さっき起きました。
最近は「素因数分解の一意性」とか「素数定理」などに想いを馳せることが多いのですが、Twitterでいつも通り「素数定理」で検索しました。
すると、「式変形チャンネル」さんという方の次の記事を見つけました。
計算は追ってないですが、 いわゆる"de la Vallée Poussinの素数定理"を用いて、十分大きいに対してを示しています。
これを見て、effectiveにはどうなんだろうかと思ったのでRosser-Schoenfeld (1962)のTheorem 1を使ってみましたが出なさそうでした(cf. Corollary 3)。
そこで、Dusart (1999)を参照すると、
と書いてあります。証明は追ってないですが、ここでは正しいと仮定しましょう。すると、で
となります。https://www.wolframalpha.comを使用すると
と出力され、Desmos | Beautiful, Free Mathを利用すると
だったので、でこれは正だと思われます。というわけで、幾つかの信用仮定のもと、所望の不等式はにeffective化されました。
https://www.wolframalpha.comを使用すると
と出力されるので、で
が成り立ち、を整数に限定して考えて、等号成立はのみだろうということがわかりました。
、君にはこんな性質があったんだね。
effectiveな不等式*1について、もっと強いことが知られているということをご存知の方がおられましたら文献を教えて頂けますと喜びます。
それでは皆さん今日も1日頑張りましょう。
*1:Dusartの結果ではなく、本題の不等式関連。