2006年の国際数学オリンピックで次の定理を証明させる問題が出題されています。
その証明を始めてみたときに何か芸術作品を目の当たりにしたかのような感覚に襲われました。この記事ではその証明を鑑賞しようと思います。多角形は同じ記号で集合(多角形の辺上および内部の点全体)を表してよいことにします。また、絶対値記号でその多角形の面積を表します。
証明. の頂点にと名前を付ける*1。を二つの凸角形に分割するという形の対角線を主対角線と呼ぶ。各辺に対して、その辺と二つの主対角線の交点から得られる三角形を割り当てる。
主張: はを含む。
主張の証明: の定義から、の辺上および内部の点であってどの主対角線上にもないものを任意にとったときに、が或るに含まれることを示せば十分である。が有向線分の左側にあると仮定する(右側にある場合も同様に示せる)。このとき、は有向線分の右側にあるので、東大の碁石の問題と同じ考え方によって、或るが存在してはの左側、の右側にあることがわかる。すると、であることがわかる。主張の証明終わり.
主張より、鳩ノ巣原理によって
であるようなが存在する。主対角線の交点をとし、辺の長さについてであると仮定する(逆の場合も同様)。このとき、
となるので、三角形が所望のものである。 Q.E.D.
定理の証明
をなる凸角形とし、辺にと名前を付ける。各に対して定理の主張で割り当てられる三角形の面積をとする。背理法で主張を証明するため、
であると仮定する。このとき、有理数であって
を満たすようなものが存在する。の分母の最小公倍数をとして各をと分数表示する。このとき、
である。さて、各辺を等分して、を角形とみなす(を凸多角形の内角として認める。そうしても補題は成り立つ)。すると、補題よりこの角形の或る辺と頂点が存在して、とから定まる三角形の面積は以上となる。
こうして、を含む或る辺とから出来る三角形はに含まれるが、その面積をとすると
となって、の最大性に矛盾する。 Q.E.D.
*1:反時計回りの順番に。また、便宜的にであればとなるように任意の整数に対してが意味を持つようにしておく。