インテジャーズ

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数、特に整数に関する記事。

トーシェント関数に関する漸近評価

この記事は準備の記事です。

\mu (n), \varphi (n), \zeta (s)をそれぞれMöbius関数、Eulerのトーシェント関数、Riemannゼータ関数とします:
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補題1 s\mathrm{Re}(s) > 1を満たすような複素数とする。このとき、
\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\mu (n)}{n^s}=\frac{1}{\zeta (s)}
が成り立つ。

証明. Euler積表示およびMöbius関数の定義により

\displaystyle \frac{1}{\zeta (s)}=\prod_p(1-p^{-s}) = \prod_p\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\mu (p^k)}{p^{ks}}

と書くことができるが、Möbius関数は乗法的関数であるから素因数分解の一意性によって

\displaystyle \prod_p\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\mu (p^k)}{p^{ks}} =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\mu (n)}{n^s}

と変形できる。 Q.E.D.

補題2 x \to \inftyにおいて次の漸近公式が成立する:
\displaystyle \sum_{n \leq x}\frac{\varphi(n)}{n}=\frac{6}{\pi^2}x+O(\log x).

証明. Möbiusの反転公式によって\displaystyle \varphi (n)=\sum_{d \mid n}\mu (d)\frac{n}{d}が成り立つため、

\begin{equation}\begin{split} \sum_{n \leq x}\frac{\varphi (n)}{n} &= \sum_{n \leq x}\sum_{d \mid n}\frac{\mu (d)}{d} \\ &=\sum_{d \leq x}\frac{\mu (d)}{d}\left[ \frac{x}{d} \right] \\ &= x\sum_{d \leq x}\frac{\mu (d)}{d^2}-\sum_{d \leq x}\frac{\mu (d)}{d}\left\{ \frac{x}{d} \right\}\end{split}\end{equation}

と計算できる。

\displaystyle x\sum_{d \leq x}\frac{\mu (d)}{d^2} = x\sum_{d=1}^{\infty}\frac{\mu (d)}{d^2}-x\sum_{d > x}\frac{\mu (d)}{d^2}

の第一項は補題1によって1/\zeta (2)に等しく、バーセル問題
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によって6/\pi^2に等しい。第二項は

\displaystyle x\left| \sum_{d > x}\frac{\mu (d)}{d^2} \right| \leq x\sum_{d > x}\frac{1}{d^2} \leq x\int_x^{\infty}\frac{dt}{t^2}=O(1)

と評価できる。また、
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の漸近公式3より

\displaystyle \left| \sum_{d \leq x}\frac{\mu (d)}{d}\left\{ \frac{x}{d} \right\} \right| \leq \sum_{d \leq x}\frac{1}{d} = \log x + O(1).

以上により証明が完了する。 Q.E.D.

補題3 \delta > 0を任意に固定する。このとき、
\displaystyle \#\{n \leq x \mid \varphi (x) \geq \delta n \} \geq \left( \frac{6}{\pi^2} -\delta \right) x + O(\log x)
が成り立つ。

証明.

\displaystyle \sum_{\substack{n \leq x \\ \varphi (n) \geq \delta n}} \frac{\varphi (n)}{n} \leq \sum_{\substack{n \leq x \\ \varphi (n) \geq \delta n}}1 = \#\{n \leq x \mid \varphi (n) \geq \delta n \}
および
\displaystyle \sum_{\substack{n \leq x \\ \varphi (n) < \delta n}} \frac{\varphi(n)}{n} \leq \sum_{\substack{n \leq x \\ \varphi (n) < \delta n}}\delta \leq \delta x
が成り立つので、足し合わせて補題2を適用すればよい。 Q.E.D.

\zeta (1) = \inftyより

\displaystyle \liminf_{n \to \infty}\frac{\varphi (n)}{n} = 0

がわかりますが、\delta\displaystyle 0 < \delta < \frac{6}{\pi^2} の範囲にあればx以下の\displaystyle \frac{\varphi (n)}{n} \geq \delta を満たすようなnの個数はxが十分大きいとある程度の割合だけ保証できることが補題3よりわかります。

なお、この下極限の観点から再度1の原始n乗根の一様分布性を観賞すると美しく思えます:
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