部分分数分解

何度でも言いたくなる魔法の言葉「ぶぶんぶんすうぶんかい」

補題１ $K$ を体とし、 $f(x), g(x) \in K[x]$ とする。互いに素な多項式 $g_1(x), g_2(x) \in K[x]$ によって $g(x)=g_1(x)g_2(x)$ と分解されているならば、 $f_1(x), \ f_2(x) \in K[x]$ が存在して、 $K(x)$ において

$\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f_1(x)}{g_1(x)}+\frac{f_2(x)}{g_2(x)}$

が成り立つ。

証明. $g_1(x), g_2(x)$ が互いに素であることから、 $r(x), s(x) \in K[x]$ が存在して

$r(x)g_1(x)+s(x)g_2(x)=1$

が成り立つので、 $f_1(x):=f(x)s(x), \ f_2(x):=f(x)r(x)$ とおけばよい。 Q.E.D.

系１ $K$ を体とし、 $f(x), g(x) \in K[x]$ とする。どの二つをとっても互いに素であるような多項式 $g_1(x), \dots, g_n(x) \in K[x]$ によって $g(x) = \prod_{i=1}^ng_i(x)$ と分解されているならば、 $\widetilde{f}(x), f_1(x), \dots, f_n(x) \in K[x]$ が存在して、 $K(x)$ において

$\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}=\widetilde{f}(x)+\sum_{i=1}^n\frac{f_i(x)}{g_i(x)},\quad \deg f_i(x) < \deg g_i(x)$

が成り立つ。

証明. 仮定より例えば $g_1(x)\cdots g_{n-1}(x)$ と $g_n(x)$ は互いに素であり、数学的帰納法によって補題１を $g(x)=\prod_{i=1}^ng_i(x)$ の場合に拡張できる。最後に各 $g_i(x)$ で割り算を実行すればよい。 Q.E.D.

補題２ $K$ を体とし、 $f(x), g(x) \in K[x]$ とする。正整数 $e$ に対して $\deg f(x) < e\deg g(x)$ であれば、 $f_1(x), \dots, f_e(x) \in K[x]$ が存在して、 $K(x)$ において

$\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)^e}=\sum_{j=1}^e\frac{f_j(x)}{g(x)^j},\quad \deg f_j(x) < \deg g(x)$

が成り立つ。

証明. 互除法で証明できる:

$f(x)=f_1(x)g(x)^{e-1}+r_1(x),\quad \deg r_1(x) < (e-1)\deg g(x)$

$r_1(x)=f_2(x)g(x)^{e-2}+r_2(x),\quad \deg r_2(x) < (e-2)\deg g(x)$

$\cdots$

$r_{e-3}(x)=f_{e-2}(x)g(x)^{2}+r_{e-2}(x),\quad \deg r_{e-2}(x) < 2\deg g(x)$

$r_{e-2}(x)=f_{e-1}(x)g(x)+f_{e}(x),\quad \deg f_{e}(x) < \deg g(x)$

を組み合わせればよい。 Q.E.D.

系１と補題２より次が得られます：

定理 (部分分数分解) $K$ を体とし、 $f(x), g(x) \in K[x]$ とする。相異なる既約多項式 $p_1(x), \dots, p_n(x) \in K[x]$ と正整数 $e_1, \dots, e_n$ によって $g(x) = \prod_{i=1}^np_i(x)^{e_i}$ と分解されているならば、多項式 $\widetilde{f}(x), f_{i, j}(x) \in K[x]$ が存在して( $1 \leq i \leq n, 1 \leq j \leq e_i$ )、 $K(x)$ において

$\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)} = \widetilde{f}(x) + \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^{e_i}\frac{f_{i, j}(x)}{p_i(x)^j},\quad \deg f_{i, j}(x) < \deg p_i(x)$

が成り立つ。