この記事は準備の記事です。
, , をそれぞれMöbius関数、Eulerのトーシェント関数、Riemannゼータ関数とします:
メビウス関数 - インテジャーズ
オイラーのトーシェント関数とφ(R(n))=n - INTEGERS
リーマンゼータ関数 - INTEGERS
補題1 をを満たすような複素数とする。このとき、が成り立つ。
証明. Euler積表示およびMöbius関数の定義により
と書くことができるが、Möbius関数は乗法的関数であるから素因数分解の一意性によって
と変形できる。 Q.E.D.
補題2 において次の漸近公式が成立する:
証明. Möbiusの反転公式によってが成り立つため、
と計算できる。
の第一項は補題1によってに等しく、バーセル問題によってに等しい。第二項は
と評価できる。また、アーベルの総和法 - INTEGERSの漸近公式3より
以上により証明が完了する。 Q.E.D.
補題3 を任意に固定する。このとき、が成り立つ。
証明.
および
が成り立つので、足し合わせて補題2を適用すればよい。 Q.E.D.
より
がわかりますが、が の範囲にあれば以下のを満たすようなの個数はが十分大きいとある程度の割合だけ保証できることが補題3よりわかります。
なお、この下極限の観点から再度の原始乗根の一様分布性を観賞すると美しく思えます:
integers.hatenablog.com