2017-09-21

タオのセメレディ論文の§9を読む(その一)

§9 Compactness on atoms, and an application of van der Waerden's theorem を二回に分けて読んでいきます。残すところは構造化回帰定理(Thm 3.3)のみですが、これは§9と§10の二節を使って証明されている最も難しい部分となります。この記事ではKeyとなる命題を紹介し、その命題からThm 3.3の $d=1$ の場合が出ることを確認します。そして、命題の証明は幾つかの帰着をしながら実行されますが、第四帰着までを扱います。

命題 (条件付き一様概周期関数に対する回帰性, Proposition 9.1)
(データ) $\mathcal{B}$ を $\mathbb{Z}_N$ 上の $\sigma$ -加法族、 $M$ を正の実数、 $H$ を空でない有限集合とする。各 $n \in \mathbb{Z}_N, \ h \in H$ 毎に $c_{n, h}$ を有界 $\mathcal{B}$ -可測関数とし、各 $h \in H$ に対し $g_h$ を有界関数とする。これらの関数を用いて、各 $n \in \mathbb{Z}_N$ 毎に関数 $F_n$ を

$F_n:=M\mathbb{E}_{h \in H}(c_{n, h}g_h)$

と定義する。 $f_{U^{\perp}}$ は非負値有界関数とする。
(定義) 実数 $\delta > 0$ , 正整数 $k \in \mathbb{Z}_+$ , $n \in \mathbb{Z}_N$ に対して集合 $E_n(k, \delta, \mathcal{B})$ を

$\displaystyle E_n(k, \delta, \mathcal{B}):=\left\{x \in \mathbb{Z}_N\left|\left.\mathbb{E}(T^nf_{U^{\perp}}\right|\mathcal{B})(x) \geq \frac{\delta}{2}, \ \left. \mathbb{E}(\left|T^nf_{U^{\perp}}-F_n\right| \right| \mathcal{B})(x) \leq \frac{\delta}{8k}\right\}\right.$

と定義する。
(主張) 以上の設定のもと、任意の $\delta > 0$ 及び $k \in \mathbb{Z}_+$ に対し、或る正整数 $k_{\ast}=k_{\ast}(k, \delta, M)$ が存在して

$\displaystyle \mathbb{E}_{1 \leq r \leq N_0}\left(\int_{\mathbb{Z}_N}\prod_{j=0}^{k-1}T^{\mu jr}f_{U^{\perp}}\right) \gg_{k, \delta, M}\mathbb{E}_{1 \leq \lambda \leq \frac{N_0}{k_{\ast}}}\left(\mathbb{P}_{\mathbb{Z}_N}\left( \bigcap_{m=1}^{k_{\ast}}E_{\mu \lambda m}(k, \delta, \mathcal{B})\right) \right)$

が任意の $\mu \in \mathbb{Z}_N$ と整数 $N_0 \geq k_{\ast}$ に対して成立する( $r, \lambda$ は整数を動く)。

構造化回帰定理の $d=1$ の場合の証明

(再掲) 一様概周期関数の回帰性 (Theorem 3.3) $d \geq 0, k\geq 1$ を整数とする。非負値有界関数 $f_{U^{\perp}}, f_{UAP}$ は或る $0 < \delta \leq 1, M > 0$ に対して

1. $\displaystyle \left\| f_{U^{\perp}}-f_{UAP} \right\|_{L^2} \leq \frac{\delta^2}{1024k},\quad$ 2. $\displaystyle \int_{\mathbb{Z}_N}f_{U^{\perp}} \geq \delta,\quad$ 3. $\left\|f_{UAP}\right\|_{UAP^d} < M$

を満たすと仮定する。このとき、任意の $\mu \in \mathbb{Z}_N$ 及び正整数 $N_1$ に対して

$\displaystyle \mathbb{E}_{0 \leq r \leq N_1}\left( \int_{\mathbb{Z}_N}\prod_{j=0}^{k-1}T^{\mu jr}f_{U^{\perp}}\right) \gg_{d, k, \delta, M} 1$

が成り立つ。

命題を仮定した上での $d=1$ の場合の証明

Thm 3.3の $d=1$ の場合の $f_{U^{\perp}}, f_{UAP}, k, M, \delta$ を取る。 $\left\|f_{UAP}\right\|_{UAP^1} < M$ なので、一様概周期関数の定義によって、空でない有限集合 $H$ と $n \in \mathbb{Z}_N, \ h \in H$ 毎に定まる絶対値 $1$ 以下の複素数 $c_{n, h}$ , $h \in H$ 毎に定まる有界関数 $g_h$ が存在して、任意の $n \in \mathbb{Z}_N$ に対して

$\displaystyle T^nf_{UAP} = F_n = M\mathbb{E}_{h \in H}(c_{n, h}g_h)$

と表示できる。 $\mathcal{B}=\{\emptyset, \mathbb{Z}_N\}$ とすれば $\mathcal{B}$ -可測関数 = 定数関数となるので、冒頭の命題が適用可能な状況となった。よって、命題より $k_{\ast}$ が存在し、任意の $\mu \in \mathbb{Z}_N$ と整数 $N_1 \geq k_{\ast}$ に対して、

$\displaystyle \mathbb{E}_{1 \leq r \leq N_1}\left(\int_{\mathbb{Z}_N}\prod_{j=0}^{k-1}T^{\mu jr}f_{U^{\perp}}\right) \gg_{k, \delta, M}\mathbb{E}_{1 \leq \lambda \leq \frac{N_1}{k_{\ast}}}\left(\mathbb{P}_{\mathbb{Z}_N}\left( \bigcap_{m=1}^{k_{\ast}}E_{\mu \lambda m}(k, \delta, \mathcal{B})\right) \right)$

が成立する。実は、考察中の各 $\mu, \lambda, m$ に対して $E_{\mu \lambda m}(k, \delta, \mathcal{B})=\mathbb{Z}_N$ が確認できる。そのためには、

$\displaystyle \int_{\mathbb{Z}_N}T^{\mu \lambda m}f_{U^{\perp}} \geq \frac{\delta}{2}, \quad \int_{\mathbb{Z}_N}\left|T^{\mu \lambda m}f_{U^{\perp}}-F_{\mu \lambda m}\right| \leq \frac{\delta}{8k}$

が成り立つことを確認すればよい。一つ目は $\displaystyle \int_{\mathbb{Z}_N}f_{U^{\perp}} \geq \delta$ であることと積分のシフト不変性から従う。二つ目は積分のシフト不変性とCauchy-Schwarzの不等式より

$\begin{align} \int_{\mathbb{Z}_N}\left|T^{\mu \lambda m}f_{U^{\perp}}-F_{\mu \lambda m}\right| &= \int_{\mathbb{Z}_N}T^{\mu \lambda m}\left|f_{U^{\perp}}-f_{UAP}\right| = \int_{\mathbb{Z}_N}\left|f_{U^{\perp}}-f_{UAP}\right|\\ &\leq \left\|f_{U^{\perp}}-f_{UAP}\right\|_{L^2} \leq \frac{\delta^2}{1024k} \leq \frac{\delta}{8k}\end{align}$

と確認できる。従って、今のケースでは

$\displaystyle \mathbb{E}_{1 \leq \lambda \leq \frac{N_1}{k_{\ast}}}\left(\mathbb{P}_{\mathbb{Z}_N}\left( \bigcap_{m=1}^{k_{\ast}}E_{\mu \lambda m}(k, \delta, \mathcal{B})\right) \right)=1$

である。 $f_{U^{\perp}}$ は非負値なので、

$\displaystyle 2\mathbb{E}_{0 \leq r \leq N_1}\left(\int_{\mathbb{Z}_N}\prod_{j=0}^{k-1}T^{\mu jr}f_{U^{\perp}}\right) \geq \mathbb{E}_{1 \leq r \leq N_1}\left(\int_{\mathbb{Z}_N}\prod_{j=0}^{k-1}T^{\mu jr}f_{U^{\perp}}\right)$

であり、 $N_1 \geq k_{\ast}$ の場合は所望の不等式が得られたことになる。 $N_1 < k_{\ast}$ の場合は $f_{U^{\perp}}$ が非負値なので

$\displaystyle k_{\ast}\mathbb{E}_{0 \leq r \leq N_1}\left(\int_{\mathbb{Z}_N}\prod_{j=0}^{k-1}T^{\mu jr}f_{U^{\perp}}\right) \geq \int_{\mathbb{Z}_N}f_{U^{\perp}}^k \geq \left(\int_{\mathbb{Z}_N}f_{U^{\perp}}\right)^k \geq \delta^k$

と評価でき(Hölderの不等式を用いた)、 $k_{\ast}$ は $k, \delta, M$ で決まるので

$\displaystyle \mathbb{E}_{0 \leq r \leq N_1}\left(\int_{\mathbb{Z}_N}\prod_{j=0}^{k-1}T^{\mu jr}f_{U^{\perp}}\right) \gg_{k, \delta, M} 1$

を得る。 Q.E.D.

なお、非負値有界関数 $f_{UAP}$ が $\left\|f_{UAP}\right\|_{UAP^0} < M$ を満たせば

$\displaystyle \left\|f_{UAP}\right\|_{UAP^1} \leq \left\|f_{UAP}\right\|_{UAP^0} < M$

なので、 $d=1$ の場合から $d=0$ の場合も従う。

命題の証明

それでは命題の証明を始めます。この記事では四段階帰着させます。

第一帰着 命題の設定のもと、任意の $\delta > 0$ 及び $k \in \mathbb{Z}_+$ に対して或る正整数 $k_{\ast}=k_{\ast}(k, \delta, M)$ が存在し、任意の $\mu \in \mathbb{Z}_N$ と整数 $N_0 \geq k_{\ast}$ に対して

$\displaystyle \mathbb{E}_{1 \leq a, s \leq \frac{k_{\ast}}{k}}\left( \int_{\mathbb{Z}_N}\prod_{j=0}^{k-1}T^{\mu \lambda (a+js)}f_{U^{\perp}}\right) \gg_{\delta, k, k_{\ast}} \mathbb{P}_{\mathbb{Z}_N}\left(\bigcap_{m=1}^{k_{\ast}}E_{\mu \lambda m}(k, \delta, \mathcal{B})\right)$

が各 $1 \leq \lambda \leq N_0/k_{\ast}$ について成り立つことを示せばよい。ここで、 $a, s, \lambda$ は整数。

帰着の確認

第一帰着の主張が証明されたと仮定する。このとき、 $\lambda$ について平均を取れば

$\displaystyle \mathbb{E}_{1\leq \lambda \leq \frac{N_0}{k_{\ast}}; 1 \leq a, s \leq \frac{k_{\ast}}{k}}\left( \int_{\mathbb{Z}_N}\prod_{j=0}^{k-1}T^{\mu \lambda (a+js)}f_{U^{\perp}}\right)\gg_{\delta, k, k_{\ast}}\mathbb{E}_{1 \leq \lambda \leq \frac{N_0}{k_{\ast}}}\left( \mathbb{P}_{\mathbb{Z}_N}\left(\bigcap_{m=1}^{k_{\ast}}E_{\mu \lambda m}(k, \delta, \mathcal{B})\right) \right)$

が得られる。シフト作用素の性質により

$\displaystyle \prod_{j=0}^{k-1}T^{\mu \lambda(a+js)}f_{U^{\perp}} = \prod_{j=0}^{k-1}T^{\mu \lambda a}\left( T^{\mu \lambda js}f_{U^{\perp}}\right) = T^{\mu \lambda a}\Biggl(\prod_{j=0}^{k-1}T^{\mu \lambda js}f_{U^{\perp}}\Biggr)$

と変形できるので、積分のシフト不変性から

$\displaystyle \mathbb{E}_{1\leq \lambda \leq \frac{N_0}{k_{\ast}}; 1 \leq a, s \leq \frac{k_{\ast}}{k}}\left( \int_{\mathbb{Z}_N}\prod_{j=0}^{k-1}T^{\mu \lambda js}f_{U^{\perp}}\right) \gg_{\delta, k, k_{\ast}}\mathbb{E}_{1 \leq \lambda \leq \frac{N_0}{k_{\ast}}}\left( \mathbb{P}_{\mathbb{Z}_N}\left(\bigcap_{m=1}^{k_{\ast}}E_{\mu \lambda m}(k, \delta, \mathcal{B})\right) \right)$

を得る。左辺の期待値の中身は $a$ に依らないので、

$\displaystyle \mathbb{E}_{1\leq \lambda \leq \frac{N_0}{k_{\ast}}; 1 \leq s \leq \frac{k_{\ast}}{k}}\left( \int_{\mathbb{Z}_N}\prod_{j=0}^{k-1}T^{\mu \lambda js}f_{U^{\perp}}\right) \gg_{\delta, k, k_{\ast}}\mathbb{E}_{1 \leq \lambda \leq \frac{N_0}{k_{\ast}}}\left( \mathbb{P}_{\mathbb{Z}_N}\left(\bigcap_{m=1}^{k_{\ast}}E_{\mu \lambda m}(k, \delta, \mathcal{B})\right) \right)$

と書き直せる。ここで、 $1 \leq r \leq N_0/k$ なる整数 $r$ を

$\displaystyle r=\lambda s, \quad 1 \leq \lambda \leq \frac{N_0}{k_{\ast}}, \ 1 \leq s \leq \frac{k_{\ast}}{k}$

と表示する場合の数は高々 $\displaystyle \left[ \frac{k_{\ast}}{k}\right] = O_{k, k_{\ast}}(1)$ なので、 $f_{U^{\perp}}$ の非負性より

$\begin{align}&\left[\frac{N_0}{k_{\ast}}\right] \times \left[\frac{k_{\ast}}{k}\right]\mathbb{E}_{1 \leq \lambda \leq \frac{N_0}{k_{\ast}}; 1 \leq s \leq \frac{k_{\ast}}{k}}\left(\int_{\mathbb{Z}_N}\prod_{j=0}^{k-1}T^{\mu \lambda js}f_{U^{\perp}} \right) \\ &\leq O_{k, k_{\ast}}(1)\left[ \frac{N_0}{k}\right]\mathbb{E}_{1 \leq r \leq \frac{N_0}{k}}\left(\int_{\mathbb{Z}_N}\prod_{j=0}^{k-1}T^{\mu jr}f_{U^{\perp}}\right) \leq O_{k, k_{\ast}}(1)N_0\mathbb{E}_{1 \leq r \leq N_0}\left( \int_{\mathbb{Z}_N}\prod_{j=0}^{k-1}T^{\mu jr}f_{U^{\perp}}\right) \end{align}$

と評価できる。すなわち、

$\displaystyle \mathbb{E}_{1 \leq r \leq N_0} \left( \int_{\mathbb{Z}_N}\prod_{j=0}^{k-1}T^{\mu jr}f_{U^{\perp}}\right) \gg_{k, k_{\ast}} \mathbb{E}_{1\leq \lambda \leq \frac{N_0}{k_{\ast}}; 1 \leq s \leq \frac{k_{\ast}}{k}}\left( \int_{\mathbb{Z}_N}\prod_{j=0}^{k-1}T^{\mu \lambda js}f_{U^{\perp}}\right)$

がわかったので、

$\displaystyle \mathbb{E}_{1 \leq r \leq N_0} \left( \int_{\mathbb{Z}_N}\prod_{j=0}^{k-1}T^{\mu jr}f_{U^{\perp}}\right) \gg_{\delta, k, k_{\ast}}\mathbb{E}_{1 \leq \lambda \leq \frac{N_0}{k_{\ast}}}\left( \mathbb{P}_{\mathbb{Z}_N}\left(\bigcap_{m=1}^{k_{\ast}}E_{\mu \lambda m}(k, \delta, \mathcal{B})\right) \right)$

が得られた。 $k_{\ast}$ は最終的に $k, \delta, M$ から決まるので命題が従う。確認完了

第二帰着 命題の設定のもと、任意の $\delta > 0$ 及び $k \in \mathbb{Z}_+$ に対して或る正整数 $k_{\ast}=k_{\ast}(k, \delta, M)$ が存在し、任意の正整数 $\lambda$ に対して

$\displaystyle \mathbb{E}_{1 \leq a, s \leq \frac{k_{\ast}}{k}}\left( \int_{\mathbb{Z}_N}\prod_{j=0}^{k-1}T^{\lambda (a+js)}f_{U^{\perp}}\right) \gg_{\delta, k, k_{\ast}} \mathbb{P}_{\mathbb{Z}_N}\left(\bigcap_{m=1}^{k_{\ast}}E_{\lambda m}(k, \delta, \mathcal{B})\right)$

が成り立つことを示せばよい。ここで、 $a, s, \lambda$ は整数。

帰着の確認

第二帰着の主張が証明されれば、 $\lambda$ には制限がないので、 $\lambda \mapsto \mu \lambda$ とすることにより第一帰着の主張が従う*1。確認完了

補題命題の主張中で定義されている集合 $E_{n}(k, \delta, \mathcal{B})$ は $\mathcal{B}$ の元である( $\mathcal{B}$ -可測集合)。

証明. $x \in E_{n}(k, \delta, \mathcal{B})$ をとると、 $\mathcal{B}$ -可測関数はアトム上定数なので、定義より

$\mathcal{B}(x) \subset E_{n}(k, \delta, \mathcal{B})$

である( $\mathcal{B}(x)$ は $x$ を含むような $\mathcal{B}$ のアトム)。このことから、 $E_{n}(k, \delta, \mathcal{B})$ は幾つかのアトムの和集合として書けることがわかる。 Q.E.D.

よって、 $\displaystyle \bigcap_{m=1}^{k_{\ast}}E_{\lambda m}(k, \delta, \mathcal{B})$ も $\mathcal{B}$ -可測集合であり、

$\displaystyle \bigcap_{m=1}^{k_{\ast}}E_{\lambda m}(k, \delta, \mathcal{B}) = \bigsqcup_{i=1}^KA_i$ –①

と $\mathcal{B}$ のアトムの和集合として書ける( $K$ 及び $A_i$ は $\delta, k, k_{\ast}, \lambda, \mathcal{B}$ に依存して定まる)。

第三帰着 命題の設定のもと、任意の $\delta > 0$ 及び $k \in \mathbb{Z}_+$ に対して或る正整数 $k_{\ast}=k_{\ast}(k, \delta, M)$ が存在し、任意の正整数 $\lambda$ に対して次が成り立つことを示せば十分である：
①に現れる任意のアトム $A_i$ に対し、

$\displaystyle \mathbb{E}_{1 \leq a, s \leq \frac{k_{\ast}}{k}}\left( \mathbb{E}_{A_i}\left( \prod_{j=0}^{k-1}T^{\lambda(a+js)}f_{U^{\perp}}\right)\right) \gg_{\delta, k, k_{\ast}} 1$

が成立する。

帰着の確認

第三帰着の主張が各 $A_i$ に対して示されたとする。このとき、各不等式の両辺に $\mathbb{P}_{\mathbb{Z}_N}(A_i)$ を掛けて $i=1, \dots, K$ で足し合わせる。その結果、右辺は

$\displaystyle \sum_{i=1}^K\mathbb{P}_{\mathbb{Z}_N}(A_i) = \mathbb{P}_{\mathbb{Z}_N}\left(\bigcap_{m=1}^{k_{\ast}}E_{\lambda m}(k, \delta, \mathcal{B})\right)$

であり、 $a, s$ を固定するとき

$\displaystyle \sum_{i=1}^K\mathbb{P}_{\mathbb{Z}_N}(A_i)\mathbb{E}_{A_i}\left(\prod_{j=0}^{k-1}T^{\lambda(a+js)}f_{U^{\perp}}\right) = \int_{\mathbb{Z}_N }\prod_{j=0}^{k-1}T^{\lambda (a+js)}f_{U^{\perp}}$

なので、和の取り換えによって左辺は

$\displaystyle \sum_{i=1}^K\mathbb{P}_{\mathbb{Z}_N}(A_i)\mathbb{E}_{1 \leq a, s \leq \frac{k_{\ast}}{k}}\left( \mathbb{E}_A\left( \prod_{j=0}^{k-1}T^{\lambda(a+js)}f_{U^{\perp}}\right)\right) = \mathbb{E}_{1 \leq a, s \leq \frac{k_{\ast}}{k}}\left( \int_{\mathbb{Z}_N}\prod_{j=0}^{k-1}T^{\lambda (a+js)}f_{U^{\perp}}\right)$

となる。すなわち、第二帰着の主張が示される。確認完了

第四帰着 命題の設定のもと、任意の $\delta > 0$ 及び $k \in \mathbb{Z}_+$ に対して或る正整数 $k_{\ast}=k_{\ast}(k, \delta, M)$ が存在し、任意の正整数 $\lambda$ に対して次が成り立つことを示せば十分である：
①に現れる各アトム $A_i$ に対し、或る $1 \leq a, s \leq k_{\ast}/k$ なるペア $(a, s)$ であって

$\displaystyle \mathbb{E}_{A_i}\left( \prod_{j=0}^{k-1}T^{\lambda(a+js)}f_{U^{\perp}}\right) \gg_{\delta, k}1$

が成り立つようなものが少なくとも一つ存在する。

帰着の確認

第四帰着の主張が示されたと仮定する。 $\lambda, \ i$ を固定して、仮定によって存在する特別なペアを $(b, t)$ とする。 $1 \leq a, s \leq k_{\ast}/k$ なるペア $(a, s)$ の個数は高々 $O_{k, k_{\ast}}(1)$ なので、 $f_{U^{\perp}}$ の非負性より

$\displaystyle O_{k, k_{\ast}}(1) \mathbb{E}_{1 \leq a, s \leq \frac{k_{\ast}}{k}}\left( \mathbb{E}_{A_i}\left( \prod_{j=0}^{k-1}T^{\lambda(a+js)}f_{U^{\perp}}\right)\right) \geq \mathbb{E}_{A_i}\left( \prod_{j=0}^{k-1}T^{\lambda(b+jt)}f_{U^{\perp}}\right) \gg_{\delta, k}1$

であり、

$\displaystyle \mathbb{E}_{1 \leq a, s \leq \frac{k_{\ast}}{k}}\left( \mathbb{E}_{A_i}\left( \prod_{j=0}^{k-1}T^{\lambda(a+js)}f_{U^{\perp}}\right)\right) \gg_{\delta, k, k_{\ast}} 1$

となって、第三帰着の主張が示される。確認完了

*1:ここは $\mathrm{pr}_N\colon \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}_N$ の省略が散見されます。