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INTEGERS

数、特に整数に関する記事。

調和級数と優収束定理

f_n\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}f_n:=\frac{1}{n}\mathbf{1}_{[0,n)}で定義する. ここで, \mathbf{1}_Aは集合Aの指示関数を表す. (f_n)_{n\in\mathbb{Z}_{>0}}は定数関数0に各点収束する.

調和級数\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}が有限値 H に収束したと仮定する.

関数 g\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}\displaystyle g(x):=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\mathbf{1}_{[n-1,n)}(x)で定義すると, 任意の正整数nと実数xに対して|f_n(x)|\leq g(x)が成り立っており, 更に g(x)は可積分関数である: \displaystyle \int_{\mathbb{R}}g(x)\mathrm{d}x=H.

よって, Lebesgueの優収束定理によって

\displaystyle \int_{\mathbb{R}}\lim_{n\to\infty}f_n(x)\mathrm{d}x=\int_{\mathbb{R}}0 \ \mathrm{d}x=0

\displaystyle \lim_{n\to\infty}\int_{\mathbb{R}}f_n(x)\mathrm{d}x=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\times n=1

は等しい.