tsujimotterさんへ

$\displaystyle \sum_{k=0}^n\frac{(-n)_k(b)_k}{(c)_kk!}=\frac{(c-b)_n}{(c)_n}$

において $b\mapsto -s$ , $c \mapsto t-n+1$ とおきかえると

$\displaystyle \sum_{k=0}^n\frac{(-n)_k(-s)_k}{(t-n+1)_kk!}=\frac{(s+t-n+1)_n}{(t-n+1)_n}$

となる。

$\displaystyle (-n)_k=(-1)^k\frac{n!}{(n-k)!}$

および

$\displaystyle \frac{(t-n+1)_n}{(t-n+1)_k}=(t+k-n+1)_{n-k}$

より

$\displaystyle \sum_{k=0}^n(-1)^k\frac{(-s)_k}{k!}\frac{(t+k-n+1)_{n-k}}{(n-k)!}=\frac{(s+t-n+1)_n}{n!}$

と書き直すことができ、

$\displaystyle \frac{(a)_b}{b!}=(-1)^b\binom{-a}{b}=\binom{a+b-1}{b}$

より

$\displaystyle \sum_{k=0}^n\binom{s}{k}\binom{t}{n-k}=\binom{s+t}{n}$

となる。

INTEGERS