2017-09-30

グリーン・タオ論文の§8を読む（その二）

前記事の命題(一般化Koopman-von Neumannの構造定理)の証明はTao(2006)の論文で扱ったエネルギー増加法の考え方で証明されます*1。この考え方に基づいて、構造定理は次の命題に帰着されます。

命題 (反復ステップ, Proposition 8.2) $\nu$ を $k$ -擬ランダム測度とし、 $f \in L^1(\mathbb{Z}_N)$ を任意の $x \in \mathbb{Z}_N$ に対して $f(x) \leq \nu(x)$ を満たすような非負値関数とする。 $\varepsilon > 0$ は十分小さい正の数で、 $K \geq 0$ は整数とし、 $\varepsilon, K$ のみから定まる或る正の数 $\eta_0(\varepsilon, K)$ に対して $\eta < \eta_0(\varepsilon, K)$ 、或る $\varepsilon, K, \eta$ のみから定まる正整数 $N_0(\varepsilon, K, \eta)$ に対して $N > N_0(\varepsilon, K, \eta)$ とする。 $F_1, \dots, F_K \in L^1(\mathbb{Z}_N)$ を

$\displaystyle \left|F_j(x)\right| \leq \left(1+O_{K, \varepsilon}(\sqrt{\eta})\right)(\nu(x)+1), \quad 1 \leq j \leq K, \ x \in \mathbb{Z}_N$ −①

を満たすような関数とし、 $\sigma$ -加法族 $\mathcal{B}_K$ を

$\displaystyle \mathcal{B}_K:=\mathcal{B}_{\varepsilon, \eta}(\mathcal{D}\widehat{F}_1)\vee \cdots \vee \mathcal{B}_{\varepsilon, \eta}(\mathcal{D}\widehat{F}_K)$ −②

とする。ここで、各 $\widehat{F_j}:=F_j/(1+O_{K, \varepsilon}(\sqrt{\eta}) )$ は

$\left|\widehat{F}_j(x)\right| \leq \nu(x)+1, \quad 1 \leq j \leq K, \ x \in \mathbb{Z}_N$

を満たすような補正関数であり、各 $\sigma$ -加法族 $\mathcal{B}_{\varepsilon, \eta}(\mathcal{D}\widehat{F_j})$ は§7(その一)の命題によって存在するもの。 $\mathbb{Z}_N$ の部分集合 $\Omega_K \in \mathcal{B}_K$ であって、
・スモール性限界

$\displaystyle \mathbb{E}( (\nu+1)\mathbf{1}_{\Omega_K}) = O_{K, \varepsilon}(\sqrt{\eta})$ −③

・一様分布限界

$\displaystyle \left\|(1-\mathbf{1}_{\Omega_K})\left.\mathbb{E}(\nu-1\right| \mathcal{B}_K)\right\|_{L^{\infty}} = O_{K, \varepsilon}(\sqrt{\eta})$ −④

が成り立つようなものが存在すると仮定する。更に、

$\displaystyle F_{K+1}:=(1-\mathbf{1}_{\Omega_K})(f-\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}_K) )$ −⑤

とし、 $F_{K+1}$ は
・非Gowers一様性評価

$\displaystyle \left\|F_{K+1}\right\|_{U^{k-1}} > \varepsilon^{1/2^k}$ −⑥

を満たすと仮定する。このとき、

$\displaystyle \left\|(1-\mathbf{1}_{\Omega_K})\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}_K)\right\|_{L^{\infty}} \leq 1+O_{K, \varepsilon}(\sqrt{\eta})$ −⑦

及び

$\displaystyle \left|F_{K+1}(x)\right| \leq \left(1+O_{K, \varepsilon}(\sqrt{\eta}) \right)(\nu(x)+1),\quad x \in \mathbb{Z}_N$ −⑧

が成り立つ。また、先ほどと同様に $\widehat{F}_{K+1}:=F_{K+1}/(1+O_{K, \varepsilon}(\sqrt{\eta}) )$ と補正関数を定義すると、 $\sigma$ -加法族

$\displaystyle \mathcal{B}_{K+1}:=\mathcal{B}_K\vee \mathcal{B}_{\varepsilon, \eta}(\mathcal{D}\widehat{F}_{K+1})$ −⑨

に対して集合 $\Omega_{K+1} \supset \Omega_K, \ \Omega_{K+1} \in \mathcal{B}_{K+1}$ であって
・スモール性限界

$\displaystyle \mathbb{E}( (\nu+1)\mathbf{1}_{\Omega_{K+1}}) = O_{K, \varepsilon}(\sqrt{\eta})$ −⑩

・一様分布限界

$\displaystyle \left\|(1-\mathbf{1}_{\Omega_{K+1}})\left.\mathbb{E}(\nu-1\right| \mathcal{B}_{K+1})\right\|_{L^{\infty}} = O_{K, \varepsilon}(\sqrt{\eta})$ −⑪

が成り立つようなものが存在して
・エネルギー増加

$\displaystyle \left\|(1-\mathbf{1}_{\Omega_{K+1}})\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}_{K+1})\right\|_{L^2}^2 \geq \left\|(1-\mathbf{1}_{\Omega_K})\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}_K)\right\|_{L^2}^2+2^{-2^k+1}\varepsilon$ −⑫

が成り立つ。

Prop 8.2 $\Longrightarrow$ Prop 8.1の証明

$\varepsilon > 0$ を十分小さい正の数として固定し、 $K_0:= \lceil 2^{2^k}/\varepsilon \rceil$ とする。

$\displaystyle \eta < \eta_0(\varepsilon):=\min_{0 \leq K \leq K_0}\eta_0(\varepsilon, K), \quad N \geq N_0(\varepsilon, \eta):=\max_{0 \leq K \leq K_0}N_0(\varepsilon, K, \eta)+1$

として、Prop 8.1で要求される $\mathcal{B}, \Omega$ を以下のアルゴリズムで構成する。

初期化 $K:=0, \ \Omega_0:=\emptyset$
代入 $\mathcal{B}_K:=$ ②で定義されるもの, $F_{K+1}:=$ ⑤で定義されるもの
if ⑥が不成立( $\left\|F_{K+1}\right\|_{U^{k-1}} \leq \varepsilon^{1/2^k}$ ) then 代入 $\mathcal{B}:=\mathcal{B}_K, \ \Omega:= \Omega_K$ 停止
else 代入 $\mathcal{B}_{K+1}:=$ ⑨で定義されるもの, $\Omega_{K+1}:=$ Prop 8.2で存在する⑩、⑪、⑫を満たすもの
代入 $K:=K+1$
if $K > K_0$ then停止
else 2. へ

注意１: 2. において $K=0$ のときは、 $\mathcal{B}_0=\{\emptyset, \mathbb{Z}_N\}, \ F_1=f-\mathbb{E}(f)$ であり、①、③、④が成立する(①、③は自明で、④は $\nu$ が測度であることから、必要ならば $N_0(\varepsilon, 0, \eta)$ を大きく取り直すことにより

$\displaystyle \left\|\mathbb{E}(\nu-1)\right\|_{L^{\infty}} = o(1) = O_{\varepsilon}(\sqrt{\eta})$

となる)。

注意２: Prop 8.2を適用するにあたって ①、③、④が成立している必要があるが、⑧、⑩、⑪によってその成立は保存される。

3. でアルゴリズムが停止すれば Prop 8.1の主張が満たされることを確認する。実際、そのとき

$\mathbb{E}(\nu\mathbf{1}_{\Omega}) \leq \mathbb{E}( (\nu+1)\mathbf{1}_{\Omega}) = O_{K, \varepsilon}(\sqrt{\eta})$

$\left\|(1-\mathbf{1}_{\Omega})\left.\mathbb{E}(\nu-1\right|\mathcal{B})\right\|_{L^{\infty}} = O_{K, \varepsilon}(\sqrt{\eta})$

$\left\|(1-\mathbf{1}_{\Omega}) (f-\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}) )\right\|_{U^{k-1}} \leq \varepsilon^{1/2^k}$

が成り立っている。 $\eta < \eta_0(\varepsilon), N \geq N_0(\varepsilon, \eta)$ である限りこれは成立するので、上手く $\eta=\eta(N)$ を動かして $\varepsilon$ に依存した十分大きい $N$ に対して $O_{K, \varepsilon}(\sqrt{\eta}) = o_{\varepsilon}(1)$ とすることができればよい。なお、 $0 \leq K \leq K_0$ なので $K$ 依存は無視できる。

$N_0(\varepsilon, \eta)$ は $0 < \eta < \eta_0(\varepsilon)$ で単調減少であり、 $\displaystyle \lim_{\eta \to 0}N_0(\varepsilon, \eta)=\infty$ であるとしてよい(単調減少化は、必要ならば $\displaystyle \sup_{\eta \leq \eta' \leq \eta_0(\varepsilon)}N_0(\varepsilon, \eta')$ に取り替える)。そうして、 $\eta(N):=N_0^{-1}(\varepsilon, N)$ ( $N_0(\varepsilon, \eta)$ の $\eta$ に関する逆関数)とすると、 $\displaystyle \lim_{N \to \infty}\eta(N)=0$ が成り立つ。 $N_0(\varepsilon):=N_0(\varepsilon, \eta_0(\varepsilon) )$ とすれば、 $N > N_0(\varepsilon)$ に対して $\eta(N) < \eta_0(\varepsilon), \ N= N_0(\varepsilon, \eta(N) )$ が成り立つので、 $O_{K, \varepsilon}(\sqrt{\eta}) = o_{\varepsilon}(1)$ と書き換えることができて Prop 8.1の成立がわかる。

よって、後は6. での停止が起こり得ない(必ず3. の停止が生じる)ことを示せばよい。6. による停止が起きたと仮定する。 $0 \leq K \leq K_0+1$ に対してエネルギー $E_K$ を

$\displaystyle E_K:=\left\|(1-\mathbf{1}_{\Omega_K})\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}_K)\right\|_{L^2}^2$

と定義する。このとき、⑫より

$\displaystyle E_{K+1} \geq E_K+2^{-2^k+1}\varepsilon,\quad 0 \leq K \leq K_0$

が成り立つので、 $0 \leq K \leq K_0-1$ について望遠鏡和をとれば

$\displaystyle E_{K_0} \geq E_0+K_0\cdot 2^{-2^k+1}\varepsilon \geq 2$

を得る( $K_0$ の定義より)。一方、⑦より

$0 \leq E_K \leq 1+O_{K, \varepsilon}(\sqrt{\eta}), \quad 0 \leq K \leq K_0$

が成り立つので、 $K=K_0$ に対して考えると、 $\eta$ を十分小さく取れば矛盾する。 Q.E.D.

注意３: $\eta=\eta(N)$ と動かす論法と同様にして §8(その一)の最後で $\varepsilon=\varepsilon(N)$ を上手く動かすことにより、 $c_{\text{SZ}}(k, \delta)=c_{\text{GT}}(k, \delta)$ と取れることがわかります。

Prop 8.2の証明

$\nu, f, K, \varepsilon, \eta, F_1, \dots, F_K, F_{K+1}, \mathcal{B}_K, \Omega_K, \mathcal{B}_{K+1}$ を命題の主張の通りとする。ただし、 $\varepsilon$ は適宜十分小さくとってよく、 $\eta$ は $\varepsilon, K$ に依存して十分小さく、 $N$ は $\varepsilon, K, \eta$ に依存して十分大きくとってよいことに注意する。

まずは、⑦、⑧を証明する。 $f$ が非負値で点毎に上から $\nu$ で押さえられることと④より

$\begin{align} \left\|(1-\mathbf{1}_{\Omega_K})\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}_K)\right\|_{L^{\infty}} &\leq \left\|(1-\mathbf{1}_{\Omega_K})\left.\mathbb{E}(\nu\right|\mathcal{B}_K)\right\|_{L^{\infty}} \\ &\leq \left\|1-\mathbf{1}_{\Omega_K}\right\|_{L^{\infty}}+\left\|(1-\mathbf{1}_{\Omega_K})\left.\mathbb{E}(\nu-1\right|\mathcal{B}_K)\right\|_{L^{\infty}} \\ &\leq 1+O_{K, \varepsilon}(\sqrt{\eta})\end{align}$

と⑦が得られる。

定義式⑤と $f$ が非負値で点毎に上から $\nu$ で押さえられること、たった今証明した⑦より、 $x \in \mathbb{Z}_N$ に対して

$\begin{align} \left|F_{K+1}(x)\right| &= \left|(1-\mathbf{1}_{\Omega_K})(f-\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}_K)\right|(x) \\ &\leq \nu(x)+\left\|(1-\mathbf{1}_{\Omega_K})\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}_K)\right\|_{L^{\infty}} \\ &\leq \nu(x)+1+O_{K, \varepsilon}(\sqrt{\eta}) \\ &\leq \left(1+O_{K, \varepsilon}(\sqrt{\eta})\right)(\nu(x)+1)\end{align}$

と⑧も示された。

①、⑧より $0 \leq j \leq K+1$ に対して補正関数 $\widehat{F}_j:=F_j/(1+O_{K, \varepsilon}(\sqrt{\eta}) )$ は点毎に

$\displaystyle \left|\widehat{F}_j(x)\right| \leq \nu(x)+1$

を満たすので、 $\mathcal{D}\widehat{F}_1, \dots, \mathcal{D}\widehat{F}_{K+1}$ は基本Gowers反一様関数である。よって、§6(その一)の補題により

$\displaystyle \left\|\mathcal{D}\widehat{F}_j\right\|_{L^{\infty}} \leq 2^{2^{k-1}-1}+o(1),\quad 0 \leq j \leq K+1$

が成り立つ。これより、次の評価が得られる。

$\displaystyle \left\|\mathcal{D}F_j\right\|_{L^{\infty}} \leq 2^{2^{k-1}-1}+O_{K, \varepsilon}(\sqrt{\eta}),\quad 0 \leq j \leq K+1$ −⑬.

理由:

$\displaystyle \mathcal{D}\widehat{F}_j=\frac{\mathcal{D}F_j}{\left(1+O_{K, \varepsilon}(\sqrt{\eta})\right)^{2^{k-1}-1}}$

及び $\left(1+O_{K, \varepsilon}(\sqrt{\eta})\right)^{2^{k-1}-1}=1+O_{K, \varepsilon}(\sqrt{\eta})$ *2 より

$\displaystyle \left\|\mathcal{D}F_j\right\|_{L^{\infty}} \leq \left(2^{2^{k-1}-1}+o(1)\right)\left(1+O_{K, \varepsilon}(\sqrt{\eta})\right)$

が得られ、 $N$ を $\varepsilon, K, \eta$ に依存して十分大きく取ると⑬となる。

§7(その二)の命題より、 $\eta$ が十分小さく $N$ が十分大きい状況で $\Omega \in \mathcal{B}_{K+1}$ が存在して

$\displaystyle \mathbb{E}( (\nu+1)\mathbf{1}_{\Omega})=O_{K, \varepsilon}(\sqrt{\eta})$ −⑭

及び

$\displaystyle \left\|(1-\mathbf{1}_{\Omega})\left.\mathbb{E}(\nu-1\right|\mathcal{B}_{K+1})\right\|_{L^{\infty}} = O_{K, \varepsilon}(\sqrt{\eta})$ −⑮

が成立する。 $\Omega_{K+1}:=\Omega_K\cup \Omega \in \mathcal{B}_{K+1}$ とする。このとき、⑩、⑪が成立する。理由: ③と⑭より

$\displaystyle \mathbb{E}( (\nu+1)\mathbf{1}_{\Omega_{K+1}}) = \mathbb{E}( (\nu+1)\mathbf{1}_{\Omega_K\cup \Omega}) \leq \mathbb{E}( (\nu+1)\mathbf{1}_{\Omega_K})+\mathbb{E}( (\nu+1)\mathbf{1}_{\Omega}) = O_{K, \varepsilon}(\sqrt{\eta})$

と⑩が成立する。⑪を示すには $x \not \in \Omega_{K+1}$ に対して一様な評価を与えれば良いが、このとき $x \not \in \Omega$ なので⑮より一様な評価

$\displaystyle \left|\left.\mathbb{E}(\nu-1\right|\mathcal{B}_{K+1})(x)\right| \leq O_{K, \varepsilon}(\sqrt{\eta})$

が得られる。

従って、後は⑥ $\left\|F_{K+1}\right\|_{U^{k-1}} > \varepsilon^{1/2^k}$ の仮定のもとエネルギー増加⑫を示せばよい。これを段階的に証明する。

$\displaystyle \left|\langle (1-\mathbf{1}_{\Omega_K})(f-\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}_K) ), \mathcal{D}F_{K+1}\rangle\right| > \sqrt{\varepsilon}$ −⑯.

理由: ⑤、§6(その一)の補題、⑥より

$\text{左辺} = \left|\langle F_{K+1}, \mathcal{D}F_{K+1}\rangle\right| = \left\|F_{K+1}\right\|^{2^{k-1}}_{U^{k-1}} > \sqrt{\varepsilon}$

と計算できる。

$\displaystyle \left|\langle (\mathbf{1}_{\Omega_{K+1}}-\mathbf{1}_{\Omega_K})(f-\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}_K) ), \mathcal{D}F_{K+1}\rangle \right| \leq O_{K, \varepsilon}(\sqrt{\eta})$ −⑰.

理由: まず、

$\displaystyle \text{左辺} \leq \left\|\mathcal{D}F_{K+1}\right\|_{L^{\infty}}\mathbb{E}\left( (\mathbf{1}_{\Omega_{K+1}}-\mathbf{1}_{\Omega_K})\left|f-\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}_K)\right|\right)$

と評価でき、⑬より $\left\|\mathcal{D}F_{K+1}\right\|_{L^{\infty}}=O_{K, \varepsilon}(1)$ である。以下、証明全体で ( $\eta$ を十分小さくとって)

$1+O_{K, \varepsilon}(\sqrt{\eta}) \leq 2$

が成り立つものとする*3。

$\mathbf{1}_{\Omega_{K+1}}-\mathbf{1}_{\Omega_K} = (1-\mathbf{1}_{\Omega_K})(\mathbf{1}_{\Omega_{K+1}}-\mathbf{1}_{\Omega_K})$

が成り立つので、⑤、⑧より

$\displaystyle \mathbb{E}\left( (\mathbf{1}_{\Omega_{K+1}}-\mathbf{1}_{\Omega_K})\left|f-\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}_K)\right|\right) = \mathbb{E}\left( (\mathbf{1}_{\Omega_{K+1}}-\mathbf{1}_{\Omega_K})\left|F_{K+1}\right|\right) \leq 2\mathbb{E}\left( (\mathbf{1}_{\Omega_{K+1}}-\mathbf{1}_{\Omega_K})(\nu +1)\right)$

であり、⑩より

$\displaystyle \mathbb{E}\left( (\mathbf{1}_{\Omega_{K+1}}-\mathbf{1}_{\Omega_K})(\nu +1)\right) \leq \mathbb{E}( (\nu+1)\mathbf{1}_{\Omega_{K+1}}) \leq O_{K, \varepsilon}(\sqrt{\eta})$

なので、⑰が得られた。

$\displaystyle \left|\langle (1-\mathbf{1}_{\Omega_{K+1}})(f-\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}_K) ), \mathcal{D}F_{K+1}-\left.\mathbb{E}(\mathcal{D}F_{K+1}\right|\mathcal{B}_{K+1})\rangle\right| \leq O(\varepsilon)$ −⑱.

理由: まず、

$\displaystyle \text{左辺} \leq \left\|\mathcal{D}F_{K+1}-\left.\mathbb{E}(\mathcal{D}F_{K+1}\right|\mathcal{B}_{K+1})\right\|_{L^{\infty}}\mathbb{E}\left( (1-\mathbf{1}_{\Omega_{K+1}})\left|f-\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}_K)\right|\right)$

と評価できる。§7(その二)の命題の一つ目の式より

$\displaystyle \left\|\mathcal{D}\widehat{F}_{K+1}-\left.\mathbb{E}(\mathcal{D}\widehat{F}_{K+1}\right|\mathcal{B}_{K+1})\right\|_{L^{\infty}} \leq \varepsilon$

が成り立つので、補正因子を払うことにより

$\displaystyle \left\|\mathcal{D}F_{K+1}-\left.\mathbb{E}(\mathcal{D}F_{K+1}\right|\mathcal{B}_{K+1})\right\|_{L^{\infty}} \leq 2\varepsilon$

が成り立つ。点毎に $1-\mathbf{1}_{\Omega_{K+1}} \leq 1-\mathbf{1}_{\Omega_K}$ なので、⑧より

$\displaystyle \mathbb{E}\left( (1-\mathbf{1}_{\Omega_{K+1}})\left|f-\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}_K)\right|\right) \leq \mathbb{E}(\left|F_{K+1}\right|) \leq 2\mathbb{E}(\nu+1)$

と評価でき、 $\nu$ が測度であることから( $k$ のみに依存する)十分大きい $N$ に対してこれは定数で押さえられる。よって、⑱が得られた。

$\displaystyle \left|\langle (1-\mathbf{1}_{\Omega_{K+1}})(f-\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}_K) ), \left.\mathbb{E}(\mathcal{D}F_{K+1}\right|\mathcal{B}_{K+1})\rangle \right| \geq \sqrt{\varepsilon}-O_{K, \varepsilon}(\sqrt{\eta})-O(\varepsilon)$ −⑲.

理由: 三角不等式より

$\begin{align} \text{左辺} &\geq \left|\langle (1-\mathbf{1}_{\Omega_K})(f-\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}_K) ), \mathcal{D}F_{K+1}\rangle\right| \\ &\quad -\left|\langle (\mathbf{1}_{\Omega_{K+1}}-\mathbf{1}_{\Omega_K})(f-\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}_K) ), \mathcal{D}F_{K+1}\rangle \right| \\ &\quad -\left|\langle (1-\mathbf{1}_{\Omega_{K+1}})(f-\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}_K) ), \mathcal{D}F_{K+1}-\left.\mathbb{E}(\mathcal{D}F_{K+1}\right|\mathcal{B}_{K+1})\rangle\right|\end{align}$

と評価できるので、⑯、⑰、⑱より⑲が得られる。

$\displaystyle \left|\langle (1-\mathbf{1}_{\Omega_{K+1}})(\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}_{K+1})-\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}_K) ), \left.\mathbb{E}(\mathcal{D}F_{K+1}\right|\mathcal{B}_{K+1})\rangle \right| \geq \sqrt{\varepsilon}-O_{K, \varepsilon}(\sqrt{\eta})-O(\varepsilon)$ −⑳.

理由: $\left.\mathbb{E}(\mathcal{D}F_{K+1}\right|\mathcal{B}_{K+1}), \ \left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}_K)$ は $\mathcal{B}_{K+1}$ 可測であり( $\mathcal{B}_K$ -可測 $\Longrightarrow$ $\mathcal{B}_{K+1}$ -可測であることに注意)、 $\Omega_{K+1} \in \mathcal{B}_{K+1}$ であることから、条件付き期待値作用素の自己随伴性より

$\begin{align} &\langle (1-\mathbf{1}_{\Omega_{K+1}})(f-\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}_K) ), \left.\mathbb{E}(\mathcal{D}F_{K+1}\right|\mathcal{B}_{K+1})\rangle \\ &=\langle (1-\mathbf{1}_{\Omega_{K+1}})(f-\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}_K) ), \left.\mathbb{E}(\left.\mathbb{E}(\mathcal{D}F_{K+1}\right|\mathcal{B}_{K+1})\right|\mathcal{B}_{K+1})\rangle \\ &=\langle \left.\mathbb{E}( (1-\mathbf{1}_{\Omega_{K+1}})(f-\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}_K) )\right|\mathcal{B}_{K+1}), \left.\mathbb{E}(\mathcal{D}F_{K+1}\right|\mathcal{B}_{K+1})\rangle \\ &=\langle (1-\mathbf{1}_{\Omega_{K+1}})(\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}_{K+1})-\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}_K) ), \left.\mathbb{E}(\mathcal{D}F_{K+1}\right|\mathcal{B}_{K+1})\rangle\end{align}$

と変形できる。よって、⑲より⑳が従う。

$\displaystyle \left\|(1-\mathbf{1}_{\Omega_{K+1}})(\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}_{K+1})-\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}_K) )\right\|_{L^2} \geq 2^{-2^{k-1}+1}\sqrt{\varepsilon}-O_{K, \varepsilon}(\sqrt{\eta})-O(\varepsilon)$ −㉑.

理由: この㉑の証明中に現れるLandauの記号で表される関数は全て非負値関数であるとしてよいことに注意せよ。Cauchy-Schwarzの不等式より

$\begin{align} &\left|\langle (1-\mathbf{1}_{\Omega_{K+1}})(\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}_{K+1})-\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}_K) ), \left.\mathbb{E}(\mathcal{D}F_{K+1}\right|\mathcal{B}_{K+1})\rangle \right| \\ &\leq \left\|(1-\mathbf{1}_{\Omega_{K+1}})(\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}_{K+1})-\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}_K) )\right\|_{L^2}\left\|\left.\mathbb{E}(\mathcal{D}F_{K+1}\right|\mathcal{B}_{K+1})\right\|_{L^2}\end{align}$

と評価できる。⑬より

$\left\|\left.\mathbb{E}(\mathcal{D}F_{K+1}\right|\mathcal{B}_{K+1})\right\|_{L^2} \leq \left\|\mathcal{D}F_{K+1}\right\|_{L^{\infty}} \leq 2^{2^{k-1}-1}+O_{K, \varepsilon}(\sqrt{\eta})$

なので、

$\displaystyle \left\|\left.\mathbb{E}(\mathcal{D}F_{K+1}\right|\mathcal{B}_{K+1})\right\|_{L^2}^{-1} \geq \frac{1}{2^{2^{k-1}-1}+O_{K, \varepsilon}(\sqrt{\eta})}=2^{-2^{k-1}+1}\left(1-O_{K, \varepsilon}(\sqrt{\eta})\right)=2^{-2^{k-1}+1}-O_{K, \varepsilon}(\sqrt{\eta})$

が成り立つ。よって、⑳より

$\begin{align} \left\|(1-\mathbf{1}_{\Omega_{K+1}})(\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}_{K+1})-\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}_K) )\right\|_{L^2} &\geq \left(2^{-2^{k-1}+1}-O_{K, \varepsilon}(\sqrt{\eta})\right)\left(\sqrt{\varepsilon}-O_{K, \varepsilon}(\sqrt{\eta})-O(\varepsilon)\right) \\ &\geq 2^{-2^{k-1}+1}\sqrt{\varepsilon}-O_{K, \varepsilon}(\sqrt{\eta})-O(\varepsilon) \end{align}$

と㉑が得られる。

$\displaystyle \left\|(\mathbf{1}_{\Omega_{K+1}}-\mathbf{1}_{\Omega_K})\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}_K)\right\|_{L^2}^2 = O_{K, \varepsilon}(\sqrt{\eta})$ −㉒.

理由: ⑦より $\Omega_K$ の外では

$\displaystyle \left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}_K)(x) \leq 1+O_{K, \varepsilon}(\sqrt{\eta}) \leq 2$

なので、

$\displaystyle \left\|(\mathbf{1}_{\Omega_{K+1}}-\mathbf{1}_{\Omega_K})\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}_K)\right\|_{L^2}^2 \leq 4\mathbb{E}(\mathbf{1}_{\Omega_{K+1}}-\mathbf{1}_{\Omega_K})\leq 4\mathbb{E}(\mathbf{1}_{\Omega_{K+1}})$

であり( $(\mathbf{1}_{\Omega_{K+1}}-\mathbf{1}_{\Omega_K})^2=\mathbf{1}_{\Omega_{K+1}}-\mathbf{1}_{\Omega_K}$ に注意)、⑩より

$\displaystyle \mathbb{E}(\mathbf{1}_{\Omega_{K+1}}) \leq \mathbb{E}( (\nu+1)\mathbf{1}_{\Omega_{K+1}}) = O_{K, \varepsilon}(\sqrt{\eta})$

である。

⑫を示すためには

$\displaystyle \left\|(1-\mathbf{1}_{\Omega_{K+1}})\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}_{K+1})\right\|_{L^2}^2 \geq \left\|(1-\mathbf{1}_{\Omega_{K+1}})\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}_K)\right\|_{L^2}^2+2^{-2^k+2}\varepsilon-O_{K, \varepsilon}(\sqrt{\eta})-O(\varepsilon^{\frac{3}{2}})$ −㉓

を示せばよい。

帰着の理由: 余弦定理により*4、

$\begin{align} &\left\|(1-\mathbf{1}_{\Omega_K})\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}_K)\right\|_{L^2}^2 \\&=\left\|(1-\mathbf{1}_{\Omega_{K+1}})\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}_K)+(\mathbf{1}_{\Omega_{K+1}}-\mathbf{1}_{\Omega_K})\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}_K)\right\|_{L^2}^2 \\ &= \left\|(1-\mathbf{1}_{\Omega_{K+1}})\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}_K)\right\|_{L^2}^2+2\langle(1-\mathbf{1}_{\Omega_{K+1}})\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}_K), (\mathbf{1}_{\Omega_{K+1}}-\mathbf{1}_{\Omega_K})\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}_K)\rangle \\ &\quad + \left\|(\mathbf{1}_{\Omega_{K+1}}-\mathbf{1}_{\Omega_K})\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}_K)\right\|_{L^2}^2\end{align}$

であるが、 $(1-\mathbf{1}_{\Omega_{K+1}})(\mathbf{1}_{\Omega_{K+1}}-\mathbf{1}_{\Omega_K}) = 0$ なので、内積の項は $0$ である。よって、㉓が証明されたと仮定すると、㉒より

$\begin{align}\left\|(1-\mathbf{1}_{\Omega_{K+1}})\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}_{K+1})\right\|_{L^2}^2 &\geq \left\|(1-\mathbf{1}_{\Omega_{K+1}})\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}_K)\right\|_{L^2}^2+2^{-2^k+2}\varepsilon-O_{K, \varepsilon}(\sqrt{\eta})-O(\varepsilon^{\frac{3}{2}}) \\ &\geq \left\|(1-\mathbf{1}_{\Omega_K})\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}_K)\right\|_{L^2}^2+2^{-2^k+2}\varepsilon-O_{K, \varepsilon}(\sqrt{\eta})-O(\varepsilon^{\frac{3}{2}})\end{align}$

が得られる。 $\varepsilon$ を( $k$ のみに依存して)十分小さくとり、 $\eta$ を $K, \varepsilon$ のみに依存して十分小さくとることにより

$\displaystyle O_{K, \varepsilon}(\sqrt{\eta})+O(\varepsilon^{\frac{3}{2}}) \leq 2^{-2^k+1}\varepsilon$

が成り立つので、⑫が従う。

㉓は近似直交関係式

$\displaystyle \langle (1-\mathbf{1}_{\Omega_{K+1}})\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}_K), (1-\mathbf{1}_{\Omega_{K+1}})\left(\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}_{K+1})-\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}_K)\right)\rangle = O_{K, \varepsilon}(\sqrt{\eta})$ −㉔

に帰着される(Landauの記号で表される関数(すなわち左辺)は非負値関数とは限らないことに注意)。

帰着の理由: 余弦定理より

$\begin{align}\left\|(1-\mathbf{1}_{\Omega_{K+1}})\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}_{K+1})\right\|_{L^2}^2 &=\left\|(1-\mathbf{1}_{\Omega_{K+1}})\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}_K)+(1-\mathbf{1}_{\Omega_{K+1}})\left(\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}_{K+1})-\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}_{K})\right)\right\|_{L^2}^2\\ &=\left\|(1-\mathbf{1}_{\Omega_{K+1}})\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}_K)\right\|_{L^2}^2\\ &\quad +2\langle (1-\mathbf{1}_{\Omega_{K+1}})\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}_K), (1-\mathbf{1}_{\Omega_{K+1}})\left(\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}_{K+1})-\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}_K)\right)\rangle \\ &\quad +\left\|(1-\mathbf{1}_{\Omega_{K+1}})\left(\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}_{K+1})-\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}_{K})\right)\right\|_{L^2}^2\end{align}$

なので、内積の項を $A$ とおけば、㉑より

$\begin{align} &\left\|(1-\mathbf{1}_{\Omega_{K+1}})\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}_{K+1})\right\|_{L^2}^2 - \left\|(1-\mathbf{1}_{\Omega_{K+1}})\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}_K)\right\|_{L^2}^2 \\&\geq \left(2^{-2^{k-1}+1}\sqrt{\varepsilon}-O_{K, \varepsilon}(\sqrt{\eta})-O(\varepsilon)\right)^2 +A \\ &\geq 2^{-2^k+2}\varepsilon-2^{-2^{k-1}+2}\sqrt{\varepsilon}O_{K, \varepsilon}(\sqrt{\eta})-2^{-2^{k-1}+2}\sqrt{\varepsilon}O(\varepsilon)+A\end{align}$

と評価できる。よって、㉔が示されれば㉓が従うことがわかった。

㉔は

$\displaystyle \langle (1-\mathbf{1}_{\Omega_{K+1}})\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}_K), \left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}_{K+1})-\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}_K)\rangle = O_{K, \varepsilon}(\sqrt{\eta})$ −㉕

に帰着される。

帰着の理由: これは、内積の定義と $(1-\mathbf{1}_{\Omega_{K+1}})^2=1-\mathbf{1}_{\Omega_{K+1}}$ からわかる。

$\displaystyle \langle (1-\mathbf{1}_{\Omega_K})\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}_K), \left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}_{K+1})-\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}_K)\rangle = 0$ −㉖.

理由: $(1-\mathbf{1}_{\Omega_K})\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}_K)$ は $\mathcal{B}_K$ -可測であり、 $\mathcal{B}_K \subset \mathcal{B}_{K+1}$ なので、条件付き期待値作用素の自己随伴性とTao(2006) §6(その一)の補題３より

$\begin{align} &\langle (1-\mathbf{1}_{\Omega_K})\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}_K), \left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}_{K+1})-\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}_K)\rangle \\ &=\langle \left.\mathbb{E}( (1-\mathbf{1}_{\Omega_K})\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}_K)\right|\mathcal{B}_K), \left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}_{K+1})-\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}_K)\rangle \\ &=\langle (1-\mathbf{1}_{\Omega_K})\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}_K), \left.\mathbb{E}(\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}_{K+1})-\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}_K)\right|\mathcal{B}_K)\rangle \\ &= \langle (1-\mathbf{1}_{\Omega_K})\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}_K), 0\rangle = 0\end{align}$

となる。

㉕は

$\displaystyle \langle (\mathbf{1}_{\Omega_{K+1}}-\mathbf{1}_{\Omega_{K}})\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}_K), \left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}_{K+1})-\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}_K)\rangle = O_{K, \varepsilon}(\sqrt{\eta})$ −㉗

に帰着される。

帰着の理由: ㉖より

$\begin{align} &\langle (1-\mathbf{1}_{\Omega_{K+1}})\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}_K), \left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}_{K+1})-\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}_K)\rangle \\ &=\langle \{(1-\mathbf{1}_{\Omega_{K}})-(\mathbf{1}_{\Omega_{K+1}}-\mathbf{1}_{\Omega_{K}})\}\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}_K), \left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}_{K+1})-\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}_K)\rangle \\ &=\langle (1-\mathbf{1}_{\Omega_{K}})\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}_K), \left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}_{K+1})-\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}_K)\rangle \\ &\quad - \langle (\mathbf{1}_{\Omega_{K+1}}-\mathbf{1}_{\Omega_{K}})\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}_K), \left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}_{K+1})-\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}_K)\rangle \\ &=- \langle (\mathbf{1}_{\Omega_{K+1}}-\mathbf{1}_{\Omega_{K}})\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}_K), \left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}_{K+1})-\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}_K)\rangle\end{align}$

と変形できるので帰着される。

㉗は

$\displaystyle \langle (\mathbf{1}_{\Omega_{K+1}}-\mathbf{1}_{\Omega_{K}})\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}_K), \ f-\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}_K)\rangle = O_{K, \varepsilon}(\sqrt{\eta})$ −㉘

に帰着される。

帰着の理由: $\mathcal{B}_K$ -可測 $\Longrightarrow$ $\mathcal{B}_{K+1}$ -可測であることに注意して、 $(\mathbf{1}_{\Omega_{K+1}}-\mathbf{1}_{\Omega_{K}})\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}_K)$ は $\mathcal{B}_{K+1}$ -可測なので、条件付き期待値作用素の自己随伴性より

$\begin{align} &\langle (\mathbf{1}_{\Omega_{K+1}}-\mathbf{1}_{\Omega_{K}})\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}_K), \left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}_{K+1})-\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}_K)\rangle \\ &=\langle (\mathbf{1}_{\Omega_{K+1}}-\mathbf{1}_{\Omega_{K}})\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}_K), \left.\mathbb{E}(f-\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}_K)\right|\mathcal{B}_{K+1})\rangle\\ &=\langle\left.\mathbb{E}( (\mathbf{1}_{\Omega_{K+1}}-\mathbf{1}_{\Omega_{K}})\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}_K)\right|\mathcal{B}_{K+1}), \ f-\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}_K)\rangle\\ &=\langle (\mathbf{1}_{\Omega_{K+1}}-\mathbf{1}_{\Omega_{K}})\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}_K), \ f-\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}_K)\rangle\end{align}$

と変形できるので帰着される。

それでは、最終的に㉘を証明する。 $x \not \in \Omega_K$ のときは⑦より

$\displaystyle \left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}_K)(x) \leq 1+O_{K, \varepsilon}(\sqrt{\eta}) \leq 2$

なので、

$\displaystyle \left| \langle (\mathbf{1}_{\Omega_{K+1}}-\mathbf{1}_{\Omega_{K}})\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}_K), \ f-\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}_K)\rangle\right| \leq 2\mathbb{E}\left( (\mathbf{1}_{\Omega_{K+1}}-\mathbf{1}_{\Omega_K})\left|f-\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}_K)\right|\right)$

と評価できる。各点毎に $0 \leq f(x) \leq \nu(x)$ なので、

$\displaystyle \left|f-\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}_K)\right|(x) \leq \nu(x)+\left.\mathbb{E}(\nu\right|\mathcal{B}_K)(x)$

であり、

$\displaystyle \mathbb{E}\left( (\mathbf{1}_{\Omega_{K+1}}-\mathbf{1}_{\Omega_K})\left|f-\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}_K)\right|\right) \leq \mathbb{E}\left( (\mathbf{1}_{\Omega_{K+1}}-\mathbf{1}_{\Omega_K})(\nu+\left.\mathbb{E}(\nu\right|\mathcal{B}_K) )\right).$

$x \not \in \Omega_K$ において、④より

$\displaystyle \left.\mathbb{E}(\nu\right|\mathcal{B}_K)(x) \leq 1+\left|\left.\mathbb{E}(\nu-1\right|\mathcal{B}_K)(x)\right| \leq 1+O_{K, \varepsilon}(\sqrt{\eta}) \leq 2$

なので、

$\displaystyle \mathbb{E}\left( (\mathbf{1}_{\Omega_{K+1}}-\mathbf{1}_{\Omega_K})(\nu+\left.\mathbb{E}(\nu\right|\mathcal{B}_K) )\right) \leq 2\mathbb{E}\left( (\mathbf{1}_{\Omega_{K+1}}-\mathbf{1}_{\Omega_K})(\nu+1)\right) \leq 2\mathbb{E}\left( (\nu+1)\mathbf{1}_{\Omega_{K+1}}\right)$