クイズ - INTEGERS

一橋大学の数学の第１問は口ずさみたくなる文ですね。

integers.hatenablog.com

のEratosthenesの篩を $f(x)=x^{\frac{1}{3}}$ および $x=10^3$ として適用すると、

$\begin{align} \pi(1000)&\leq \pi(10)+2^{\pi(10)}+10^3\prod_{p\leq 10}\left(1-\frac{1}{p}\right)\\ &=4+2^4+1000\times \frac{1}{2}\times \frac{2}{3}\times \frac{4}{5}\times \frac{6}{7}\\ &=\frac{1740}{7} < 249\end{align}$

が得られます。

数列クイズ♪

$2, 3, 5, 17, 29, 31, 53, 59, 101, \dots$

問題　正の整数であって、十進法表記したときに $9$ が現れないようなものを考える。このような整数のうち素数であるものは無限に存在することを証明せよ。

（ヒント：ONE PIECEのキャラクター　追撃の○○○○○）

問題　非負整数 $n$ に対して $\displaystyle a_n=\frac{{}_{2n}\mathrm{C}_n}{n+1}$ とおく。正の整数 $N$ に対して

$\displaystyle a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_Nx^N$

は有理数体上既約な多項式であることを証明して欲しいです。