高木貞治の論文"Zur Theorie der natürlichen Zahlen"を読む

高木貞治博士の論文を読むシリーズ第二弾です。第一弾は

integers.hatenablog.com

でした。今回は高木博士が50代後半の時に出版された論文

Teiji Takagi, Zur Theorie der natürlichen Zahlen, Proceedings of the Imperial Academy of Japan, Vol. 7, (1931), 29-30.

を読みます。

極めて短い論文ですが、要約すると「自然数について、加法の存在性定理を導いてしまえば帰納法なしに結合法則および交換法則を証明できる」という内容だと思いました。もちろん、存在性定理の証明には帰納法の公理を使いますが。

ちなみに、最近は自然数に $0$ を含めるのが主流だと思われますが、Peanoや高木博士は $1$ から始めています。

本論

Peanoの公理を思い出す:

$1$ は自然数である。
自然数 $x$ に対して、次の自然数 $x'$ が唯一つ存在する。
各自然数 $x$ に対して、 $1\neq x'$ である。
$x'=y'$ であれば $x=y$ である。
自然数の集合が $1$ を含み、自然数 $x$ を含むときは $x'$ を含むのであれば、その集合は自然数全体の集合である。

$F(x)=x'$ という関数( $\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ )は $F(x')=F(x)'$ なる関数等式を満たしているが、逆にこの関数等式を満たすような関数 $F(x)$ を全て決定したい。

$F(1)=1$ を仮定した場合は、 $F(x)=x$ である。理由: $F(x)=x$ が所望の関数等式および $F(1)=1$ を満たすことは明らか。逆に、関数等式および $F(1)=1$ を満たす関数 $F$ があったと仮定する。(一つの)自然数 $x$ に対して、 $F(x)=x$ が成り立つと仮定する。このとき、 $F(x')=F(x)'=x'$ が成り立つので、公理5. より全ての自然数 $x$ に対して $F(x)=x$ が成り立つ。

このケースを除くために、自然数 $a$ に対して $F(1)=a'$ であるとする(公理3.)。これを今後 $F_a(x)$ と表す。すなわち、

$F_a(1)=a',\quad F_a(x')=(F_a(x) )'. \tag{1}$

定理 (1)を満たすような関数 $F_a(x)$ が唯一つ存在する。

証明. 一意性は公理5. より明らか。存在性を $a$ に関する帰納法で証明する。 $a=1$ のとき、 $F_1(x):=x'$ が(1)を満たす。実際、

$F_1(1)=1',\quad F_1(x')=(x')'=(F_1(x) )'$

である。次に、 $F_a(x)$ が存在すると仮定する。 $p=a'$ とするとき、 $F_p(x):=F_a(x')$ が(1)を満たす。実際、

$\begin{align}F_p(1)&=F_a(1')=(F_a(1) )'=(a')'=p',\\ F_p(x') &= F_a((x')')=(F_a(x') )'=(F_p(x) )'\end{align}$

である。 Q.E.D.

証明から次がわかる。

系 $F_a(x)$ は

$F_1(x)=x',\quad F_{a'}(x)=F_a(x') \tag{2}$

を満たす。

さて、 $\varphi(x):=F_b(F_a(x) )$ とおこう。(1)より

$\begin{align}\varphi(1)&=F_b(F_a(1) )=F_b(a')=(F_b(a) )', \\ \varphi(x') &= F_b(F_a(x') )=F_b( (F_a(x) )')=(F_b(F_a(x) ) )'=(\varphi(x) )'\end{align}$