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数、特に整数に関する記事。

Beukers-Hadjicostasの定理

Beukersが\zeta (3)の無理性証明に用いた積分表示を一般化したものをHadjicostasが与えています。Beukersによる無理性証明を解説する前段階として、今回の記事ではBeukers-Hadjicostasの定理の証明を解説します。

定理 (Beukers-Hadjicostas)
r, sは非負整数、d_r1, 2, \dots, rの最小公倍数とする。
r > sの時、任意の非負整数nに対して
\displaystyle \int_0^1 \! \! \int_0^1\frac{\log^n(xy)}{1-xy}x^ry^sdxdy = \frac{n!(-1)^n}{r-s}\sum_{k=s+1}^r\frac{1}{k^{n+1}} \in \frac{1}{d_r^{n+2}}\mathbb{Z}
が成り立つ。
r=sの時、任意の非負整数nに対して
\begin{equation}\begin{split} \int_0^1 \! \! \int_0^1\frac{\log^n(xy)}{1-xy}x^ry^rdxdy &= (-1)^n(n+1)!\left\{ \zeta (n+2) -\sum_{k=1}^r\frac{1}{k^{n+2}} \right\} \\ &\in \zeta (n+2)\mathbb{Z}+\frac{1}{d_r^{n+2}}\mathbb{Z}\end{split}\end{equation}
が成り立つ。ただし、r=0のときは最後の和は現れない。
証明. 0 < x, y < 1, \ \sigma \geq 0に対して、無限等比級数の和の公式により

\displaystyle \frac{x^{r+\sigma}y^{s+\sigma}}{1-xy}=\sum_{k=0}^{\infty}x^{r+\sigma +k}y^{s+\sigma +k} -①

が成り立つ。0 < \varepsilon < e^{-1}なる\varepsilonを固定する。このとき、任意の非負整数kx, y \in (\varepsilon , 1-\varepsilon )に対して

\displaystyle |x^{r+k+\sigma}y^{s+k+\sigma}| \leq (1-\varepsilon )^{r+s+2\sigma +2k}

であり、

\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty}(1-\varepsilon )^{r+s+2\sigma +2k}  = \frac{(1-\varepsilon )^{r+s+2\sigma}}{1-(1-\varepsilon )^2} < \infty

が成り立つから、①はx, y \in (\varepsilon, 1-\varepsilon )で絶対一様収束することがわかる。よって、①を項別積分することにより

\displaystyle \int_{\varepsilon}^{1-\varepsilon} \! \int_{\varepsilon}^{1-\varepsilon} \frac{x^{r+\sigma}y^{s+\sigma}}{1-xy}dxdy = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{a(\varepsilon, r, s, \sigma, k)}{(r+\sigma +k+1)(s+\sigma +k+1)} -②

を得る。ここで、

\displaystyle a(\varepsilon, r, s, \sigma, k) := \{(1-\varepsilon )^{r+\sigma +k+1}-\varepsilon^{r+\sigma +k+1} \} \cdot \{ (1-\varepsilon )^{s+\sigma +k+1}-\varepsilon^{s+\sigma +k+1}\}

である。

関数\displaystyle \frac{x^{r+\sigma}y^{s+\sigma}}{1-xy}および、そのn階導関数\displaystyle \frac{\partial^n}{\partial \sigma^n}\left( \frac{x^{r+\sigma}y^{s+\sigma}}{1-xy} \right) = \frac{\log^n(xy)}{1-xy}x^{r+\sigma}y^{s+\sigma}[\varepsilon, 1-\varepsilon] \times [\varepsilon , 1-\varepsilon ] \times [ 0, \infty) において連続であるから、

\displaystyle \frac{\partial^n}{\partial \sigma^n}\int_{\varepsilon}^{1-\varepsilon} \! \int_{\varepsilon}^{1-\varepsilon}\frac{x^{r+\sigma}y^{s+\sigma}}{1-xy}dxdy = \int_{\varepsilon}^{1-\varepsilon} \! \int_{\varepsilon}^{1-\varepsilon} \frac{\log^n(xy)}{1-xy}x^{r+\sigma}y^{s+\sigma}dxdy -③

が任意の\sigma > 0に対して成立する。

次に、②の右辺を\sigmaに関してn階偏微分することを考える。まず、関数b(\varepsilon, r, s, \sigma, k)

\displaystyle b(\varepsilon, r, s, \sigma, k) := \frac{a(\varepsilon, r, s, \sigma, k)}{(r+\sigma +k+1)(s+\sigma +k+1)}

と定義する。この関数の\sigmaに関するn階偏導関数は

\displaystyle \frac{\partial^n}{\partial \sigma^n}b(\varepsilon, r, s, \sigma, k) = \sum_{\substack{(i, j, l) \in \mathbb{Z}^3_{\geq 0} \\ i+j+l=n}}\frac{(-1)^{j+1}n!}{i!}\frac{\frac{\partial^i}{\partial \sigma^i}a(\varepsilon, r, s, \sigma, k)}{(r+\sigma +k+1)^{j+1}(s+ \sigma +k+1)^{l+1}} -④

で与えられる。Leibniz則により

\begin{equation}\begin{split} \frac{\partial^i}{\partial \sigma^i}a(\varepsilon, r, s, \sigma, k) = \sum_{m=0}^i\binom{i}{m}\{ &(1-\varepsilon)^{r+\sigma +k+1}\log^m(1-\varepsilon )-\varepsilon^{r+\sigma +k+1}\log^m\varepsilon\} \\ &\cdot \{ (1-\varepsilon)^{s+\sigma +k+1}\log^{i-m}(1-\varepsilon )-\varepsilon^{s+\sigma +k+1}\log^{i-m}\varepsilon\} \end{split}\end{equation}
ー⑤

が成り立つので、

\displaystyle \left| \frac{\partial^i}{\partial \sigma^i}a(\varepsilon, r, s, \sigma, k) \right| \leq \sum_{m=0}^i\binom{i}{m} (|\log^m(1-\varepsilon )|+|\log^m\varepsilon |)(|\log^{i-m}(1-\varepsilon )|+|\log^{i-m}\varepsilon |) -⑥

を得る。\varepsilon < e^{-1} < 1-e^{-1}であるから、

-1 = \log (e^{-1}) \leq \log (1-\varepsilon ) < 0, \ \log \varepsilon < \log (e^{-1}) = -1

であり、|\log (1-\varepsilon )| \leq 1, \ |\log \varepsilon | > 1となる。よって、m \leq nに対して

|\log^m (1-\varepsilon )| + |\log^m \varepsilon | \leq 1+|\log^n \varepsilon |

が成り立つ。従って、N:=\# \{(i, j, l) \in \mathbb{Z}_{\geq 0}^3 \mid i+j+l=n \}とすると、④、⑥より

\begin{equation}\begin{split} \left| \frac{\partial^n}{\partial \sigma^n} b(\varepsilon, r, s, \sigma, k) \right| &\leq \sum_{\substack{(i, j, l) \in \mathbb{Z}_{\geq 0}^3 \\ i+j+l=n}}\frac{n!}{i!}\cdot 2^i\cdot \frac{(1+|\log^n\varepsilon |)^2}{(k+1)^{j+l+2}} \\ &\leq n!2^nN(1+|\log^n \varepsilon |)^2 \frac{1}{(k+1)^2}\end{split}\end{equation} ―⑦

と評価される。\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(k+1)^2} = \zeta (2) < \inftyより、\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty}\frac{\partial^n}{\partial \sigma^n} b(\varepsilon, r, s, \sigma, k)\sigma > 0で絶対一様収束することがわかる。以上より、②の右辺は項別微分可能であり、③と合わせることにより

\displaystyle \int_{\varepsilon}^{1-\varepsilon} \! \! \int_{\varepsilon}^{1-\varepsilon}\frac{\log^n(xy)}{1-xy}x^{r+\sigma}y^{s+\sigma}dxdy = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{\partial^n}{\partial \sigma^n}b(\varepsilon, r, s, \sigma, k) -⑧

が任意の自然数n\sigma > 0に対して成立することがわかる。

次に\varepsilon \to +0なる極限を考える。⑤より、iが自然数のときは

\displaystyle \lim_{\varepsilon \to +0}\left( \frac{\partial^i}{\partial \sigma^i}a(\varepsilon, r, s, \sigma, k) \right) = 0

が任意の非負整数kおよび\sigma > 0に対して成り立つ。また、\displaystyle \lim_{\varepsilon \to +0}a(\varepsilon, r, s, \sigma, l) = 1なので、④より

\displaystyle \lim_{\varepsilon \to +0}\frac{\partial^n}{\partial \sigma^n}b(\varepsilon, r, s, \sigma, k) = \sum_{\nu = 0}^n\frac{(-1)^nn!}{(r+\sigma +k+1)^{\nu +1}(s+\sigma +k+1)^{n-\nu+1}} -⑨

を得る。⑦の評価は\varepsilonに依っているので少し変形する。まず、定義より明らかに

\displaystyle |a(\varepsilon, r, s, \sigma, k)| \leq 1

である。1 \leq i \leq nのとき、⑤より

\begin{equation}\begin{split} \left| \frac{\partial^i}{\partial \sigma^i}a(\varepsilon, r, s, \sigma, k) \right| &\leq \sum_{m=0}^i\binom{i}{m}(|\log^m(1-\varepsilon )|+|\varepsilon \log^m\varepsilon |) \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \times (|\log^{i-m}(1-\varepsilon )| + |\varepsilon \log^{i-m}\varepsilon |) \\ &\leq \sum_{m=0}^i \binom{i}{m} (1+|\varepsilon \log^n \varepsilon |)^2 \end{split}\end{equation}

が成り立つ。\displaystyle \lim_{\varepsilon \to +0}\varepsilon \log^n\varepsilon = 0であるから、nのみに依る定数C(n)が存在して、任意の1 \leq i \leq n, \sigma > 0, k \in \mathbb{Z}_{\geq 0}, \ \varepsilon \in (0, e^{-1})に対して

\displaystyle \left| \frac{\partial^i}{\partial \sigma^i} a(\varepsilon, r, s, \sigma, k) \right| \leq C(n)

と上から評価できる。よって、④より

\displaystyle \left| \frac{\partial^n}{\partial \sigma^n}b(\varepsilon, r, s, \sigma, k) \right| \leq \frac{n!\{(n+1)+NC(n)\} }{(k+1)^2}

を得る。これは\varepsilonに依らない評価である。\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(k+1)^2} < \inftyであるから、

\displaystyle \lim_{\varepsilon \to +0}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\partial^n}{\partial \sigma^n}b(\varepsilon, r, s, \sigma, k) = \sum_{k=0}^{\infty}\lim_{\varepsilon \to +0}\frac{\partial^n}{\partial \sigma^n}b(\varepsilon, r, s, \sigma, k) -⑩

と極限と和が交換可能であって、和は収束する。よって、⑧、⑨、⑩より、任意の非負整数nおよび\sigma > 0に対して

\displaystyle \int_0^1 \! \! \int_0^1 \frac{\log^n (xy)}{1-xy}x^{r+\sigma}y^{s+\sigma}dxdy = \sum_{k=0}^{\infty}\sum_{\nu =0}^n\frac{(-1)^nn!}{(r+\sigma +k+1)^{\nu +1}(s+\sigma + k+1)^{n-\nu +1}}
-⑪

が成り立つ。今度は\sigma \to +0とすることを考える。任意の\sigma > 0および非負整数kに対して

\displaystyle \left| \sum_{\nu = 0}^n\frac{(-1)^nn!}{(r+\sigma +k+1)^{\nu +1}(s+\sigma +k+1)^{n-\nu +1}} \right| \leq \frac{(n+1)!}{(k+1)^{n+2}}

であり、\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(k+1)^{n+2}} < \inftyであるから

\begin{equation}\begin{split} & \ \ \lim_{\sigma \to +0}\sum_{k=0}^{\infty}\sum_{\nu =0}^n\frac{(-1)^nn!}{(r+\sigma +k+1)^{\nu +1}(s+\sigma +k+1)^{n-\nu +1}} \\ &= \sum_{k=0}^{\infty}\sum_{\nu =0}^n \frac{(-1)^nn!}{(r+k+1)^{\nu +1}(s+k+1)^{n-\nu +1}}\end{split}\end{equation} ―⑫

と極限と和が交換可能であって、和は収束する。⑪の左辺について考察する。任意のx, y \in (0, 1), \ \ \sigma > 0に対して

\displaystyle \left| \frac{\log^n (xy)x^{r+\sigma}y^{s+\sigma}}{1-xy} \right| \leq \frac{(-\log (xy))^n}{1-xy}

であり、

\displaystyle 0 \leq \int_0^1 \! \! \int_0^1 \frac{(-\log (xy))^n}{1-xy}dxdy < \infty

が成り立つ。実際、0 < x, y < 1のとき-\log (xy) > 0であるから、積分が0以上であることは明らかである。n=0のときは\sigmaに関する微分を実行しない場合であり、①が\sigma =0に対しても成り立つことから、以上の議論より\displaystyle \int_0^1 \! \! \int_0^1\frac{dxdy}{1-xy} = \zeta (2) < \inftyがわかる。n \geq 1のときは0 < x, y < 1に対して1-xy > (1-x)(1-y)が成り立つので、対数法則を用いてから二項展開することにより

\begin{equation}\begin{split} \int_0^1 \! \! \int_0^1\frac{(-\log (xy))^n}{1-xy}dxdy &\leq \int_0^1 \! \! \int_0^1 \frac{(-\log x)^n}{1-xy}dxdy \\ & \ \ +\sum_{m=1}^{n-1}\binom{n}{m}\int_0^1 \! \! \int_0^1 \frac{(-\log x)^m(-\log y)^{n-m}}{1-xy}dxdy \\ & \ \ +\int_0^1 \! \! \int_0^1 \frac{(-\log y)^n}{1-xy}dxdy \\ &\leq \sum_{m=1}^{n-1}\binom{n}{m} \left( \int_0^1\frac{(-\log x)^m}{1-x}dx \right) \left( \int_0^1\frac{(-\log y)^{n-m}}{1-y}dy \right) \\ & \ \ +2\int_0^1\frac{(-\log x)^n}{1-x}dx \end{split}\end{equation}

が得られる。0 < \alpha < 1なる\alphaを一つとって固定するとき、任意の自然数nに対して

\displaystyle \lim_{x \to +0}x^{\alpha}\frac{(-\log x)^n}{1-x} = \lim_{x \to 1-0}(1-x)^{\alpha}\frac{(-\log x)^n}{1-x} = 0

なので、\displaystyle 0 \leq \int_0^1\frac{(-\log^n)}{1-x}dx < \inftyである。よって、考えている積分は収束することがわかるので、Lebesgueの優収束定理より極限と積分が交換可能となって、⑪、⑫より

\displaystyle \int_0^1 \! \! \int_0^1\frac{\log^n(xy)}{1-xy}x^ry^sdxdy = \sum_{k=0}^{\infty}\sum_{\nu =0}^n\frac{(-1)^nn!}{(r+k+1)^{\nu +1}(s+k+1)^{n-\nu +1}}

が示された。r=sとすることにより主張の後半は即座に従う。r > sの場合は望遠鏡和に分けることによって計算できる*1

\begin{equation}\begin{split} & \ \ \sum_{k=0}^{\infty}\sum_{\nu =0}^n\frac{(-1)^nn!}{(r+k+1)^{\nu +1}(s+k+1)^{n-\nu +1}} \\ &= \frac{(-1)^nn!}{r-s}\sum_{k=0}^{\infty} \left( \frac{1}{s+k+1} -\frac{1}{r+k+1} \right) \\ & \ \ \ \times \sum_{\nu =0}^n\frac{1}{(r+k+1)^{\nu}(s+k+1)^{n-\nu}} \\ &= \frac{(-1)^nn!}{r-s}\sum_{k=0}^{\infty}\left\{ \frac{1}{(s+k+1)^{n+1}}-\frac{1}{(r+k+1)^{n+1}} \right\} \\ &= \frac{(-1)^nn!}{r-s}\sum_{k=s+1}^r\frac{1}{k^{n+1}}\end{split}\end{equation}

と変形できて前半の主張も得られた。ただし、二つ目の等式は恒等式

\displaystyle X^{n+1}-Y^{n+1} = (X-Y)(X^n+X^{n-1}Y+\cdots +XY^{n-1}+Y^n)

において、X=(s+k+1)^{-1}, Y=(r+k+1)^{-1}とすることによって得られる。 Q.E.D.

この公式のn=1の場合を用いて\zeta (3)が無理数である事が証明されます:
integers.hatenablog.com

すると、Beukers-Hadjicostasによって一般の\zeta (n+2)の無理性も証明できる気がしますが、それはできません。詳しくは述べないですが、Beukers-Hadjicostasではn \geq 2の場合には近似列を得るための自由度が少なく、良い近似を得る事ができません。