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数、特に整数に関する記事。

タオのセメレディ論文の§8を読む

§8 Proof of the structure theorem では前節のエネルギー増加法を用いて構造定理(Thm 3.5)を証明します。

命題 (構造定理ダイコトミー, Lemma 8.1) k \geq 3を整数とし、非負値有界関数 f\colon \mathbb{Z}_N \to \mathbb{R}^+は或る0 < \delta \leq 1に対して条件
\displaystyle \int_{\mathbb{Z}_N}f \geq \delta
を満たすと仮定する。F \colon \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+を任意の関数とする。また、X, \ X' \geq 0は整数で、\mathcal{B} (resp. \mathcal{B}')をそれぞれ複雑度がX (resp. X')以下であるような(k-2)-コンパクトな\mathbb{Z}_N上の\sigma-加法族であって、\mathcal{B} \subset \mathcal{B}' 及び エネルギーギャップ条件
\displaystyle \mathcal{E}_{f}(\mathcal{B}')-\mathcal{E}_f(\mathcal{B}) \leq \left(\frac{\delta^2}{2048k}\right)^2
を満たすようなものとする。このとき、次の少なくとも一方を満たす:

(成功): 或る M=O_{k, \delta, X}(1), 有界関数 f_U \colon \mathbb{Z}_N \to \mathbb{C}, 非負値有界関数 f_{U^{\perp}}, \ f_{UAP} \colon \mathbb{Z}_N \to \mathbb{R}^+が存在して

\begin{align}&\cdot \ f=f_U+f_{U^{\perp}}, \quad \cdot \ \left\| f_{U^{\perp}}-f_{UAP} \right\|_{L^2} \leq  \frac{\delta^2}{1024k},\quad \cdot \ \int_{\mathbb{Z}_N}f_{U^{\perp}} \geq \delta,\\ 
&\cdot \ \left\|f_{UAP}\right\|_{UAP^{k-2}} < M, \quad \cdot \ \left\|f_U\right\|_{U^{k-1}} \leq \frac{1}{F(M)}\end{align}
が成り立つ。

(エネルギー増加): 或る複雑度がO_{F, k, \delta, X, X'}(1)(k-2)-コンパクトな\mathbb{Z}_N上の\sigma-加法族\mathcal{B}'' \supset \mathcal{B}'が存在して、エネルギー増加

\displaystyle \mathcal{E}_f(\mathcal{B}'')-\mathcal{E}_f(\mathcal{B}') \gg_{k, \delta, X, F}1
が生じる。

証明. fが非負値有界関数であることから、\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B})も非負値有界関数であることに注意する。\mathcal{B}は複雑度がX以下の(k-2)-コンパクトな\mathbb{Z}_N上の\sigma-加法族なので、非負値有界\mathcal{B}-可測関数 \left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B})§6(その三)の命題を適用することによって、非負値有界関数 f_{UAP} \in UAP^{k-2}と或る M=O_{k, \delta, X}(1)が存在して、

\displaystyle \left\|\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B})-f_{UAP}\right\|_{L^2} \leq \frac{\delta^2}{2048k}

及び

\displaystyle \left\|f_{UAP}\right\|_{UAP^{k-2}} < M

が成り立つようにできることがわかる(一つとって固定する)。ここで、f_{U^{\perp}}:= \left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}'), \ f_U:=f-\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}') と定義する。このように定義すると f=f_U+f_{U^{\perp}} が成り立っており、f_{U^{\perp}}はやはり非負値有界関数で、ff_{U^{\perp}}の非負値有界性から f_{U}の有界性が従う(非負値とは限らない)。

エネルギーギャップ公式より

\displaystyle \left\|\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}')-\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B})\right\|_{L^2}^2=\mathcal{E}_f(\mathcal{B}')-\mathcal{E}_f(\mathcal{B})\leq \left(\frac{\delta^2}{2048k}\right)^2

が成り立つので、L^2-ノルムの三角不等式により

\displaystyle \left\|f_{U^{\perp}}-f_{UAP}\right\|_{L^2} \leq \left\|f_{U^{\perp}}-\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B})\right\|_{L^2}+\left\|\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B})-f_{UAP}\right\|_{L^2} \leq \frac{\delta^2}{1024k}

と評価できる。また、条件付き期待値作用素をとっても積分値は変わらなかったので、

\displaystyle \int_{\mathbb{Z}_N}f_{U^{\perp}} = \int_{\mathbb{Z}_N} \left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}') = \int_{\mathbb{Z}_N}f \geq \delta

である。あとは、\left\|f_U\right\|_{U^{k-1}} \leq 1/F(M)であればダイコトミーの(成功)が成立することになる。よって、

\displaystyle \left\|f_U\right\|_{U^{k-1}} > \frac{1}{F(M)}

と仮定して(エネルギー増加)を示す。このように仮定するとき、§5(その二)の命題2より

\displaystyle \left|\left\langle f_U, G\right\rangle \right| \geq \left(\frac{1}{F(M)}\right)^{2^{k-1}}

を満たすような有界関数 G \in B(UAP^{k-2})が存在する( f_Uが有界であることに注意)。すなわち、

\displaystyle \left|\left\langle f_U, G\right\rangle \right| \gg_{k, \delta, X, F} 1

である。このGと後でk, \delta, X, Fに依存して選択する\varepsilon > 0を用いて

\displaystyle \mathcal{B}'':= \mathcal{B}'\vee \mathcal{B}_{\varepsilon}(G)

\mathcal{B}''を定義する。これは\mathcal{B}'を含む(k-2)-コンパクトな\mathbb{Z}_N上の\sigma-加法族なので、後は複雑度とエネルギーを計算すればよい。

f_UG

\begin{align}f_U&=\left(f-\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}'')\right)+\left(\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}'')-\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}')\right) \\ G&= \left( G-\left.\mathbb{E}(G\right|\mathcal{B}'')\right)+\left(\left.\mathbb{E}(G\right|\mathcal{B}'')-\left.\mathbb{E}(G\right|\mathcal{B}')\right)+\left.\mathbb{E}(G\right|\mathcal{B}')\end{align}

と分解すると、ともに第一項は\mathcal{B}''と直交し(§6(その一)補題2)、従って\mathcal{B}'とも直交する(§6(その一)補題3の証明中の式より)。第二項は\mathcal{B}''-可測かつ\mathcal{B}'と直交(§6(その一)補題3)、Gの第三項は\mathcal{B}'-可測である。

これより、

\displaystyle \left\langle f_U, G\right\rangle = \left\langle f-\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}''), G-\left.\mathbb{E}(G\right|\mathcal{B}'')\right\rangle+\left\langle \left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}'')-\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}'), \left.\mathbb{E}(G\right|\mathcal{B}'')-\left.\mathbb{E}(G\right|\mathcal{B}')\right\rangle

を得る*1

§6(その二)の命題より

\displaystyle \left\|G-\left.\mathbb{E}(G\right|\mathcal{B}'')\right\|_{L^{\infty}} \ll \varepsilon

である。f-\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}'')が有界であることから*2

\begin{align} \left|\left\langle f-\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}''), G-\left.\mathbb{E}(G\right|\mathcal{B}'')\right\rangle\right| &\leq \int_{\mathbb{Z}_N}\left|f-\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}'')\right| \cdot \left|G-\left.\mathbb{E}(G\right|\mathcal{B}'')\right| \\ &\leq \int_{\mathbb{Z}_N}\left|G-\left.\mathbb{E}(G\right|\mathcal{B}'')\right| \leq \left\|G-\left.\mathbb{E}(G\right|\mathcal{B}'')\right\|_{L^{\infty}}\ll \varepsilon\end{align}

なので、k, \delta, X, Fに依存して\varepsilonを十分小さく取れば

\displaystyle \left|\left\langle \left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}'')-\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}'), \left.\mathbb{E}(G\right|\mathcal{B}'')-\left.\mathbb{E}(G\right|\mathcal{B}')\right\rangle\right| \gg_{k, \delta, X, F}1

とできる。Gは有界なので \left.\mathbb{E}(G\right|\mathcal{B}'') 及び \left.\mathbb{E}(G\right|\mathcal{B}') も有界である。L^2-ノルムのCauchy-Schwarzの不等式と三角不等式によって

\begin{align} \left|\left\langle \left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}'')-\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}'), \left.\mathbb{E}(G\right|\mathcal{B}'')-\left.\mathbb{E}(G\right|\mathcal{B}')\right\rangle\right| &\leq \left\|\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}'')-\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}')\right\|_{L^2}\left\|\left.\mathbb{E}(G\right|\mathcal{B}'')-\left.\mathbb{E}(G\right|\mathcal{B}')\right\|_{L^2}\\ &\leq 2\left\|\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}'')-\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}')\right\|_{L^2}\end{align}

なので、

\displaystyle \left\|\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}'')-\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}')\right\|_{L^2}\gg_{k, \delta, X, F}1

であり、エネルギーギャップ公式より

\displaystyle \mathcal{E}_f(\mathcal{B}'')-\mathcal{E}_f(\mathcal{B}') \gg_{k, \delta, X, F} 1

が示された。これがエネルギー増加である。§6(その三)の複雑度の定義と\varepsilonの選び方、G \in B(UAP^{k-2})より、\mathcal{B}''の複雑度はO_{F, k, \delta, X, X'}(1)以下である。 Q.E.D.

(再掲) 構造定理 (Theorem 3.5) k \geq 3を整数とし、非負値有界関数 f\colon \mathbb{Z}_N \to \mathbb{R}^+は或る 0 < \delta \leq 1に対して条件
\displaystyle \int_{\mathbb{Z}_N}f \geq \delta
を満たすと仮定する。更に F \colon \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+を任意の関数とする。このとき、或る正の数 M=O_{k, \delta, F}(1), 有界関数 f_U \colon \mathbb{Z}_N \to \mathbb{C}, 非負値有界関数 f_{U^{\perp}}, \ f_{UAP} \colon \mathbb{Z}_N \to \mathbb{R}^+が存在して、
\begin{align}&\cdot \ f=f_U+f_{U^{\perp}}, \quad \cdot \ \left\| f_{U^{\perp}}-f_{UAP} \right\|_{L^2} \leq  \frac{\delta^2}{1024k},\quad \cdot \ \int_{\mathbb{Z}_N}f_{U^{\perp}} \geq \delta,\\ 
&\cdot \ \left\|f_{UAP}\right\|_{UAP^{k-2}} < M, \quad \cdot \ \left\|f_U\right\|_{U^{k-1}} \leq \frac{1}{F(M)}\end{align}
が成り立つ。

構造定理の証明

構造定理ダイコトミーに対して§7のエネルギー増加法を適用すればよい。ただし、d=k-2, \ m=1であること、\tau=\delta^2/2048kであること、及びLandauの記号(Vinogradovの記号)にパラメータFが追加されていることに注意(パラメータが増えれば、全てのLandauの記号にそのパラメータを付ければ証明が問題なく回るので、帰結となるLandauの記号にもそのパラメータをつければよい。実際、証明においてパラメータdは本質的な役割を果たしていなかった)。 Q.E.D.

*1:f_U=f_1+f_2, \ G=G_1+G_2+G_3とすると、内積の線型性より

\begin{align}\left\langle f_U, G\right\rangle &= \left\langle f_1+f_2, G_1+G_2+G_3\right\rangle \\ &=\left\langle f_1, G_1\right\rangle+\left\langle f_1, G_2\right\rangle+\left\langle f_1, G_3\right\rangle+\left\langle f_2, G_1\right\rangle+\left\langle f_2, G_2\right\rangle+\left\langle f_2, G_3\right\rangle\end{align}
であり、確認した諸性質から
\left\langle f_1, G_2\right\rangle=\left\langle f_1, G_3\right\rangle=\left\langle f_2, G_1\right\rangle=\left\langle f_2, G_3\right\rangle=0
が言える。例えば、G_2\mathcal{B}''-可測なので \left.\mathbb{E}(G_2\right|\mathcal{B}'')=G_2 であり、条件付き期待値作用素の随伴性から
\left\langle f_1, G_2\right\rangle=\left\langle f_1, \left.\mathbb{E}(G_2\right|\mathcal{B}'')\right\rangle=\left\langle \left.\mathbb{E}(f_1\right|\mathcal{B}''), G_2\right\rangle=0
を得る( f_1\mathcal{B}''と直交)。

*2:f_Uが有界であることと同じ理由。