代数的数の加減乗除

定義零でない有理数係数一変数多項式の根となるような複素数のことを代数的数とよぶ。代数的数 $\alpha$ について、 $\alpha$ を根に持つ零でない有理数係数一変数多項式の中で次数が最小でモニックなものを $\alpha$ の最小多項式といい、 $\alpha$ の最小多項式の次数を $\alpha$ の次数とよぶ。

定理 $\alpha, \beta$ を代数的数とする。このとき、 $\alpha+\beta$ と $\alpha\beta$ はともに代数的数である。また、 $\beta\neq0$ であれば $\beta^{-1}$ も代数的数である。

証明. $\alpha, \beta$ ともに零でない場合を考えれば十分である。 $\alpha$ , $\beta$ の次数をそれぞれ $n, m\geq 1$ とし、 $\gamma$ を $\alpha+\beta$ または $\alpha\beta$ とする。

$A:=\{\alpha^i\beta^j \mid 0\leq i\leq n-1, 0\leq j \leq m-1\} = \{\gamma_1, \dots, \gamma_N\}$

とするとき、 $\alpha, \beta$ の最小多項式を利用して次数下げすることによって、任意の $A$ の元 $\gamma_l$ に対して $\gamma\gamma_l$ は $A$ の元の整数係数一次結合で表せることがわかる。 $1\leq k\leq N$ に対して $\gamma\gamma_k=\sum_{l=1}^{N}c_{k,l}\gamma_l$ と有理数 $c_{k,l}$ を用いて表示すると、縦ベクトル $\Gamma={}^t(\gamma_1, \dots, \gamma_{N}) \neq 0$ と行列 $C:=(c_{k,l})_{1\leq k, l \leq N}$ に対して $C\Gamma=\gamma\Gamma$ が成り立つ。 $\Gamma\neq 0$ より