78：関-Bernoulli数の分母にならない6の倍数であるような無平方数のうち最小の数

関-Bernoulli数 $B_{2n}$ の分母を $D_{2n}$ とすると、

$\displaystyle D_{2n} = \prod_{p-1 \mid 2n}p$

が成り立つのでした(積は $p-1$ が $2n$ を割り切るような素数全体を渡る)。これは、von-Staudt－Clausenの定理の系で、関-ベルヌーイ数 - INTEGERSで証明しました。

任意の偶数は $1, 2$ を約数に持ち、 $1+1=2, 2+1=3$ はともに素数であることから、全ての $D_{2n}$ は $6$ の倍数であるような無平方数(square-free number)です。この観点から、 $78$ は覚えるに値する数であると言えます：

定理 $78=2\times 3\times 13$ はいかなる関-Bernoulli数の分母にもなり得ない。

証明. $D_{2n}=78$ なる $n$ が存在したと仮定する。このとき、 $13-1 = 12$ なので、 $2n$ は $12$ の倍数である。すると、 $2n$ は $4$ でも $6$ でも割り切れる。 $4+1=5, 6+1=7$ は素数なので、 $5, 7 \mid D_{2n}$ でなければならない。これは矛盾である。 Q.E.D.

このように、分母になり得ない数がある一方、次の疑問が生じます。

Question１ $\ \ \ \displaystyle \#\{D_{2n} \mid n \in \mathbb{N}\} = \infty$ ？

ある予想を認めれば次のように簡単に解決します：

定義素数 $p$ がSophie Germain素数であるとは、 $2p+1$ も素数になるときにいう。

予想 Sophie Germain素数は無数に存在する。

この予想を仮定すると、奇数であるようなSophie Germain素数 $p$ に対して

$D_{2p} = 6(2p+1)$

となって、先ほどの疑問は肯定的に解決します。今のところ、何らの仮定なしに先ほどのQuestion１を解決できるかは私は知りません。

Sophie Germain素数を使えば、関-Bernoulli数の分子を分母で割った余りの数列
integers.hatenablog.com
$\{a_n\}$ についても情報が得られます。上記記事では、 $\{a_n\}$ の値として一度現れたものは無数に現れることを証明しましたが、値自体は無数に存在するかは問いませんでした。つまり、次の自然な問を考えることができます。