ワイエルシュトラスの多項式近似定理

この記事では、Weierstrassの多項式近似定理の証明を解説します：

定理 (Weierstrass, 1885) $\ f$ を区間 $[a, b]$ 上で定義された実数値連続関数とする( $a, b \in \mathbb{R}, b > a$ )。このとき、任意の $\varepsilon > 0$ に対して多項式 $P_{\varepsilon}(x)$ が存在して、

$\left|f(x)-P_{\varepsilon}(x)\right| < \varepsilon \ \ \ {}^{\forall}x \in [a, b]$

が成り立つ。

証明は何通りもありますが、Bernsteinによるものを解説します。これは多項式を具体的に与える証明です。

補題

補題次の三つの多項式の等式が成立する：

$\displaystyle \sum_{k=0}^n\binom{n}{k}x^k(1-x)^{n-k}=1$
$\displaystyle \sum_{k=0}^nk\binom{n}{k}x^k(1-x)^{n-k} = nx$
$\displaystyle \sum_{k=0}^nk(k-1)\binom{n}{k}x^k(1-x)^{n-k} = n(n-1)x^2$

証明. 一つ目は

$\displaystyle \sum_{k=0}^n\binom{n}{k}x^k(1-x)^{n-k}=(x+(1-x))^n = 1,$

二つ目は

$\begin{align}\sum_{k=0}^nk\binom{n}{k}x^k(1-x)^{n-k} &= \sum_{k=1}^nk\binom{n}{k}x^k(1-x)^{n-k} = nx \sum_{k=1}^n\binom{n-1}{k-1}x^{k-1}(1-x)^{n-1-(k-1)} \\ &= nx\sum_{k=0}^{n-1}\binom{n-1}{k}x^k(1-x)^{n-1-k} = nx,\end{align}$

三つ目は

$\begin{align}\sum_{k=0}^nk(k-1)\binom{n}{k}x^k(1-x)^{n-k} &= \sum_{k=1}^nk(k-1)\binom{n}{k}x^k(1-x)^{n-k} \\ &= nx\sum_{k=1}^n(k-1)\binom{n-1}{k-1}x^{k-1}(1-x)^{n-1-(k-1)} \\ &= nx \sum_{k=0}^{n-1}k\binom{n-1}{k}x^k(1-x)^{n-1-k} = nx(n-1)x = n(n-1)x^2\end{align}$

と示される。 Q.E.D.

補題より、

$\displaystyle \sum_{k=0}^n(k-nx)^2\binom{n}{k}x^k(1-x)^{n-k} = n(n-1)x^2+(1-2nx)nx+n^2x^2 = -nx^2+nx = nx(1-x)$

であることがわかります。

帰着

定理の $f$ は $[0, 1]$ 上定義されている場合に証明すれば十分です。というのも、 $f$ が $[a, b]$ 上で定義されているとき

$g(x):=f(a+(b-a)x)$

は $[0, 1]$ 上で定義された連続関数となるので、この $g(x)$ に対する近似多項式 $P_{\varepsilon}(x)$ の存在が証明できていれば

$\displaystyle \left| f(x) - P_{\varepsilon}\left( \frac{x-a}{b-a} \right) \right| = \left| f\left( a+(b-a)\frac{x-a}{b-a} \right) - P_{\varepsilon}\left( \frac{x-a}{b-a} \right) \right| < \varepsilon$

が $x \in [a, b]$ に対して成り立ち、 $f(x)$ についても近似多項式が存在することがわかります。

Bernstein多項式

$f$ は $[0, 1]$ 上定義された連続関数としましょう。このとき、 $f$ に付随する $n$ 次Bernstein多項式 $B_n(f, x)$ を

$\displaystyle B_n(f, x) := \sum_{k=0}^nf\left( \frac{k}{n} \right) \binom{n}{k}x^k(1-x)^{n-k}$

と定義します。

証明

それでは、 $[0, 1]$ 上定義された連続関数 $f$ に対してWeierstrassの近似定理を証明しましょう。

Weierstrassの近似定理の証明. $\varepsilon > 0$ を固定する。 $x \in [0, 1]$ において式変形を行っていく。補題の一つ目の式より

$\displaystyle f(x) = \sum_{k=0}^{n}f(x)\binom{n}{k}x^k(1-x)^{n-k}$

なので、

$\displaystyle \left|f(x) - B_n(f, x)\right| \leq \sum_{k=0}^n\left| f(x) - f\left( \frac{k}{n}\right) \right| \binom{n}{k}x^k(1-x)^{n-k}$

を得る。 $f$ は閉区間 $[0, 1]$ で連続のため、一様連続である。すなわち、 $\delta > 0$ が存在して、

$\displaystyle \left|x-y\right| \leq \delta \Longrightarrow \left|f(x) - f(y)\right| \leq \frac{\varepsilon}{2}, \ \ x, y \in [0, 1]$

が成り立つ。これを利用して、 $|x-\frac{k}{n}| \leq \delta$ の場合と $|x-\frac{k}{n}| > \delta$ の場合に和を二つに分解して評価する。 $M:=\max_{x \in [0, 1]}|f(x)|$ とすると（ $f$ が連続なので存在する）、後者の場合は

$\displaystyle \left| f(x)-f\left( \frac{k}{n} \right) \right| \leq \frac{\left|x-\frac{k}{n}\right|^2}{\delta^2}\cdot 2M = \frac{2M(k-nx)^2}{n^2\delta^2}$

が成り立つことに注意して、

$\begin{align} \left|f(x)-B_n(f, x)\right| &\leq \sum_{\left|x-\frac{k}{n}\right|\leq \delta}\frac{\varepsilon}{2} \binom{n}{k}x^k(1-x)^{n-k}+\sum_{|x-\frac{k}{n}| > \delta}\left| f(x)-f\left( \frac{k}{n} \right) \right| \binom{n}{k}x^k(1-x)^{n-k} \\ & \leq \frac{\varepsilon}{2} + \frac{2M}{n^2\delta^2}\sum_{k=0}^n(k-nx)^2\binom{n}{k}x^k(1-x)^{n-k} \\ &= \frac{\varepsilon}{2} + \frac{2M}{n^2\delta^2}nx(1-x) \leq \frac{\varepsilon}{2} + \frac{M}{2n\delta^2}\end{align}$