_{\mathbb{Z}_N}\prod_{j=0}^{k-1}T^{\mu jr}f_{U^{\perp}}\right) \gg_{k, \delta, M} 1

を得る。 Q.E.D.

なお、非負値有界関数 f_{UAP}\left\|f_{UAP}\right\|_{UAP^0} < M を満たせば

\displaystyle \left\|f_{UAP}\right\|_{UAP^1} \leq \left\|f_{UAP}\right\|_{UAP^0} < M

なので、d=1の場合からd=0の場合も従う。

命題の証明

それでは命題の証明を始めます。この記事では四段階帰着させます。

第一帰着 命題の設定のもと、任意の\delta > 0及びk \in \mathbb{Z}_+に対して或る正整数 k_{\ast}=k_{\ast}(k, \delta, M)が存在し、任意の\mu \in \mathbb{Z}_Nと整数 N_0 \geq k_{\ast}に対して
\displaystyle \mathbb{E}_{1 \leq a, s \leq \frac{k_{\ast}}{k}}\left( \int_{\mathbb{Z}_N}\prod_{j=0}^{k-1}T^{\mu \lambda (a+js)}f_{U^{\perp}}\right) \gg_{\delta, k, k_{\ast}} \mathbb{P}_{\mathbb{Z}_N}\left(\bigcap_{m=1}^{k_{\ast}}E_{\mu \lambda m}(k, \delta, \mathcal{B})\right)
が各 1 \leq \lambda \leq N_0/k_{\ast} について成り立つことを示せばよい。ここで、a, s, \lambdaは整数。

帰着の確認

第一帰着の主張が証明されたと仮定する。このとき、\lambdaについて平均を取れば

\displaystyle \mathbb{E}_{1\leq \lambda \leq \frac{N_0}{k_{\ast}}; 1 \leq a, s \leq \frac{k_{\ast}}{k}}\left( \int_{\mathbb{Z}_N}\prod_{j=0}^{k-1}T^{\mu \lambda (a+js)}f_{U^{\perp}}\right)\gg_{\delta, k, k_{\ast}}\mathbb{E}_{1 \leq \lambda \leq \frac{N_0}{k_{\ast}}}\left( \mathbb{P}_{\mathbb{Z}_N}\left(\bigcap_{m=1}^{k_{\ast}}E_{\mu \lambda m}(k, \delta, \mathcal{B})\right) \right)

が得られる。シフト作用素の性質により

\displaystyle \prod_{j=0}^{k-1}T^{\mu \lambda(a+js)}f_{U^{\perp}} = \prod_{j=0}^{k-1}T^{\mu \lambda a}\left( T^{\mu \lambda js}f_{U^{\perp}}\right) = T^{\mu \lambda a}\Biggl(\prod_{j=0}^{k-1}T^{\mu \lambda js}f_{U^{\perp}}\Biggr)

と変形できるので、積分のシフト不変性から

\displaystyle \mathbb{E}_{1\leq \lambda \leq \frac{N_0}{k_{\ast}}; 1 \leq a, s \leq \frac{k_{\ast}}{k}}\left( \int_{\mathbb{Z}_N}\prod_{j=0}^{k-1}T^{\mu \lambda js}f_{U^{\perp}}\right) \gg_{\delta, k, k_{\ast}}\mathbb{E}_{1 \leq \lambda \leq \frac{N_0}{k_{\ast}}}\left( \mathbb{P}_{\mathbb{Z}_N}\left(\bigcap_{m=1}^{k_{\ast}}E_{\mu \lambda m}(k, \delta, \mathcal{B})\right) \right)

を得る。左辺の期待値の中身はaに依らないので、

\displaystyle \mathbb{E}_{1\leq \lambda \leq \frac{N_0}{k_{\ast}}; 1 \leq s \leq \frac{k_{\ast}}{k}}\left( \int_{\mathbb{Z}_N}\prod_{j=0}^{k-1}T^{\mu \lambda js}f_{U^{\perp}}\right) \gg_{\delta, k, k_{\ast}}\mathbb{E}_{1 \leq \lambda \leq \frac{N_0}{k_{\ast}}}\left( \mathbb{P}_{\mathbb{Z}_N}\left(\bigcap_{m=1}^{k_{\ast}}E_{\mu \lambda m}(k, \delta, \mathcal{B})\right) \right)

と書き直せる。ここで、1 \leq r \leq N_0/k なる整数r

\displaystyle r=\lambda s, \quad 1 \leq \lambda \leq \frac{N_0}{k_{\ast}}, \ 1 \leq s \leq \frac{k_{\ast}}{k}

と表示する場合の数は高々\displaystyle \left[ \frac{k_{\ast}}{k}\right] = O_{k, k_{\ast}}(1) なので、f_{U^{\perp}}の非負性より

\begin{align}&\left[\frac{N_0}{k_{\ast}}\right] \times \left[\frac{k_{\ast}}{k}\right]\mathbb{E}_{1 \leq \lambda \leq \frac{N_0}{k_{\ast}}; 1 \leq s \leq \frac{k_{\ast}}{k}}\left(\int_{\mathbb{Z}_N}\prod_{j=0}^{k-1}T^{\mu \lambda js}f_{U^{\perp}} \right)
\\ &\leq O_{k, k_{\ast}}(1)\left[ \frac{N_0}{k}\right]\mathbb{E}_{1 \leq r \leq \frac{N_0}{k}}\left(\int_{\mathbb{Z}_N}\prod_{j=0}^{k-1}T^{\mu jr}f_{U^{\perp}}\right) \leq O_{k, k_{\ast}}(1)N_0\mathbb{E}_{1 \leq r \leq N_0}\left( \int_{\mathbb{Z}_N}\prod_{j=0}^{k-1}T^{\mu jr}f_{U^{\perp}}\right) \end{align}

と評価できる。すなわち、

\displaystyle \mathbb{E}_{1 \leq r \leq N_0} \left( \int_{\mathbb{Z}_N}\prod_{j=0}^{k-1}T^{\mu jr}f_{U^{\perp}}\right) \gg_{k, k_{\ast}} \mathbb{E}_{1\leq \lambda \leq \frac{N_0}{k_{\ast}}; 1 \leq s \leq \frac{k_{\ast}}{k}}\left( \int_{\mathbb{Z}_N}\prod_{j=0}^{k-1}T^{\mu \lambda js}f_{U^{\perp}}\right)

がわかったので、

\displaystyle \mathbb{E}_{1 \leq r \leq N_0} \left( \int_{\mathbb{Z}_N}\prod_{j=0}^{k-1}T^{\mu jr}f_{U^{\perp}}\right) \gg_{\delta, k, k_{\ast}}\mathbb{E}_{1 \leq \lambda \leq \frac{N_0}{k_{\ast}}}\left( \mathbb{P}_{\mathbb{Z}_N}\left(\bigcap_{m=1}^{k_{\ast}}E_{\mu \lambda m}(k, \delta, \mathcal{B})\right) \right)

が得られた。k_{\ast}は最終的にk, \delta, Mから決まるので命題が従う。 確認完了

第二帰着 命題の設定のもと、任意の\delta > 0及びk \in \mathbb{Z}_+に対して或る正整数 k_{\ast}=k_{\ast}(k, \delta, M)が存在し、任意の正整数 \lambdaに対して
\displaystyle \mathbb{E}_{1 \leq a, s \leq \frac{k_{\ast}}{k}}\left( \int_{\mathbb{Z}_N}\prod_{j=0}^{k-1}T^{\lambda (a+js)}f_{U^{\perp}}\right) \gg_{\delta, k, k_{\ast}} \mathbb{P}_{\mathbb{Z}_N}\left(\bigcap_{m=1}^{k_{\ast}}E_{\lambda m}(k, \delta, \mathcal{B})\right)
が成り立つことを示せばよい。ここで、a, s, \lambdaは整数。

帰着の確認

第二帰着の主張が証明されれば、\lambdaには制限がないので、\lambda \mapsto \mu \lambdaとすることにより第一帰着の主張が従う*1確認完了

補題 命題の主張中で定義されている集合E_{n}(k, \delta, \mathcal{B})\mathcal{B}の元である(\mathcal{B}-可測集合)。

証明. x \in E_{n}(k, \delta, \mathcal{B})をとると、\mathcal{B}-可測関数はアトム上定数なので、定義より

\mathcal{B}(x) \subset E_{n}(k, \delta, \mathcal{B})

である(\mathcal{B}(x)xを含むような\mathcal{B}のアトム)。このことから、E_{n}(k, \delta, \mathcal{B})は幾つかのアトムの和集合として書けることがわかる。 Q.E.D.

よって、\displaystyle \bigcap_{m=1}^{k_{\ast}}E_{\lambda m}(k, \delta, \mathcal{B})\mathcal{B}-可測集合であり、

\displaystyle \bigcap_{m=1}^{k_{\ast}}E_{\lambda m}(k, \delta, \mathcal{B}) = \bigsqcup_{i=1}^KA_i –①

\mathcal{B}のアトムの和集合として書ける(K及びA_i\delta, k, k_{\ast}, \lambda, \mathcal{B}に依存して定まる)。

第三帰着 命題の設定のもと、任意の\delta > 0及びk \in \mathbb{Z}_+に対して或る正整数 k_{\ast}=k_{\ast}(k, \delta, M)が存在し、任意の正整数 \lambdaに対して次が成り立つことを示せば十分である:
①に現れる任意のアトム A_iに対し、
\displaystyle \mathbb{E}_{1 \leq a, s \leq \frac{k_{\ast}}{k}}\left( \mathbb{E}_{A_i}\left( \prod_{j=0}^{k-1}T^{\lambda(a+js)}f_{U^{\perp}}\right)\right) \gg_{\delta, k, k_{\ast}} 1
が成立する。

帰着の確認

第三帰着の主張が各A_iに対して示されたとする。このとき、各不等式の両辺に \mathbb{P}_{\mathbb{Z}_N}(A_i) を掛けてi=1, \dots, Kで足し合わせる。その結果、右辺は

\displaystyle \sum_{i=1}^K\mathbb{P}_{\mathbb{Z}_N}(A_i) = \mathbb{P}_{\mathbb{Z}_N}\left(\bigcap_{m=1}^{k_{\ast}}E_{\lambda m}(k, \delta, \mathcal{B})\right)

であり、a, sを固定するとき

\displaystyle \sum_{i=1}^K\mathbb{P}_{\mathbb{Z}_N}(A_i)\mathbb{E}_{A_i}\left(\prod_{j=0}^{k-1}T^{\lambda(a+js)}f_{U^{\perp}}\right) = \int_{\mathbb{Z}_N }\prod_{j=0}^{k-1}T^{\lambda (a+js)}f_{U^{\perp}}

なので、和の取り換えによって左辺は

\displaystyle \sum_{i=1}^K\mathbb{P}_{\mathbb{Z}_N}(A_i)\mathbb{E}_{1 \leq a, s \leq \frac{k_{\ast}}{k}}\left( \mathbb{E}_A\left( \prod_{j=0}^{k-1}T^{\lambda(a+js)}f_{U^{\perp}}\right)\right) = \mathbb{E}_{1 \leq a, s \leq \frac{k_{\ast}}{k}}\left( \int_{\mathbb{Z}_N}\prod_{j=0}^{k-1}T^{\lambda (a+js)}f_{U^{\perp}}\right)

となる。すなわち、第二帰着の主張が示される。 確認完了

第四帰着 命題の設定のもと、任意の\delta > 0及びk \in \mathbb{Z}_+に対して或る正整数 k_{\ast}=k_{\ast}(k, \delta, M)が存在し、任意の正整数 \lambdaに対して次が成り立つことを示せば十分である:
①に現れる各アトム A_iに対し、或る1 \leq a, s \leq k_{\ast}/kなるペア(a, s)であって
\displaystyle \mathbb{E}_{A_i}\left( \prod_{j=0}^{k-1}T^{\lambda(a+js)}f_{U^{\perp}}\right) \gg_{\delta, k}1
が成り立つようなものが少なくとも一つ存在する。

帰着の確認

第四帰着の主張が示されたと仮定する。\lambda, \ iを固定して、仮定によって存在する特別なペアを(b, t)とする。1 \leq a, s \leq k_{\ast}/kなるペア(a, s)の個数は高々O_{k, k_{\ast}}(1)なので、f_{U^{\perp}}の非負性より

\displaystyle O_{k, k_{\ast}}(1) \mathbb{E}_{1 \leq a, s \leq \frac{k_{\ast}}{k}}\left( \mathbb{E}_{A_i}\left( \prod_{j=0}^{k-1}T^{\lambda(a+js)}f_{U^{\perp}}\right)\right) \geq \mathbb{E}_{A_i}\left( \prod_{j=0}^{k-1}T^{\lambda(b+jt)}f_{U^{\perp}}\right) \gg_{\delta, k}1

であり、

\displaystyle \mathbb{E}_{1 \leq a, s \leq \frac{k_{\ast}}{k}}\left( \mathbb{E}_{A_i}\left( \prod_{j=0}^{k-1}T^{\lambda(a+js)}f_{U^{\perp}}\right)\right) \gg_{\delta, k, k_{\ast}} 1

となって、第三帰着の主張が示される。 確認完了

*1:ここは\mathrm{pr}_N\colon \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}_Nの省略が散見されます。