2017-09-28

グリーン・タオ論文の§6を読む（その二）

後半では基本Gowers反一様関数に関する一様分布性を証明します。

定義 $\nu$ を $k$ -擬ランダム測度とする。 $\left|F(x)\right| \leq \nu(x) +1$ が任意の $x \in \mathbb{Z}_N$ に対して成り立つような関数 $F$ によって $\mathcal{D}F$ と表されるような関数のことを基本Gowers反一様関数とよぶ。

$I:=[-2^{2^{k-1}}, 2^{2^{k-1}}]$ とすると、§6(その一)の補題より、十分大きい $N$ に対して基本Gowers反一様関数は $I$ -値関数となることがわかります。

命題 (基本Gowers反一様関数に関する一様分布性, Proposition 6.2) $\nu$ を $k$ -擬ランダム測度、 $K$ を正整数、 $\Phi\colon I^K \to \mathbb{R}$ を( $N$ には依存しない)連続関数、 $\mathcal{D}F_1, \dots, \mathcal{D}F_K$ を基本Gowers反一様関数とし、 $\psi\colon \mathbb{Z}_N \to \mathbb{R}$ を

$\displaystyle \psi(x) := \Phi(\mathcal{D}F_1(x), \dots, \mathcal{D}F_K(x) ), \quad x \in \mathbb{Z}_N$

によって定義する。このとき、

$\langle \nu-1, \psi\rangle = o_{\Phi}(1)$

が成り立つ。更に、 $E \subset C^0(I^K)$ がコンパクト集合で $\Phi \in E$ であれば、 $\Phi$ について一様に

$\langle \nu-1, \psi\rangle = o_{E}(1)$

となる。ここで、 $C^0(I^K)$ は $I^K$ 上の実数値連続関数全体のなす位相空間とする*1。

この命題を証明するために、まず次の補題を用意する(基本Gowers反一様関数に関する設定は命題と同じとする)。

補題 $P$ を( $N$ には依存しない) $K$ 変数実数係数多項式とする。このとき、

$\displaystyle \left\|P(\mathcal{D}F_1, \dots, \mathcal{D}F_K)\right\|_{(U^{k-1})^{\ast}} = O_P(1)$

が成り立つ。

証明. $P(x_1, \dots, x_K)=x_1\cdots x_K$ の場合に

$\displaystyle \left\|P(\mathcal{D}F_1, \dots, \mathcal{D}F_K)\right\|_{(U^{k-1})^{\ast}} = O_K(1)$ −①

を示せば十分である。理由: ①が証明されたと仮定して、単項式 $P(x_1, \dots, x_K) = x_1^{i_1}\cdots x_K^{i_K}$ , $\ i_1+\cdots +i_K=d$ の場合を考える。

$\displaystyle P(\mathcal{D}F_1, \dots, \mathcal{D}F_K) = \underbrace{\mathcal{D}F_1 \cdots \mathcal{D}F_1}_{i_1}\cdots \cdots \cdots \underbrace{\mathcal{D}F_K \cdots \mathcal{D}F_K}_{i_K}$

とみて①を適用すれば、

$\displaystyle \left\|P(\mathcal{D}F_1, \dots, \mathcal{D}F_K)\right\|_{(U^{k-1})^{\ast}} = O_d(1)$

が得られる。これが言えれば、一般の多項式 $P$ については $\left\|\cdot \right\|_{(U^{k-1})^{\ast}}$ のノルム性質から所望の評価が得られる。

今、 $\left|F_j(x)\right| \leq \nu(x) +1 \ (1 \leq j \leq K, x \in \mathbb{Z}_N)$ という設定を考えているが、 $\left|F_j(x)\right| \leq \nu(x) \ (1 \leq j \leq K, x \in \mathbb{Z}_N)$ という設定に変更しても一般性を失わない。理由:

$\displaystyle \frac{\left|F_j(x)\right|}{2} \leq \frac{\nu(x)+1}{2} = \nu_{1/2}(x)$

なので、§3の補題より、新設定で①が証明されれば

$\displaystyle \prod_{j=1}^K\mathcal{D}F_j = (2^{2^{k-1}-1})^KO_K(1) = O_K(1)$

が得られる。

以下、新設定の元、①を証明する。Gowers反一様性ノルムの定義より、①を示すためには

$\displaystyle \langle f, \prod_{j=1}^K\mathcal{D}F_j\rangle = O_K(1)$

が任意の $f \in U^{k-1}(\mathbb{Z}_N)$ であって $\left\|f\right\|_{U^{k-1}} \leq 1$ を満たすものに対して成立することを示せばよい。 $\mathcal{D}F_j$ の定義により、 $\langle f, \prod_{j=1}^K\mathcal{D}F_j\rangle$ は

$\displaystyle \left.\mathbb{E}\Biggl(f(x)\prod_{j=1}^K\left.\mathbb{E}\Biggl(\prod_{\omega \in \{0, 1\}^{k-1}, \omega \neq 0^{k-1}}F_j(x+\omega \cdot h^{(j)}) \ \right| \ h^{(j)} \in \mathbb{Z}_N^{k-1}\Biggr) \ \right| \ x \in \mathbb{Z}_N\Biggr)$

に等しい。任意の $h \in \mathbb{Z}_N^{k-1}$ に対して上記期待値は $h^{(j)}=H^{(j)}+h, \ H^{(j)} \in \mathbb{Z}_N^{k-1}$ と変数変換することができるので、その変数変換を各 $h$ に関して施した後に平均を取ることによって、

$\displaystyle \left.\mathbb{E}\Biggl(f(x)\prod_{j=1}^K\left.\mathbb{E}\Biggl(\prod_{\omega \in \{0, 1\}^{k-1}, \omega \neq 0^{k-1}}F_j(x+\omega \cdot H^{(j)}+\omega \cdot h) \ \right| \ H^{(j)} \in \mathbb{Z}_N^{k-1}\Biggr) \ \right| \ x \in \mathbb{Z}_N, h \in \mathbb{Z}_N^{k-1}\Biggr)$

と書き直すことができる。 $j$ に関する積を展開して、和の順序を取り替えると

$\displaystyle {\small \mathbb{E}\Biggr(\left.\mathbb{E}\Biggl(f(x)\prod_{\omega \in \{0, 1\}^{k-1}, \omega \neq 0^{k-1}}\prod_{j=1}^KF_j(x+\omega \cdot H^{(j)}+\omega \cdot h) \ \right| \ x \in \mathbb{Z}_N, h \in \mathbb{Z}_N^{k-1}\Biggr) \ \Bigg| \ H^{(1)}, \dots, H^{(K)} \in \mathbb{Z}_N^{k-1}\Biggr)}$

となる。これは、 $H=(H^{(1)}, \dots, H^{(K)})$ に対して

$\begin{align} &f_{0, H}:=f, \\ &f_{\omega, H} := g_{\omega \cdot H}, \quad (\omega \neq 0^{k-1}) \\ &\omega \cdot H := (\omega \cdot H^{(1)}, \dots, \omega \cdot H^{(K)}),\\ &g_{u^{(1)}, \dots, u^{(K)}}(x) := \prod_{j=1}^KF_j(x+u^{(j)}), \quad (x, u^{(1)}, \dots, u^{(K)} \in \mathbb{Z}_N)\end{align}$

と記号を導入すると、

$\displaystyle \left.\mathbb{E}\left(\langle (f_{\omega, H})_{\omega \in \{0, 1\}^{k-1}}\rangle_{U^{k-1}} \right| H \in (\mathbb{Z}_N^{k-1})^K\right)$

とGowersノルムを用いて書き直すことができる。§5(その一)で示したGCS不等式より

$\begin{align} \left.\mathbb{E}\left(\langle (f_{\omega, H})_{\omega \in \{0, 1\}^{k-1}}\rangle_{U^{k-1}} \right| H \in (\mathbb{Z}_N^{k-1})^K\right) &\leq \left.\mathbb{E}\Biggr(\left\|f\right\|_{U^{k-1}}\prod_{\omega \in \{0, 1\}^{k-1}, \omega \neq 0^{k-1}}\left\|g_{\omega \cdot H}\right\|_{U^{k-1}} \right| H \in (\mathbb{Z}_N^{k-1})^K\Biggr) \\ &= \left\|f\right\|_{U^{k-1}}\left.\mathbb{E}\Biggr(\prod_{\omega \in \{0, 1\}^{k-1}, \omega \neq 0^{k-1}}\left\|g_{\omega \cdot H}\right\|_{U^{k-1}} \right| H \in (\mathbb{Z}_N^{k-1})^K\Biggr) \\ &\leq \left.\mathbb{E}\Biggr(\prod_{\omega \in \{0, 1\}^{k-1}, \omega \neq 0^{k-1}}\left\|g_{\omega \cdot H}\right\|_{U^{k-1}} \right| H \in (\mathbb{Z}_N^{k-1})^K\Biggr)\end{align}$

なので、

$\displaystyle \left.\mathbb{E}\Biggr(\prod_{\omega \in \{0, 1\}^{k-1}, \omega \neq 0^{k-1}}\left\|g_{\omega \cdot H}\right\|_{U^{k-1}} \right| H \in (\mathbb{Z}_N^{k-1})^K\Biggr) = O_K(1)$

を示せばよい。Hölderの不等式より

$\begin{align} &\left.\mathbb{E}\Biggr(\prod_{\omega \in \{0, 1\}^{k-1}, \omega \neq 0^{k-1}}\left\|g_{\omega \cdot H}\right\|_{U^{k-1}} \right| H \in (\mathbb{Z}_N^{k-1})^K\Biggr) \\ &\leq \prod_{\omega \in \{0, 1\}^{k-1}, \omega \neq 0^{k-1}}\left(\left.\mathbb{E}\left(\left\|g_{\omega \cdot H}\right\|_{U^{k-1}}^{2^{k-1}-1}\right| H \in (\mathbb{Z}_N^{k-1})^K\right) \right)^{\frac{1}{2^{k-1}-1}}\end{align}$

なので、各 $\omega \in \{0, 1\}^{k-1}, \omega \neq 0^{k-1}$ に対して

$\displaystyle \left.\mathbb{E}\left(\left\|g_{\omega \cdot H}\right\|_{U^{k-1}}^{2^{k-1}-1}\right| H \in (\mathbb{Z}_N^{k-1})^K\right) = O_K(1)$

を示せばよい。そこで、 $\omega \in \{0, 1\}^{k-1}, \omega \neq 0^{k-1}$ を固定する。期待値が $1$ 以下なら主張は成立し、そうでなければ、Hölderの不等式より

$\begin{align} \left.\mathbb{E}\left(\left\|g_{\omega \cdot H}\right\|_{U^{k-1}}^{2^{k-1}-1}\right| H \in (\mathbb{Z}_N^{k-1})^K\right) &\leq \left.\mathbb{E}\left(\left\|g_{\omega \cdot H}\right\|_{U^{k-1}}^{2^{k-1}-1}\right| H \in (\mathbb{Z}_N^{k-1})^K\right)^{\frac{2^{k-1}}{2^{k-1}-1}} \\ &\leq \left.\mathbb{E}\left(\left\|g_{\omega \cdot H}\right\|_{U^{k-1}}^{2^{k-1}}\right| H \in (\mathbb{Z}_N^{k-1})^K\right)\end{align}$

なので、

$\displaystyle \left.\mathbb{E}\left(\left\|g_{\omega \cdot H}\right\|_{U^{k-1}}^{2^{k-1}}\right| H \in (\mathbb{Z}_N^{k-1})^K\right) = O_K(1)$

を示せばよい。 $H \mapsto \omega \cdot H$ は $\mathbb{Z}_N^K$ の $(\mathbb{Z}_N^{k-1})^K$ による一様被覆である。理由: この写像は $\varphi_j\colon H^{(j)} \mapsto \omega \cdot H^{(j)}$ の直積写像であり、 $\omega \neq 0^{k-1}$ であることから各 $\varphi_j$ の各点でのファイバーの元の個数は $N^{k-2}$ であり、考えている写像の各ベクトルにおけるファイバーの元の個数は $(N^{k-2})^K$ である。

従って、§1, 4の補題より

$\displaystyle \left.\mathbb{E}\left(\left\|g_{\omega \cdot H}\right\|_{U^{k-1}}^{2^{k-1}}\right| H \in (\mathbb{Z}_N^{k-1})^K\right) = \left.\mathbb{E}\left(\left\|g_{u^{(1)}, \dots, u^{(K)}}\right\|_{U^{k-1}}^{2^{k-1}}\right| u^{(1)}, \dots, u^{(K)} \in \mathbb{Z}_N\right)$

を得る( $\omega$ 依存がなくなっている)。Gowers一様性ノルムと $g_{u^{(1)}, \dots, u^{(K)}}$ の定義より、これは

$\displaystyle \left.\mathbb{E}\Biggl( \prod_{\widetilde{\omega}\in \{0, 1\}^{k-1}}\prod_{j=1}^KF_j(x+u^{(j)}+h\cdot \widetilde{\omega}) \ \right| \ x, u^{(1)}, \dots, u^{(K)} \in \mathbb{Z}_N, h \in \mathbb{Z}_N^{k-1}\Biggr)$

に等しく、

$\displaystyle \left.\mathbb{E}\Biggl( \prod_{j=1}^K\left.\mathbb{E}\Biggl(\prod_{\widetilde{\omega}\in\{0, 1\}^{k-1}}F_j(x+u^{(j)}+h\cdot \widetilde{\omega}) \ \right| \ u^{(j)} \in \mathbb{Z}_N \Biggr) \ \right| \ x \in \mathbb{Z}_N, h \in \mathbb{Z}_N^{k-1}\Biggr)$

と変形できる。今、 $\left|F_j(x)\right| \leq \nu(x)$ と仮定しているので、三角不等式より

$\begin{align} &\left|\left.\mathbb{E}\Biggl( \prod_{j=1}^K\left.\mathbb{E}\Biggl(\prod_{\widetilde{\omega}\in\{0, 1\}^{k-1}}F_j(x+u^{(j)}+h\cdot \widetilde{\omega}) \ \right| \ u^{(j)} \in \mathbb{Z}_N \Biggr) \ \right| \ x \in \mathbb{Z}_N, h \in \mathbb{Z}_N^{k-1}\Biggr)\right| \\ &\leq \left.\mathbb{E}\Biggl( \left.\mathbb{E}\Biggl(\prod_{\widetilde{\omega}\in\{0, 1\}^{k-1}}\nu(x+u+h\cdot \widetilde{\omega}) \ \right| \ u \in \mathbb{Z}_N \Biggr)^K \ \right| \ x \in \mathbb{Z}_N, h \in \mathbb{Z}_N^{k-1}\Biggr)\end{align}$

と評価できる。 $y=x+u$ と変数変換することにより $x$ に関する平均は消すことが出来るので、

$\displaystyle \left.\mathbb{E}\Biggl( \left.\mathbb{E}\Biggl(\prod_{\widetilde{\omega}\in\{0, 1\}^{k-1}}\nu(y+h\cdot \widetilde{\omega}) \ \right| \ y \in \mathbb{Z}_N \Biggr)^K \ \right| \ h \in \mathbb{Z}_N^{k-1}\Biggr) =O_K(1)$

を示せばよい。さて、 $\nu$ が $2^{k-1}$ -相関条件を満たすことから、任意の $1 \leq q < \infty$ に対して

$\mathbb{E}(\tau^q)=O_q(1)$ −②

を満たすような $\tau \colon \mathbb{Z}_N \to \mathbb{R}^+$ が存在して

$\displaystyle \left.\mathbb{E}\Biggl(\prod_{\widetilde{\omega} \in \{0, 1\}^{k-1}}\nu(y+h\cdot \widetilde{\omega}) \ \right| \ y \in \mathbb{Z}_N\Biggr) \leq \sum_{\substack{\widetilde{\omega}, \widetilde{\omega}' \in \{0, 1\}^{k-1} \\ \widetilde{\omega} \neq \widetilde{\omega}'}}\tau(h\cdot (\widetilde{\omega}-\widetilde{\omega}') )$

が成り立つので、Minkowskiの不等式より

$\begin{align} &\left.\mathbb{E}\Biggl( \left.\mathbb{E}\Biggl(\prod_{\widetilde{\omega}\in\{0, 1\}^{k-1}}\nu(y+h\cdot \widetilde{\omega}) \ \right| \ y \in \mathbb{Z}_N \Biggr)^K \ \right| \ h \in \mathbb{Z}_N^{k-1}\Biggr) \\ &\leq \mathbb{E}\Biggl(\Biggl(\sum_{\substack{\widetilde{\omega}, \widetilde{\omega}' \in \{0, 1\}^{k-1} \\ \widetilde{\omega} \neq \widetilde{\omega}'}}\tau(h\cdot (\widetilde{\omega}-\widetilde{\omega}') )\Biggr)^K \ \Bigg| \ h \in \mathbb{Z}_N^{k-1}\Biggr) \\ &\leq \Biggl(\sum_{\substack{\widetilde{\omega}, \widetilde{\omega}' \in \{0, 1\}^{k-1} \\ \widetilde{\omega} \neq \widetilde{\omega}'}} \left.\mathbb{E}\left(\tau (h\cdot (\widetilde{\omega}-\widetilde{\omega}') )^K \ \right| \ h \in \mathbb{Z}_N^{k-1}\right)^{\frac{1}{K}}\Biggr)^K\end{align}$

を得る。よって、相異なる $\widetilde{\omega}, \widetilde{\omega}' \in \{0, 1\}^{k-1}$ に対して

$\displaystyle \left.\mathbb{E}\left(\tau (h\cdot (\widetilde{\omega}-\widetilde{\omega}') )^K \right| h \in \mathbb{Z}_N^{k-1}\right) = O_K(1)$

を示せばよい。 $h \mapsto h\cdot (\widetilde{\omega}-\widetilde{\omega}')$ は $\mathbb{Z}_N$ の $\mathbb{Z}_N^{k-1}$ による一様被覆なので、§1, 4の補題と②より

$\displaystyle \left.\mathbb{E}\left(\tau (h\cdot (\widetilde{\omega}-\widetilde{\omega}') )^K \right| h \in \mathbb{Z}_N^{k-1}\right) = \mathbb{E}(\tau^K) = O_K(1)$

が成り立つ。以上で証明が完了する。 Q.E.D.

命題の証明

$\varepsilon > 0$ を任意にとる。 $\Phi$ がコンパクト集合 $I^K \subset \mathbb{R}^K$ 上定義される連続関数なのでWeierstrassの多項式近似定理より、 $\Phi$ と $\varepsilon$ にのみ依存する $K$ 変数実数係数多項式 $P$ が存在して

$\displaystyle \left\|\Phi(\mathcal{D}F_1, \dots, \mathcal{D}F_K)-P(\mathcal{D}F_1, \dots, \mathcal{D}F_K)\right\|_{L^{\infty}} \leq \varepsilon$

が成り立つ。このとき、

$\displaystyle \left|\langle \nu-1, \Phi(\mathcal{D}F_1, \dots, \mathcal{D}F_K)-P(\mathcal{D}F_1, \dots, \mathcal{D}F_K)\rangle\right| \leq (2+o(1) )\varepsilon.$

理由: $G:=\Phi(\mathcal{D}F_1, \dots, \mathcal{D}F_K)-P(\mathcal{D}F_1, \dots, \mathcal{D}F_K)$ と略記すれば

$\displaystyle \left|\langle\nu-1, G\rangle\right| = \left|\mathbb{E}( (\nu-1)G)\right| \leq \mathbb{E}(\left|\nu-1\right| \cdot \left|G\right|) \leq \mathbb{E}(\left|\nu-1\right|)\left\|G\right\|_{L^{\infty}}$

と計算できる。測度の定義より

$\displaystyle \mathbb{E}(\left|\nu-1\right|) \leq \mathbb{E}(\nu+1)=\mathbb{E}(\nu)+1=2+o(1)$

なので、 $\left\|G\right\|_{L^{\infty}}\leq \varepsilon$ と合わせて所望の不等式が得られる。

多項式 $P$ について

$\displaystyle \langle \nu-1, P(\mathcal{D}F_1, \dots, \mathcal{D}F_K)\rangle = o_{\Phi, \varepsilon}(1)$

が成り立つ。理由: §6(その一)の命題１、§5(その一)の補題３、この記事で示した補題より

$\displaystyle \left|\langle\nu-1, P(\mathcal{D}F_1, \dots, \mathcal{D}F_K)\rangle\right| \leq \left\|\nu-1\right\|_{U^{k-1}}\cdot \left\|P(\mathcal{D}F_1, \dots, \mathcal{D}F_K)\right\|_{(U^{k-1})^{\ast}} = o(1)\cdot O_P(1) = o_P(1)$

と評価でき、 $P$ が $\Phi, \varepsilon$ のみに依存することから所望の漸近公式が得られる。

従って、 $N$ が $\Phi, \varepsilon$ のみに依存して十分大きければ

$\begin{align} \left|\langle \nu-1, \psi\rangle\right| &\leq \left|\langle \nu-1, P(\mathcal{D}F_1, \dots, \mathcal{D}F_K)\rangle\right| + \left|\langle \nu-1, \psi-P(\mathcal{D}F_1, \dots, \mathcal{D}F_K)\rangle\right| \\ &\leq o_{\Phi, \varepsilon}(1)+(2+o(1) )\varepsilon \leq 3\varepsilon\end{align}$

と評価でき、これは

$\left|\langle\nu-1, \psi\rangle\right| = o_{\Phi}(1)$

を示している。次に、コンパクト集合 $E \subset C^0(I^K)$ をとって、 $\Phi \in E$ の場合を考える。 $\varepsilon > 0$ を任意にとる。 $E$ がコンパクトであることから、 $E$ と $\varepsilon$ のみに依存して正整数 $n$ 及び $\Phi_1, \dots, \Phi_n \in E$ が存在して、 $C^0(I^K)$ における $\Phi_i$ を中心とする半径 $\varepsilon$ の開円板を $C_i$ とすれば、 $E$ は $C_1, \dots, C_n$ で被覆される。よって、或る $1 \leq i \leq n$ が存在して $\Phi \in C_i$ であり、

$\left\|\Phi - \Phi_i\right\|_{L^{\infty}} < \varepsilon$

が成り立つ。 $\psi_i:=\Phi_i(\mathcal{D}F_1, \dots, \mathcal{D}F_K)$ とすれば、前半の議論により

$\displaystyle \left|\langle\nu-1, \psi_i\rangle\right| = o_{\Phi_i}(1) = o_E(1)$

が成り立つので、 $N$ が $E, \varepsilon$ のみに依存して十分大きければ

$\displaystyle \left|\langle \nu-1, \psi\rangle \right| \leq \left|\langle \nu-1, \psi_i\rangle\right| + \left|\langle \nu-1, \psi-\psi_i\rangle\right| \leq o_{E}(1) + (2+o(1) )\varepsilon \leq 3\varepsilon$