0.011010100010100010100010000010100000100... は無理数

$b$ を $2$ 以上の整数とし、以下、正の実数を $b$ 進法表示で表します。ただし、 $\cdots r\dot{0}$ ではなく $\cdots (r-1)\dot{(b-1)}$ を採用します( $r \geq 1$ )。

定理小数第素数位が $1$ であり、それ以外が $0$ であるような小数

$0.011010100010100010100010000010100000100\dots$

は無理数である*1。

ここでは、Nasehpourの方法を紹介します*2。

証明. 正の実数 $r$ の小数部分 $0.r_1r_2\cdots$ に対して

$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{r_1+\cdots +r_n}{n}$

が存在するとき、その極限値を $\mathrm{Av}(r)$ と表す。

$0\leq d \leq b-1$ に対して $A(d, n):=\{1\leq j\leq n \mid r_j=d\}$ とする。各 $d$ に対して極限値 $\lim_{n \to \infty}\frac{\#A(d, n)}{n}=\omega_d$ が存在すれば、

$\displaystyle \mathrm{Av}(r)=\sum_{d=1}^{b-1}d\omega_d \tag{1}$

が成り立つ。理由: 任意に $\varepsilon > 0$ をとる。十分大きい $n$ に対して

$\displaystyle \left|\frac{\#A(d, n)}{n}-\omega_d\right| < \varepsilon$

が成り立ち、

$\displaystyle \frac{r_1+\cdots +r_n}{n}=\frac{1}{n}\sum_{d=0}^{b-1}\sum_{i \in A(d, n)}r_i=\sum_{d=1}^{b-1}d\frac{\#A(d, n)}{n}$

なので、

$\displaystyle \left|\frac{r_1+\cdots +r_n}{n}-\sum_{d=1}^{b-1}d\omega_d\right| < \frac{b(b-1)\varepsilon}{2}$

が得られる。

$r$ が有理数であれば $r$ の小数部分は循環小数 $0.r_1\cdots r_n \dot{q_1}\cdots \dot{q_m}$ の形になり、このとき

$\displaystyle \omega_{q_1}=\cdots = \omega_{q_m}=\frac{1}{m}$

であり、 $d \in \{0, 1, \dots, b-1\} \setminus \{q_1, \dots, q_m\}$ に対しては $\omega_d=0$ なので、(1)より

$\displaystyle \mathrm{Av}(r) = \frac{q_1+\cdots + q_m}{m}$

となって、これは正の有理数である( $q_1=\cdots =q_m=0$ は許されていない)。よって、以上の考察から $\mathrm{Av}(r) = 0$ であれば $r$ は無理数であるという無理数判定法が得られた*3。

$r$ を $0.011010100010100010100010000010100000100\dots$ とする。すると、素数密度零補題より

$\displaystyle \mathrm{Av}(r) = \lim_{n \to \infty}\frac{\pi(n)}{n}=0$

なので $r$ は無理数である。 Q.E.D.

*1:最初に述べた小数表示のルールに則っていることを確認するために素数の無限性が必要。

*2:P. Nasehpour, A simple criterion for irrationality of some real numbers, arXiv. もちろん、もっと自明に直接的に示すことができますが、一応もう少しgeneralな無理数判定法を一つ提示しています。例えば、ラッキー数バージョンであっても同じ仕組みで説明できます。

*3:逆は成り立たない。

INTEGERS

数、特に整数に関する記事。

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