§8 Proof of the structure theorem では前節のエネルギー増加法を用いて構造定理(Thm 3.5)を証明します。
(成功): 或る , 有界関数
, 非負値有界関数
が存在して
(エネルギー増加): 或る複雑度がの
-コンパクトな
上の
-加法族
が存在して、エネルギー増加
証明. が非負値有界関数であることから、
も非負値有界関数であることに注意する。
は複雑度が
以下の
-コンパクトな
上の
-加法族なので、非負値有界
-可測関数
に§6(その三)の命題を適用することによって、非負値有界関数
と或る
が存在して、
及び
が成り立つようにできることがわかる(一つとって固定する)。ここで、,
と定義する。このように定義すると
が成り立っており、
はやはり非負値有界関数で、
と
の非負値有界性から
の有界性が従う(非負値とは限らない)。
が成り立つので、-ノルムの三角不等式により
と評価できる。また、条件付き期待値作用素をとっても積分値は変わらなかったので、
である。あとは、であればダイコトミーの(成功)が成立することになる。よって、
と仮定して(エネルギー増加)を示す。このように仮定するとき、§5(その二)の命題2より
を満たすような有界関数 が存在する(
が有界であることに注意)。すなわち、
である。このと後で
に依存して選択する
を用いて
とを定義する。これは
を含む
-コンパクトな
上の
-加法族なので、後は複雑度とエネルギーを計算すればよい。
と
を
と分解すると、ともに第一項はと直交し(§6(その一)補題2)、従って
とも直交する(§6(その一)補題3の証明中の式より)。第二項は
-可測かつ
と直交(§6(その一)補題3)、
の第三項は
-可測である。
これより、
を得る*1。
§6(その二)の命題より
である。が有界であることから*2
なので、に依存して
を十分小さく取れば
とできる。は有界なので
及び
も有界である。
-ノルムのCauchy-Schwarzの不等式と三角不等式によって
なので、
であり、エネルギーギャップ公式より
が示された。これがエネルギー増加である。§6(その三)の複雑度の定義との選び方、
より、
の複雑度は
以下である。 Q.E.D.
構造定理の証明
構造定理ダイコトミーに対して§7のエネルギー増加法を適用すればよい。ただし、であること、
であること、及びLandauの記号(Vinogradovの記号)にパラメータ
が追加されていることに注意(パラメータが増えれば、全てのLandauの記号にそのパラメータを付ければ証明が問題なく回るので、帰結となるLandauの記号にもそのパラメータをつければよい。実際、証明においてパラメータ
は本質的な役割を果たしていなかった)。 Q.E.D.