2017-09-18

タオのセメレディ論文の§6を読む (その二)

この記事では、一様概周期関数に対して良い振る舞いをする $\mathbb{Z}_N$ 上の $\sigma$ -加法族の存在を示します。

命題 (Proposition 6.2) $G$ を一様概周期関数*1とし、 $\varepsilon > 0$ とする。このとき、 $G$ と $\varepsilon$ のみに依存する $\sigma$ -加法族 $\mathcal{B}_{\varepsilon}(G)$ が存在して、 $G \in UAP^d$ となる任意の非負整数 $d$ と $\left\|G\right\|_{UAP^d} \leq M$ なる任意の実数 $M > 0$ に対して

$\mathcal{B}_{\varepsilon}(G)$ のアトムの個数は高々 $O_{M, \varepsilon}(1)$ 個
任意の $\mathbb{Z}_N$ 上の $\sigma$ -加法族 $\mathcal{B}$ に対して $\left\|G-\left.\mathbb{E}(G\right|\mathcal{B}_{\varepsilon}(G)\vee\mathcal{B})\right\|_{L^{\infty}} \ll \varepsilon$
任意の非負値有界 $\mathcal{B}_{\varepsilon}(G)$ -可測関数 $\ f$ と任意の $0 < \delta \leq 1$ に対して非負値有界関数 $f_{UAP} \in UAP^d$ が存在して、

$\left\|f-f_{UAP}\right\|_{L^2} \leq \delta$
$\left\|f_{UAP}\right\|_{UAP^d} \ll_{M, \varepsilon, \delta} 1$

が成立する。

証明. まず、 $\sigma$ -加法族 $\mathcal{B}_{\varepsilon}(G)$ の候補を定義する。 $S$ を単位正方形

$\displaystyle S:=\left\{z \in \mathbb{C} \left| -\frac{1}{2} \leq \mathrm{Re}(z), \ \mathrm{Im}(z) < \frac{1}{2} \right\}\right.$

とし、 $\mathbb{Z}[i]$ をGauss整数環とする。 $\alpha \in S$ 毎に候補 $\sigma$ -代数 $\mathcal{B}_{\varepsilon, \alpha}(G)$ を

$\displaystyle \mathrm{Atom}(\mathcal{B}_{\varepsilon, \alpha}(G)):=\left\{G^{-1}\left.\left(\varepsilon(S+\zeta+\alpha)\right) \neq \emptyset \right|\zeta\in\mathbb{Z}[i]\right\}$

をそのアトムの集合として定義する。well-defined性: アトムの集合として適切かどうかを確認する必要がある(すなわち、 $\mathbb{Z}_N$ の分割になっていなければならない)。複素平面のタイル張り

$\displaystyle \mathbb{C} = \bigsqcup_{\zeta \in \mathbb{Z}[i]}\varepsilon (S+\zeta+\alpha)$

があるので、 $\mathbb{Z}_N$ の任意の元は $\mathrm{Atom}(\mathcal{B}_{\varepsilon, \alpha}(G))$ のいずれかの元に属する。また、 $\mathrm{Atom}(\mathcal{B}_{\varepsilon, \alpha}(G))$ の元はどの二つも共通部分を持たない。実際、 $s_1, s_2 \in S,$ $\zeta_1, \zeta_2 \in \mathbb{Z}[i]$ が存在して

$\varepsilon(s_1+\zeta_1+\alpha) =\varepsilon(s_2+\zeta_2+\alpha)$

となるのは $s_1-s_2=\zeta_2-\zeta_1$ が成り立つときのみであり、それは $s_1=s_2, \zeta_1=\zeta_2$ を意味する(つまり、殆どの $\zeta \in \mathbb{Z}[i]$ に対して $G^{-1}\left( \varepsilon(S+\zeta+\alpha)\right)$ は空集合)。

$\mathcal{B}_{\varepsilon, \alpha}(G)$ は $G, \varepsilon, \alpha$ のみに依存して定義されているので、 $G, \varepsilon$ のみに依存する $\alpha$ が存在して、 $\mathcal{B}_{\varepsilon, \alpha}(G)$ が $G \in UAP^d$ となる非負整数 $d$ と $\left\|G\right\|_{UAP^d} \leq M$ なる実数 $M > 0$ に対して諸性質を満たすことを示せばよい。以下、 $d, M$ を固定する。まず、 $\alpha$ の選択に依らずに成立する性質を示していく。

任意の $\alpha \in S$ と $\mathbb{Z}_N$ 上の $\sigma$ -加法族 $\mathcal{B}$ に対して

$\displaystyle \left\|G-\left.\mathbb{E}(G\right|\mathcal{B}_{\varepsilon, \alpha}(G)\vee\mathcal{B})\right\|_{L^{\infty}} \ll \varepsilon$

が成立する。理由: 任意の $x \in \mathbb{Z}_N$ に対して

$G(x)-\mathbb{E}\left(\left.G\right|\mathcal{B}_{\varepsilon, \alpha}(G)\vee\mathcal{B}\right)(x)= O(\varepsilon)$

を示せばよい(勿論 $O$ の係数は $x$ や $\alpha$ に依らない絶対定数)。 $x$ を含むアトムを考えると、或る $\zeta_x \in \mathbb{Z}[i]$ が存在して

$\displaystyle (\mathcal{B}_{\varepsilon, \alpha}(G) \vee \mathcal{B})(x) \subset \mathcal{B}_{\varepsilon, \alpha}(G)(x) = G^{-1}\left(\varepsilon(S+\zeta_x+\alpha)\right)$

という状況になっている。よって、 $(\mathcal{B}_{\varepsilon, \alpha}(G) \vee \mathcal{B})(x) =\{x_1=x, x_2, \dots, x_n\}$ とすると

$\displaystyle \mathbb{E}\left(\left.G\right|\mathcal{B}_{\varepsilon, \alpha}(G)\vee\mathcal{B}\right)(x) = \frac{G(x_1)+\cdots +G(x_n)}{n}$

であり、各 $x_i$ に対して

$G(x_i) = \varepsilon(\zeta_x+\alpha) + O(\varepsilon)$

である( $S$ は原点中心の単位正方形であった)。従って、

$\displaystyle G(x)-\mathbb{E}\left(\left.G\right|\mathcal{B}_{\varepsilon, \alpha}(G)\vee\mathcal{B}\right)(x)=\varepsilon(\zeta_x+\alpha)+O(\varepsilon)-\frac{\sum_{j=1}^n\left\{\varepsilon(\zeta_x+\alpha)+O(\varepsilon)\right\}}{n} = O(\varepsilon)$

を得る。

また、仮定より $\left\|G\right\|_{L^{\infty}} \leq \left\|G\right\|_{UAP^d} \leq M$ なので、 $G$ の値域は原点中心半径 $M$ の閉円板に含まれる。この閉円板と交わりを持つようなタイル $\varepsilon(S+\zeta+\alpha) \ (\zeta \in \mathbb{Z}[i])$ の個数は高々 $O_{M, \varepsilon}(1)$ 個しかない( $\alpha \in S$ なので $\alpha$ に依らない量で押さえられる)。よって、

$\displaystyle \#\mathrm{Atom}(\mathcal{B}_{\varepsilon, \alpha}(G)) \leq O_{M, \varepsilon}(1)$ −①

とアトムの個数が上から押さえられる。

つまり、どの $\alpha \in S$ に対する候補 $\sigma$ -加法族 $\mathcal{B}_{\varepsilon, \alpha}(G)$ も示すべき三つの条件のうち最初の二つを満足する構成となっていることがわかった。三つ目の条件についてはそうはいかない。これから三つ目の条件を満たすような( $G$ と $\varepsilon$ のみから決まる) $\alpha \in S$ の存在を示すが、まず次のような帰着を行う：

帰着

三つ目の条件は任意の非負値有界 $\mathcal{B}_{\varepsilon, \alpha}(G)$ -可測関数 $\ f$ と任意の $0 < \delta \leq 1$ に関する主張であるが、 $f$ としては任意の $\Omega \in \mathrm{Atom}(\mathcal{B}_{\varepsilon, \alpha}(G))$ に対する特性関数 $\mathbf{1}_{\Omega}$ について示せば十分である。

理由: 固定した $\alpha \in S$ に対して、特性関数の場合に限定した三つ目の条件が成立すると仮定する。任意の非負値有界 $\mathcal{B}_{\varepsilon, \alpha}(G)$ -可測関数 $\ f$ は

$\displaystyle f=\sum_{\Omega \in \mathrm{Atom}(\mathcal{B}_{\varepsilon, \alpha}(G))}c_{\Omega}\mathbf{1}_{\Omega}, \quad (0\leq c_{\Omega} \leq 1)$

と書ける。この $f$ と $\delta > 0$ に対して三つ目の条件の1. 2. が成立することを確認する。既に示したことによって $M$ と $\varepsilon$ のみから定まる定数 $c(M, \varepsilon) > 0$ が存在して、

$\displaystyle \#\mathrm{Atom}(\mathcal{B}_{\varepsilon, \alpha}(G)) \leq c(M, \varepsilon)$

が成り立つ。 $\Omega \in \mathrm{Atom}(\mathcal{B}_{\varepsilon, \alpha}(G))$ に対する $\mathbf{1}_{\Omega}$ と $\frac{\delta}{2c(M, \varepsilon)} > 0$ に対して、仮定より非負値有界関数 $g_{UAP}^{(\Omega)} \in UAP^d$ が存在して、

$\displaystyle \left\|\mathbf{1}_{\Omega}-g_{UAP}^{(\Omega)}\right\|_{L^2} \leq \frac{\delta}{2c(M, \varepsilon)}, \quad \left\|g_{UAP}^{(\Omega)}\right\|_{UAP^d} \ll_{M, \varepsilon, \delta} 1$

が成立する。このとき、

$\displaystyle \widetilde{f}_{UAP} := \sum_{\Omega \in \mathrm{Atom}(\mathcal{B}_{\varepsilon, \alpha}(G))}c_{\Omega}g_{UAP}^{(\Omega)}$

とすれば $UAP^d$ がベクトル空間であることから $\widetilde{f}_{UAP} \in UAP^d$ であり、ノルムの斉次性および三角不等式から

$\displaystyle \left\|f-\widetilde{f}_{UAP}\right\|_{L^2} \leq \sum_{\Omega \in \mathrm{Atom}(\mathcal{B}_{\varepsilon, \alpha}(G))}c_{\Omega}\left\|\mathbf{1}_{\Omega}-g_{UAP}^{(\Omega)}\right\|_{L^2} \leq \#\mathrm{Atom}(\mathcal{B}_{\varepsilon, \alpha}(G))\cdot \frac{\delta}{2c(M, \varepsilon)} \leq \frac{\delta}{2},$

$\displaystyle \left\|\widetilde{f}_{UAP}\right\|_{UAP^d} \leq \sum_{\Omega \in \mathrm{Atom}(\mathcal{B}_{\varepsilon, \alpha}(G))}c_{\Omega}\left\|g_{UAP}^{(\Omega)}\right\|_{UAP^d} \leq \sum_{\Omega \in \mathrm{Atom}(\mathcal{B}_{\varepsilon, \alpha}(G))}O_{M, \varepsilon, \delta}(1) = O_{M, \varepsilon, \delta}(1)$

が成り立つ。しかし、この $\widetilde{f}_{UAP}$ は非負値ではあるが、有界性は保証されていない。①より $\widetilde{f}_{UAP}$ の値域は或る閉区間 $I_{M, \varepsilon}=[0, O_{M, \varepsilon}(1)]$ に含まれている。ここで、 $M, \varepsilon, \delta$ のみから定まる多項式 $P_{M, \varepsilon, \delta}(x) \in \mathbb{R}[x]$ であって、

$\displaystyle \sup_{x \in I_{M, \varepsilon}}\left|P_{M, \varepsilon, \delta}(x) - \min\{x, 1\}\right| \leq \frac{\delta}{2}, \quad 0 \leq P_{M, \varepsilon, \delta}(x) \leq 1 \quad \text{on} \ I_{M, \varepsilon}$

を満たすようなものが存在することに注意する。これは、連続関数

$\displaystyle \left(1-\frac{\delta}{2}\right) \min\{x, 1\}+\frac{\delta}{4} \colon I_{M, \varepsilon} \to \left[\frac{\delta}{4}, 1-\frac{\delta}{4}\right]$

に対してWeierstrassの多項式近似定理を用いて

$\displaystyle \sup_{x \in I_{M, \varepsilon}}\left|P_{M, \varepsilon, \delta}(x) - \left(1-\frac{\delta}{2}\right) \min\{x, 1\}-\frac{\delta}{4}\right| \leq \frac{\delta}{4}$

なる多項式を取れることからわかる。この多項式を使って、 $f_{UAP}:=P_{M, \varepsilon, \delta}(\widetilde{f}_{UAP})$ と定義する。すると、これは非負値有界関数になっていて、 $UAP^d$ は $\mathbb{Z}_N$ 上の関数達のなすBanach代数なので $f_{UAP} \in UAP^d$ であり、Banach代数のノルムに関する種々の性質から

$\displaystyle \left\|f_{UAP}\right\|_{UAP^d} = O_{M, \varepsilon, \delta}(1)$

が成り立つ。定義の仕方から

$\displaystyle \left\|f_{UAP}-\min\{\widetilde{f}_{UAP}, 1\}\right\|_{L^2} \leq \frac{\delta}{2}.$

$f$ は非負値有界関数であることから、 $\min\{\widetilde{f}_{UAP}(x), 1\}=1$ のときは

$\displaystyle \left|f(x)-\min\{\widetilde{f}_{UAP}(x), 1\}\right| = 1-f(x) \leq \widetilde{f}_{UAP}(x)-f(x)$

なので、

$\displaystyle \left\|f-\min\{\widetilde{f}_{UAP}, 1\}\right\|_{L^2} \leq \left\|f-\widetilde{f}_{UAP}\right\|_{L^2} \leq \frac{\delta}{2}.$

すなわち、

$\displaystyle \left\|f-f_{UAP}\right\|_{L^2} \leq \left\|f-\min\{\widetilde{f}_{UAP}, 1\}\right\|_{L^2}+\left\|f_{UAP}-\min\{\widetilde{f}_{UAP}, 1\}\right\|_{L^2} \leq\delta$

が成り立つ。

パラメータを固定した議論

帰着された主張を証明するために $\alpha \in S, \ \Omega \in \mathrm{Atom}(\mathcal{B}_{\varepsilon, \alpha}(G)), \ 0 < \delta \leq 1$ を固定する。更に、新しいパラメータ $0 < \eta < 1$ をとって固定する。

定義より $\Omega$ に対して $\zeta \in \mathbb{Z}[i]$ が存在して $\Omega = G^{-1}\left(\varepsilon(S+\zeta+\alpha)\right)$ と書ける。この $\zeta$ に対して $W:=S+\zeta \subset \mathbb{C}$ とする。このとき、

$\displaystyle \mathbf{1}_{\Omega} = \mathbf{1}_W\circ \left( \varepsilon^{-1}G-\alpha\right)$

である(合成関数 $\mathbb{Z}_N \xrightarrow{\varepsilon^{-1}G-\alpha} \mathbb{C} \xrightarrow{\mathbf{1}_W}\mathbb{C}$ )。理由: $x \in \Omega$ となるための必要十分条件は $G(x) \in \varepsilon(S+\zeta+\alpha)$ であり、これは $\varepsilon^{-1}G(x)-\alpha \in S+\zeta=W$ と同値である。

ここで、 $0 < \sigma \ll 1$ をとる(後に $\delta$ に依存して指定する小さい数)。 $\partial W$ を $W$ の境界とし、 $\partial W_{\sigma}$ を $\partial W$ の $\sigma$ -近傍とする。つまり、 $z \in \mathbb{C}$ に対して

$B_{\sigma}(z):=\{w \in \mathbb{C} \mid \left|w-z\right| < \sigma\}$

とするとき

$\displaystyle \partial W_{\sigma} := \bigcup_{z \in \partial W}B_{\sigma}(z).$

ここで、位相空間論において基本的であるUrysohnの補題を思い出す:

Urysohnの補題 $X$ を正規空間とする。 $A, B$ が互いに素な $X$ の閉集合であれば、 $x \in A$ に対しては $f(x) = 1$ , $x \in B$ に対しては $f(x)=0$ となるような連続関数 $f \colon X \to [0, 1]$ が存在する。

$X=\mathbb{C}$ とし、 $\partial W_{\sigma}$ の $\mathbb{C}$ における補集合の二つある連結成分のうち、(通常の意味での)有界な方を $A$ 、非有界な方を $B$ として、Uryshonの補題を適用することによって存在する連続関数を

$g_{\partial W_{\sigma}}\colon \mathbb{C} \to [0, 1]$

とする*2。値域を $(0, 1)$ にしたいので、例えば

$g_{\partial W_{\sigma}}':=(1-2\sigma)g_{\partial W_{\sigma}}+\sigma \colon \mathbb{C} \to [\sigma, 1-\sigma]$

を考える。 $\left\|G\right\|_{L^{\infty}} \leq M$ 及び ①より、任意の $\alpha \in S$ に対して $\varepsilon^{-1}G-\alpha$ の値域を含み、任意の $\Omega$ 及び $\sigma \ll 1$ に対する $\partial W_{\sigma} \cup W$ を含むような $M, \varepsilon$ のみから定まる $\mathbb{C}$ 上のコンパクト集合 $K=K_{M, \varepsilon}$ をとることができる。同一視 $\mathbb{C} \cong \mathbb{R}^2$ のもと、 $2$ 次元Euclid空間に対するWeierstrassの多項式近似定理を $\left.g_{\partial W_{\sigma}}'\right|_{K}$ に適用することによって、或る実係数2変数多項式 $P(X, Y)$ が存在して、

$\displaystyle \sup_{z=x+yi \in K}\left|\left(\left.g_{\partial W_{\sigma}}'\right|_{K}\right)(z)-P(x, y)\right| < \frac{\sigma}{2}$

が成り立つ( $P(X, Y)$ は $W, M, \varepsilon, \sigma$ に依っている)。 $\mathbb{R}^2$ から $\mathbb{C}$ に戻って記述するために、 $z=x+yi$ とするとき

$p(z, \overline{z}) = P(x, y)$

となる複素係数2変数多項式 $p(z, w)$ をとる。以上の構成から、 $K\setminus \partial W_{\sigma}$ 上では

$\mathbf{1}_W = p(z, \overline{z}) + O(\sigma), \quad \text{on} \ K\setminus \partial W_{\sigma}$

であるが、連続化のために作ったとても細い路 $\partial W_{\sigma}$ 上ではそうはいかないので

$\mathbf{1}_W = p(z, \overline{z}) + O(\sigma)+O(\mathbf{1}_{\partial W_{\sigma}}), \quad \text{on} \ K$

である。従って、 $\mathbb{Z}_N$ 上の関数に戻ると

$\displaystyle \mathbf{1}_{\Omega}=p(\varepsilon^{-1}G-\alpha, \overline{\varepsilon^{-1}G-\alpha})+O(\sigma)+O\left(\mathbf{1}_{\partial W_{\sigma}} \circ (\varepsilon^{-1}G-\alpha) \right)$

という特性関数の分解が得られたことになる。この分解に対して、所望の一様概周期関数の候補を

$\displaystyle g_{UAP}^{(\Omega)} := p(\varepsilon^{-1}G-\alpha, \overline{\varepsilon^{-1}G-\alpha})$

と定める。作り方から $g_{UAP}^{(\Omega)}$ は非負値有界関数である。 $G \in UAP^d$ であり、 $UAP^d$ は $\mathbb{Z}_N$ 上の関数達のなすBanach代数なので $g_{UAP}^{(\Omega)} \in UAP^d$ である。また、 $\left\|G\right\|_{UAP^d} \leq M$ なので、 $\mathbb{Z}_N$ 上の関数達のなすBanach代数のノルムに対して成り立つ種々の性質と $\alpha$ が所詮 $S$ の元に過ぎないということから、 $\left\|g_{UAP}^{(\Omega)}\right\|_{UAP^d}=O_{M, \varepsilon, p}(1)$ という評価が得られる。 $p$ は $W, M, \varepsilon, \sigma$ から決まる多項式であったが、 $\Omega$ を動かしても①のバウンドがあるため、結局

$\displaystyle \left\|g_{UAP}^{(\Omega)}\right\|_{UAP^d}=O_{M, \varepsilon, \sigma}(1)$

と評価できる。 $\sigma$ は( $M, \varepsilon,$ ) $\delta$ に依存して後で設定するため、この候補関数は最終的には三つ目の条件の2. を満たすことが約束された。

あとは $\left\|\mathbf{1}_{\Omega}-g_{UAP}^{(\Omega)}\right\|_{L^2}$ の評価であるが、 $L^2$ -ノルムの三角不等式によって、問題となるのは $\left\|\mathbf{1}_{\partial W_{\sigma}}(\varepsilon^{-1}G-\alpha)\right\|_{L^2}$ である(合成関数の記号は以下省略)。 $L^2$ -ノルムの定義と特性関数は二乗しても変わらないという性質から

$\begin{align} \left\|\mathbf{1}_{\partial W_{\sigma}}(\varepsilon^{-1}G- \alpha)\right\|_{L^2}^2&= \mathbb{P}_{x \in \mathbb{Z}_N}\left( \varepsilon^{-1}G(x)-\alpha \in \partial W_{\sigma}\right)\\ &\leq \mathbb{P}_{x \in \mathbb{Z}_N}\left( \varepsilon^{-1}G(x)-\alpha \in \partial S_{\sigma}+\zeta \ ({}^{\exists}\zeta \in \mathbb{Z}[i])\right)\end{align}$

となっている。ここで、 $\partial S_{\sigma}$ は $S$ の境界 $\partial S$ の $\sigma$ -近傍。 $\mathbb{Z}_N$ の元をランダムに選んだときにある対応する複素数が極めて細い路に入ってしまう確率は小さいと期待したいが、運悪く、悉く細い路に入ってしまう可能性はア・プリオリには否定できない。

$W$ を固定して $\alpha$ を動かす

というわけで、これから $\alpha$ を動かす。 $\alpha$ とは無関係に $W=S+\zeta \ (\zeta \in \mathbb{Z}[i])$ を固定する。 $S \subset \mathbb{R}^2$ を確率空間とみなす(Lebesgue測度)。

$x \in \mathbb{Z}_N$ を固定して $\alpha$ を動かしたときの $S$ における事象

$\displaystyle \varepsilon^{-1}G(x)-\alpha \in \partial S_{\sigma}+\zeta \ ({}^{\exists}\zeta \in \mathbb{Z}[i])$ −②

の確率は高々 $O(\sigma)$ である( $x$ に依らずに押さえられる)。理由: 考えている事象は

$\displaystyle \alpha \in \left( \partial S_{\sigma}+\mathbb{Z}[i]+\varepsilon^{-1}G(x)\right) \cap S$

であり、右側の集合の面積は $\partial S_{\sigma}$ の面積 $\left|\partial S_{\sigma}\right|$ 以下である。そうして、 $\left|\partial S_{\sigma}\right|=O(\sigma)$ である*3。

このことから、次のように $\left\|\mathbf{1}_{\partial W_{\sigma}}(\varepsilon^{-1}G- \alpha)\right\|_{L^2}^2$ の期待値は小さい：

$\begin{align}\mathbb{E}_{\alpha \in S}\left(\left\|\mathbf{1}_{\partial W_{\sigma}}(\varepsilon^{-1}G- \alpha)\right\|_{L^2}^2\right) &:= \int_{S}\left\|\mathbf{1}_{\partial W_{\sigma}}(\varepsilon^{-1}G- \alpha)\right\|_{L^2}^2d\alpha \\ &\leq \int_{S}\mathbb{P}_{x \in \mathbb{Z}_N}\left( \varepsilon^{-1}G(x)-\alpha \in \partial S_{\sigma}+\zeta \ ({}^{\exists}\zeta \in \mathbb{Z}[i])\right)d\alpha \\ &=\mathbb{E}_{x \in \mathbb{Z}_N}\left(\int_S\left(\mathbf{1}_{\varepsilon^{-1}G(x)-\alpha \in \partial S_{\sigma}+\zeta \ ({}^{\exists}\zeta \in \mathbb{Z}[i])}\right)d\alpha\right) \\ &=: \mathbb{E}_{x \in \mathbb{Z}_N}\left(\mathbb{P}_{\alpha \in S}\left(\varepsilon^{-1}G(x)-\alpha \in \partial S_{\sigma}+\zeta \ ({}^{\exists}\zeta \in \mathbb{Z}[i])\right)\right) \\ &\leq \int_{\mathbb{Z}_N}O(\sigma) = O(\sigma).\end{align}$

ここで、 $d\alpha=d(x+yi):=dxdy$ と考えている(複素線積分ではなく同一視 $\mathbb{C} \cong \mathbb{R}^2$ での積分)。期待値が小さいということはMarkovの不等式*4によって、避けたい状況になる確率は実際に低い：

$\displaystyle \mathbb{P}_{\alpha \in S}\left( \left\|\mathbf{1}_{\partial W_{\sigma}}(\varepsilon^{-1}G- \alpha)\right\|_{L^2}^2 \geq \eta^{-1}O(\sigma)\right) \leq \frac{1}{\eta^{-1}O(\sigma)}\mathbb{E}_{\alpha \in S}\left(\left\|\mathbf{1}_{\partial W_{\sigma}}(\varepsilon^{-1}G- \alpha)\right\|_{L^2}^2\right) \leq \eta.$

すなわち、高確率で望ましい状況になっている：

$\displaystyle \mathbb{P}_{\alpha \in S}\left( \left\|\mathbf{1}_{\partial W_{\sigma}}(\varepsilon^{-1}G- \alpha)\right\|_{L^2}^2 < \eta^{-1}O(\sigma)\right) \geq 1-\eta$ −③.

よって、

$\displaystyle \left\|\mathbf{1}_{\partial W_{\sigma}}(\varepsilon^{-1}G- \alpha)\right\|_{L^2}^2 \leq O_{\eta}(\sigma)$

となる $\alpha$ が存在する。その $\alpha$ について、固定した $W$ に対応するアトム $\Omega$ がある場合には

$\displaystyle \left\|\mathbf{1}_{\Omega}-g_{UAP}^{(\Omega)}\right\|_{L^2} \leq O(\sigma) + O_{\eta}(\sigma^{\frac{1}{2}})$

と評価できるので、この右辺が $\delta$ 以下になるように $\sigma$ を選ぶことによって考えている $\Omega$ と $\delta$ に対しては三つ目の条件が満たされる(現状、 $\eta$ 依存があることを除いて)。

③からわかるように、例え $\sigma$ と $\eta$ を適切に選んでも、上記 $\alpha$ の選択は $W$ と $\delta$ に依存している。そこで、これらの依存性をなくす議論を行う。

$\delta$ 依存消去

さて、今更であるが、任意の $0 < \delta \leq 1$ に対して三つ目の条件1. が成り立つことを示すためには、 $\displaystyle \lim_{n \to \infty}\delta_n=0$ となるような離散減少列 $\{\delta_n\}_{n=0}^{\infty} (0 < \delta_n \leq 1)$ に対して示せば十分である。そこで、 $\delta_n:=2^{-n}$ としよう。 $\eta_n:=\delta_n/2$ とする。 $\sigma_n$ は $\delta_n$ 毎に小さくとる予定のパラメータ。

$\delta_0$ と $\eta_0$ に対して、上記確率論的な考察を適用すると、少なくとも確率 $1/2$ で $\delta_0$ に対する所望の $\alpha$ が存在することがわかる。このような $\alpha$ 達のみからなる $S$ の部分集合 $S_1$ に確率空間を取り替える( $\left|S_1\right|$ で $S_1$ の面積を表すとき、 $\left|S_1\right| \geq 1/2$ であり、確率測度は $d_1\alpha:=\left|S_1\right|^{-1}d\alpha$ とする)。

$S_1$ に対して同様の議論を行うと、

$\displaystyle \mathbb{E}_{\alpha \in S_1}\left(\left\|\mathbf{1}_{\partial W_{\sigma}}(\varepsilon^{-1}G- \alpha)\right\|_{L^2}^2\right) \leq O(\sigma_1)$

であり、

$\displaystyle \mathbb{P}_{\alpha \in S_1}\left( \left\|\mathbf{1}_{\partial W_{\sigma}}(\varepsilon^{-1}G- \alpha)\right\|_{L^2}^2 \leq O(\sigma_1)\right) \geq \frac{3}{4}$

が得られる。すなわち、 $S_1$ には少なくとも確率 $3/4$ で $\delta_1$ に対する所望の $\alpha$ が存在する。ということは $S$ から見れば、少なくとも確率

$\displaystyle \frac{1}{2}\times \frac{3}{4} = \frac{3}{8}$

で $\delta_0$ と $\delta_1$ について同時に三つ目の条件1. を満たすような $\alpha$ が存在することがわかる。

$a_n$ を次のように定義しておく:

$\displaystyle a_n:=\prod_{k=0}^{n-1}(1-\eta_k) = \prod_{k=1}^n\left(1-\frac{1}{2^k}\right)$

以下、帰納的に面積が $a_n以上$ の $S$ の部分集合 $S_n$ であって $S_{n-1} \supset S_n$ を満たすものを構成でき、確率空間 $S_n$ (測度は $d_n\alpha := \left|S_n\right|^{-1}d\alpha$ )上で

$\displaystyle \mathbb{E}_{\alpha \in S_n}\left(\left\|\mathbf{1}_{\partial W_{\sigma}}(\varepsilon^{-1}G- \alpha)\right\|_{L^2}^2\right) \leq O_n(\sigma_n),$

$\displaystyle \mathbb{P}_{\alpha \in S_n}\left( \left\|\mathbf{1}_{\partial W_{\sigma}}(\varepsilon^{-1}G- \alpha)\right\|_{L^2}^2 \leq O_n(\sigma_n)\right) \geq 1-\eta_n$

が成り立つようにできる。

Landauの記号の定数部分が $n$ に依ってしまうが、 $\sigma_n$ の選択は $\delta_n$ に依って実行するため問題ない*5。従って、 $n \to \infty$ として $S$ から見ることによって、少なくとも確率 $a:=\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$ で固定した $W$ に対応するアトム $\Omega$ がある場合には全ての $\delta_n$ に対して三つ目の条件1. を(つまりは全ての条件を)満たす $\alpha$ が存在することになる。さて、無限積

$\displaystyle \prod_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{1}{2^n}\right)$

について

$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n} = 1 < \infty$

なので、この無限積は絶対収束する。つまり、非零であり、明らかに非負であるから、 $a > 0$ が確定する
( $a = 0.288788...$ )。

$W$ 依存消去

最後に、 $W$ への依存性をなくそう。 $W$ は対応する $\zeta \in \mathbb{Z}[i]$ によって定まるが、考えるべき $\zeta$ *6は高々 $O_{G, \varepsilon} (1)$ 個しかない*7ので全ての $W$ を考えて適当に番号を付ける:

$W_1, W_2, \dots, W_{O_{G, \varepsilon}(1)}.$

そうして、 $W_1$ に対して先ほどの議論を行い、 $W_2$ に対しては $S_{\infty}:=\bigcap_{n=1}^{\infty}S_n$ を測度空間として同じ議論を適用する。このように測度空間を小さくしていくことによって、少なくとも確率

$\displaystyle a^{O_{G, \varepsilon}(1)} > 0$

で全てのアトムに対して三つ目の条件1. を満たす、すなわち所望する全ての性質を満たすような( $G$ と $\varepsilon$ のみに依る) $\alpha$ が存在することがわかった。
ただし、 $\delta$ 依存消去のときの期待値計算を $O_n(\sigma_n)$ としたのと同様の理由で、この部分が $W_m$ に対して $a^{-m+1}$ 倍されることに注意。これについては、考えるべき $W$ の個数は $O_{M, \varepsilon}(1)$ 個でもあるので、 $\sigma_n$ は $M, \varepsilon, \delta_n$ のみに依存して決めることができて(三つ目の条件2.の成立には)問題ない。 Q.E.D.

$G$ と $\varepsilon$ に対し、この命題によって存在する $\mathcal{B}_{\varepsilon}(G)$ を選択して固定する。この際、

$T^n\mathcal{B}_{\varepsilon}(G) = \mathcal{B}_{\varepsilon}(T^nG)$ −④

が任意の $n \in \mathbb{Z}_N$ に対して成り立つように選択する。

④が成り立つように取れる理由: 命題の証明中の記号で、

$\displaystyle \mathrm{Atom}\left(\mathcal{B}_{\varepsilon, \alpha}(T^nG)\right) = \{T^n\Omega \mid \Omega \in \mathrm{Atom}\left(\mathcal{B}_{\varepsilon, \alpha}(G)\right)\}$

となっており、 $\left\|\mathbf{1}_{\partial W_{\sigma}}(\varepsilon^{-1}G- \alpha)\right\|_{L^2}$ において $G$ を $T^nG$ に替えても同じであることから、 $\alpha$ は $G$ と $T^nG$ に対して共通のものを取れるため。

*1:或る非負整数 $d$ が存在して、 $G \in UAP^d$ となる関数。

*2:具体的なケースなのでUryshonは必ずしも必要ありません。

*3:懐かしい問題を思い出しました： http://midori.edu-c.pref.miyagi.jp/gakuryoku/plan/pdf/a_pdf/9nen/a_9_01.pdf

*4:補足：

Markovの不等式 $(\Omega, \Sigma, \mu)$ が測度空間で、 $A \in \Sigma$ , $\ f\colon \Sigma$ -可測関数、 $a > 0$ とすると、

$\displaystyle \mu \left(\left\{ x \in A \left|\left|f(x)\right| \geq a \right\}\right. \right) \leq \frac{1}{a}\int_{A}\left|f\right|d\mu$

が成り立つ。

証明. $A(a):=\left\{ x \in A \left|\left|f(x)\right| \geq a \right\}\right.$ とすると、任意の $x \in A$ に対して $a\mathbf{1}_{A(a)}(x) \leq \left|f(x)\right|$ が成り立つ。理由: $x \in A(a)$ であれば、 $a\mathbf{1}_{A(a)}(x) = a \leq \left|f(x)\right|$ であり、 $a \not \in A(a)$ であっても $a\mathbf{1}_{A(a)}(x) = 0 \leq \left|f(x)\right|$ である。よって、

$\displaystyle \int_Aa\mathbf{1}_{A(a)}d\mu \leq \int_A\left|f\right|d\mu$

が成り立つが、

$\displaystyle \int_Aa\mathbf{1}_{A(a)}d\mu = a\int_A\mathbf{1}_{A(a)}d\mu =: a\mu(A(a) )$

なので証明が完了する。 Q.E.D.

系 $(\Omega, \Sigma, \mathbb{P})$ が確率空間で、 $X$ を実確率変数、 $a > 0$ とする。このとき、

$\displaystyle \mathbb{P}\left(\left|X\right| \geq a \right) \leq \frac{\mathbb{E}(\left|X\right|)}{a}$

が成り立つ。

*5: $S_n$ の面積は小さくなっていくが、形状は分からないため②において大雑把に $\partial S_{\sigma}$ の面積で押さえることにする。すると、測度を変更している分だけ確率が増えてしまう。

*6:或る $\alpha \in S$ が存在して $G^{-1}(\varepsilon(S+\zeta+\alpha) ) \neq \emptyset$ となり得るもの。

*7:①の議論を $\left\|G\right\|_{L^{\infty}}$ に置き換える。

2017-09-18

タオのセメレディ論文の§6を読む (その一)

等間隔に並ぶ素数を追い求めて

§6 Factors of almost periodic functions に入ります。まず、 $\mathbb{Z}_N$ 上の $\sigma$ -加法族の基本事項をまとめます。

定義１ (Definition 6.1) $\mathbb{Z}_N$ の部分集合族 $\mathcal{B}$ *1が $\mathbb{Z}_N$ 上の $\sigma$ -加法族であるとは、

$\emptyset, \mathbb{Z}_N \in \mathcal{B}$
$A \in \mathcal{B} \Longrightarrow \mathbb{Z}_N \setminus A \in \mathcal{B}$
$A_1, A_2 \in \mathcal{B} \Longrightarrow A_1 \cup A_2 \in \mathcal{B}$
$A_1, A_2 \in \mathcal{B} \Longrightarrow A_1 \cap A_2 \in \mathcal{B}$

が成り立つときにいう*2。また、包含関係について極小となる空でない $\mathcal{B}$ の元を $\mathcal{B}$ のアトムと呼ぶ。

$\mathbb{Z}_N$ 上の $\sigma$ -加法族 $\mathcal{B}$ はそのアトム達によって生成されます( $\mathcal{B}$ の任意の元は有限個のアトムの和集合として表わすことができる)。
理由: $A, B \in \mathcal{B}$ で $A \subset B$ ならば

$B\setminus A = B\cap (\mathbb{Z}_N \setminus A) \in \mathcal{B}$

が成り立つことに注意すればよい*3。

アトムについては次の事実が基本的です:

補題１ $\mathcal{B}$ を $\mathbb{Z}_N$ 上の $\sigma$ -加法族とし、 $x \in \mathbb{Z}_ N$ とする。このとき、 $x$ を含むような $\mathcal{B}$ のアトムは一意的に存在する。それを $\mathcal{B}(x)$ と表すとき、 $y \in \mathcal{B}(x)$ ならば $\mathcal{B}(x) = \mathcal{B}(y)$ が成り立つ。

証明. 前半の存在性は明らか。一意性は $\mathcal{B}$ が共通部分を取る操作で閉じていることから従う。後半: $y \in \mathcal{B}(x)$ より $\mathcal{B}(y) \subset \mathcal{B}(x)$ であるが、 $\mathcal{B}(x)$ がアトムであることからこの包含関係は等号でなければならない。 Q.E.D.

よって、先ほど述べた $\mathcal{B}$ の元を有限個のアトムの和集合として表す方法は一意的であることがわかります。つまり、 $\mathbb{Z}_N$ 上の $\sigma$ -加法族とそのアトム全体のなす集合は一対一に対応します。 $\mathbb{Z}_N$ の部分集合族が $\mathbb{Z}_N$ 上の $\sigma$ -加法族のアトム全体のなす集合になるための必要十分条件はその集合族が $\mathbb{Z}_N$ の分割を与えることに他なりません。

定義２ $\mathcal{B}$ を $\mathbb{Z}_N$ 上の $\sigma$ -加法族とする。 $f \in \mathrm{Map}(\mathbb{Z}_N, \mathbb{C})$ が $\mathcal{B}$ -可測であるとは $f$ が $\mathcal{B}$ の各アトム上で定数関数となっているときにいう。 $\mathcal{B}$ -可測関数全体のなす集合を $\mathcal{M}(\mathcal{B})$ と表す。

$\mathcal{B} \subset \mathcal{B}' \Longrightarrow \mathcal{M}(\mathcal{B}) \subset \mathcal{M}(\mathcal{B}')$ 。

定義３ $\mathcal{B}$ を $\mathbb{Z}_N$ 上の $\sigma$ -加法族とする。条件付き期待値作用素

$\left.\mathbb{E}(\cdot \right| \mathcal{B}) \colon \mathrm{Map}(\mathbb{Z}_N, \mathbb{C}) \to \mathcal{M}(\mathcal{B})$

を $f \in \mathrm{Map}(\mathbb{Z}_N, \mathbb{C}), \ x \in \mathbb{Z}_N$ に対して

$\left.\mathbb{E}(f\right| \mathcal{B})(x):=\mathbb{E}_{\mathcal{B}(x)}(f)$

によって定める。

条件付き期待値作用素のwell-definedness(値域の正当性)は補題１から従います。自明な $\sigma$ -加法族に対しては、 $\mathbb{Z}_N$ が唯一のアトムなので

$\displaystyle \left.\mathbb{E}(f\right|\{\emptyset, \mathbb{Z}_N\}) = \int_{\mathbb{Z}_N}f$

となります(定数関数)。

基本性質 条件付き期待値作用素は非負性・期待値・定数関数・有界性を保つような線形自己随伴作用素である。

証明. 自己随伴性と期待値を保つこと以外は明らか。自己随伴性は $f, g \in \mathrm{Map}(\mathbb{Z}_N, \mathbb{C})$ に対して

$\displaystyle \left\langle \left.\mathbb{E}(f\right| \mathcal{B}), g\right\rangle = \left\langle f, \left.\mathbb{E}(g\right| \mathcal{B})\right\rangle$

が成り立つということであるが、書き下すと等号

$\displaystyle \frac{1}{N}\sum_{x \in \mathbb{Z}_N}\frac{1}{\#\mathcal{B}(x)}\left(\sum_{y \in \mathcal{B}(x)}f(y)\right)\overline{g}(x) = \frac{1}{N}\sum_{y \in \mathbb{Z}_N}f(y)\frac{1}{\#\mathcal{B}(y)}\left(\sum_{x \in \mathcal{B}(y)}\overline{g}(x)\right)$

を言っていて、これは補題１から従う。期待値の保存は

$\displaystyle \left.\mathbb{E}\left(\left.\mathbb{E}(f\right| \mathcal{B})\right| \mathcal{B}\right) (x) = \mathbb{E}_{\mathcal{B}(x)}\left(\left.\mathbb{E}(f\right| \mathcal{B})\right)=\frac{1}{\#\mathcal{B}(x)}\sum_{y \in \mathcal{B}(x)}\mathbb{E}_{\mathcal{B}(y)}(f) = \mathbb{E}_{\mathcal{B}(x)}(f) = \left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B})(x)$

と計算で確かめられる(やはり補題１を使用している)。 Q.E.D.

定義４ $\mathcal{B}$ を $\mathbb{Z}_N$ 上の $\sigma$ -加法族とする。 $f \in \mathrm{Map}(\mathbb{Z}_N, \mathbb{C})$ が $\mathcal{B}$ と直交するとは $\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B})=0$ が成り立つときにいう。

補題２ (一意直交分解) $\mathcal{B}$ を $\mathbb{Z}_N$ 上の $\sigma$ -加法族とする。任意の $f \in \mathrm{Map}(\mathbb{Z}_N, \mathbb{C})$ は

$\displaystyle f=\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B})+\left(f-\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B})\right)$

と、「 $\mathcal{B}$ -可測関数」と「 $\mathcal{B}$ と直交する関数」の和に一意的に分解できる。

証明. $f = g+h$ と分解されたとする( $g$ は $\mathcal{B}$ -可測関数で $h$ は $\mathcal{B}$ と直交する関数)。このとき、条件付き期待値作用素の基本性質と $\mathcal{B}$ -可測関数の定義より

$\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B})=\left.\mathbb{E}(g\right|\mathcal{B})=g$

となり、 $h=f-\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B})$ を得る。逆に、分解

$\displaystyle f=\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B})+\left(f-\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B})\right)$

において $\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B})$ は $\mathcal{B}$ -可測関数であり、 $f-\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B})$ は

$\left.\mathbb{E}(f-\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B})\right|\mathcal{B})=\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B})-\left.\mathbb{E}(\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B})\right|\mathcal{B}) = 0$

を満たす。 Q.E.D.

補題３ $\mathcal{B}'$ を $\mathbb{Z}_N$ 上の $\sigma$ -加法族とし、 $\mathcal{B}$ を $\mathcal{B}'$ の部分 $\sigma$ -加法族とする。このとき、 $f \in \mathrm{Map}(\mathbb{Z}_N, \mathbb{C})$ から得られる $\mathcal{B}'$ -可測関数 $\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}')$ は

$\displaystyle \left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}')=\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B})+\left(\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}')-\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B})\right)$

と、「 $\mathcal{B}$ -可測関数」と「 $\mathcal{B}'$ -可測関数であり、 $\mathcal{B}$ と直交する関数」の和として一意的に表すことができる。

証明. 非自明な部分は

$\displaystyle \left.\mathbb{E}\left(\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}')-\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B})\right|\mathcal{B} \right)=0$

を示すことである(これが言えれば一意性も従う)。 $g \in \mathrm{Map}(\mathbb{Z}_N, \mathbb{C})$ を任意に取る。 $\left.\mathbb{E}(g\right|\mathcal{B})$ は $\mathcal{B}$ -可測なので、 $\mathcal{B}'$ -可測でもあり、

$\displaystyle \mathbb{E}\left(\left.\mathbb{E}(g\right|\mathcal{B})\big|\mathcal{B}'\right)=\left.\mathbb{E}(g\right|\mathcal{B})$

が成り立つ。よって、条件付き期待値作用素の自己随伴性から

$\displaystyle \langle g, \left.\mathbb{E}\left(\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}')\right|\mathcal{B}\right)\rangle= \langle\left.\mathbb{E}(g\right|\mathcal{B}), \left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}')\rangle = \langle \mathbb{E}\left(\left.\mathbb{E}(g\right|\mathcal{B})\big|\mathcal{B}'\right), f\rangle = \langle \left.\mathbb{E}(g\right|\mathcal{B}), f\rangle = \langle g, \left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}) \rangle$

と計算でき、内積の非退化性から

$\displaystyle \left.\mathbb{E}\left(\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}')\right|\mathcal{B}\right) = \left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B})$

が示された*4。Q.E.D.

証明の最後の式において $\mathcal{B}' \mapsto \mathcal{B}, \ \mathcal{B} \mapsto \{\emptyset, \mathbb{Z}_N\}$ とすれば

$\displaystyle \int_{\mathbb{Z}_N}\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}) = \int_{\mathbb{Z}_N}f$

がわかります。

定義５ $\mathcal{B}, \mathcal{B}'$ を $\mathbb{Z}_N$ 上の $\sigma$ -加法族とする。このとき、 $\mathcal{B}$ と $\mathcal{B}'$ で生成される(すなわち $\mathcal{B}$ と $\mathcal{B}'$ を含む最小の) $\mathbb{Z}_N$ 上の $\sigma$ -加法族を $\mathcal{B} \vee \mathcal{B}'$ と表す。

補題４ $\mathcal{B}, \mathcal{B}'$ を $\mathbb{Z}_N$ 上の $\sigma$ -加法族とする。このとき、 $\mathcal{B}\vee \mathcal{B}'$ の任意のアトムは $\mathcal{B}$ のアトムと $\mathcal{B}'$ のアトムの共通部分として表すことができる。また、 $\mathcal{B}$ のアトムと $\mathcal{B}'$ のアトムの空でない共通部分は $\mathcal{B}\vee \mathcal{B}'$ のアトムである。

つまり、 $\mathcal{B}$ のアトム達の作る $\mathbb{Z}_N$ の分割と $\mathcal{B}'$ のアトム達の作る $\mathbb{Z}_N$ の分割から共通部分を取ることによって得られる分割の細分をアトムの集合とするような $\sigma$ -加法族が $\mathcal{B}\vee\mathcal{B}'$ です。

証明. $B$ を $\mathcal{B}\vee\mathcal{B}'$ のアトムとする。このとき、或る $A \in \mathcal{B}$ と $A' \in \mathcal{B}'$ が存在して $B=A\cap A'$ でなければならないことはすぐにわかる( $\mathcal{B}\vee\mathcal{B}'$ の定義と $B$ がアトムであることを使う)。 $x \in B$ をとる。 $x \in A$ より、 $\mathcal{B}(x) \subset A$ 。同様に $\mathcal{B}'(x) \subset A'$ 。よって、

$B= (\mathcal{B}\vee\mathcal{B}')(x) \subset \mathcal{B}(x) \cap \mathcal{B}'(x) \subset A\cap A'=B$

であり、 $B= \mathcal{B}(x) \cap \mathcal{B}'(x)$ と $\mathcal{B}\vee\mathcal{B}'$ のアトムが $\mathcal{B}$ のアトムと $\mathcal{B}'$ のアトムの共通部分として表すことができることが示された。

逆に、 $A, A'$ をそれぞれ $\mathcal{B}, \mathcal{B}'$ のアトムとして、 $B:=A\cap A'\in \mathcal{B}\vee\mathcal{B}', \ B\neq \emptyset$ とする(空でないことは仮定)。 $B$ に含まれる $\mathcal{B}\vee\mathcal{B}'$ のアトム $B'$ を一つ選ぶと、前半の主張により $\mathcal{B}$ のアトム $C$ と $\mathcal{B}'$ のアトム $C'$ が存在して、 $B'=C\cap C'$ と書ける。 $x \in B'$ をとると、 $x \in C \cap A$ であり、 $A, C$ が $\mathcal{B}$ のアトムであることから、 $A=C=\mathcal{B}(x)$ である。同様に $A'=C'=\mathcal{B}'(x)$ 。よって、 $B=B'$ となって、 $B$ が $\mathcal{B}\vee\mathcal{B}'$ のアトムであることがわかる。 Q.E.D.

次の $L^2$ -ノルムに関する自明な評価は§7で用います。

補題５ $\mathcal{B}$ を $\mathbb{Z}_N$ 上の $\sigma$ -加法族とする。任意の関数 $f \in \mathrm{Map}(\mathbb{Z}_N, \mathbb{C})$ に対して

$\displaystyle \left\|f\right\|_{L^2}^2=\left\|\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B})\right\|_{L^2}^2+\left\|f-\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B})\right\|_{L^2}^2$

が成り立つ(勾股弦の定理)。よって、特に

$\displaystyle \left\|\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B})\right\|_{L^2} \leq \left\|f\right\|_{L^2}$

が成り立つ。

証明. 補題２の分解より

$\begin{align}\left\|f\right\|_{L^2}^2 &= \langle \left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B})+\left(f-\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B})\right), \left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B})+\left(f-\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B})\right)\rangle\\ &=\left\|\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B})\right\|_{L^2}^2+\left\|f-\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B})\right\|_{L^2}^2+2\mathrm{Re}\left(\langle \left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}), f-\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B})\rangle\right)\end{align}$

と計算できるが、条件付き期待値作用素の自己随伴性と $f-\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B})$ の直交性より

$\displaystyle \langle \left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}), f-\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B})\rangle=\langle f, \left.\mathbb{E}\left(f-\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B})\right| \mathcal{B}\right)\rangle=\langle f, 0\rangle = 0$

を得る。 Q.E.D.

最後に§10で用いる $\mathbb{Z}_N$ 上の $\sigma$ -加法族のシフトを考えます。

定義６ $\mathbb{Z}_N$ 上の $\sigma$ -加法族 $\mathcal{B}$ と $n \in \mathbb{Z}_N$ に対して $T^n\mathcal{B}:=\{T^nA \mid A \in \mathcal{B}\}$ と定義する。

$A, A_1, A_2 \in \mathcal{B}, n \in \mathbb{Z}_N$ に対して

$T^n(\mathbb{Z}_N\setminus A) = \mathbb{Z}_N \setminus T^nA, \ T^n(A_1 \cup A_2) = T^nA_1 \cup T^nA_2, \ T^n(A_1 \cap A_2) = T^nA_1 \cap T^nA_2$

が成り立つので、 $T^n\mathcal{B}$ も $\mathbb{Z}_N$ 上の $\sigma$ -加法族となることがわかります。

また、 $T^n\mathcal{B}$ のアトムは $\mathcal{B}$ のアトム $\Omega$ を用いて $T^n\Omega$ と表される(もう少し正確にみると $x \in \mathbb{Z}_N$ に対して

$\displaystyle T^n\left( \mathcal{B}(x)\right) = (T^n\mathcal{B})(x-n)$

が成り立つ)ので、補題４より $\mathbb{Z}_N$ 上の $\sigma$ -加法族 $\mathcal{B}, \mathcal{B}'$ と $n \in \mathbb{Z}_N$ に対して

$\displaystyle T^n\mathcal{B} \vee T^n\mathcal{B}' = T^n(\mathcal{B} \vee \mathcal{B}')$

が成り立つことがわかります。

補題６ $\mathbb{Z}_N$ 上の $\sigma$ -加法族 $\mathcal{B}$ , $\ f \in \mathrm{Map}(\mathbb{Z}_N, \mathbb{C})$ , $\ n \in \mathbb{Z}_N$ に対して

$\displaystyle \left.\mathbb{E}(T^nf\right|\mathcal{B}) = T^n\left.\mathbb{E}(f\right|T^{-n}\mathcal{B})$

が成り立つ。

証明. $x \in \mathbb{Z}_N$ を取って

$\begin{align}\left.\mathbb{E}(T^nf\right|\mathcal{B})(x) &= \mathbb{E}_{y \in \mathcal{B}(x)}(T^nf(y))=\mathbb{E}_{y \in \mathcal{B}(x)}(f(y+n)) =\mathbb{E}_{z \in \mathcal{B}(x)+n}(f(z))=\mathbb{E}_{z \in T^{-n}(\mathcal{B}(x))}(f(z))\\ &=\mathbb{E}_{z \in (T^{-n}\mathcal{B})(x+n)}(f(z)) = \left.\mathbb{E}(f\right|T^{-n}\mathcal{B})(x+n)= T^n\left.\mathbb{E}(f\right|T^{-n}\mathcal{B})(x)\end{align}$

と計算できる。 Q.E.D.

*1:有限集合であることに注意。

*2:ここでは条件を最小には記述していません。

*3: $2$ 以上の整数が素因数分解されることと同様に証明できる。

*4:直接的に示すことも出来ます： $x \in \mathbb{Z}_N$ に対して

$\displaystyle \left.\mathbb{E}\left(\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}')\right|\mathcal{B}\right) (x) = \mathbb{E}_{\mathcal{B}(x)}\left(\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}')\right) = \frac{1}{\#\mathcal{B}(x)}\sum_{y \in \mathcal{B}(x)}\mathbb{E}_{\mathcal{B}'(y)}(f)$

であり、 $\mathcal{B}(x)$ が $\displaystyle \mathcal{B}(x) = \bigsqcup_{j=1}^{r_x}\mathcal{B}'_j$ と $\mathcal{B}'$ においてアトム分解されているならば

$\displaystyle \sum_{y \in \mathcal{B}(x)}\mathbb{E}_{\mathcal{B}'(y)}(f) = \sum_{j=1}^{r_x}\sum_{y \in \mathcal{B}'_j}\mathbb{E}_{\mathcal{B}'(y)}(f) = \sum_{j=1}^{r_x}\#\mathcal{B}'_j\cdot \mathbb{E}_{\mathcal{B}'_j}(f)= \sum_{j=1}^{r_x}\sum_{z \in \mathcal{B}'_j}f(z) = \sum_{z \in \mathcal{B}(x)}f(z)$

と計算される。すなわち、

$\displaystyle \left.\mathbb{E}\left(\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}')\right|\mathcal{B}\right) (x) = \mathbb{E}_{\mathcal{B}(x)}(f)＝\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B})(x)$

が得られた。

2017-09-17

タオのセメレディ論文の§5を読む (その二)

等間隔に並ぶ素数を追い求めて

§5 Almost periodic functions の後半です。構造定理(Thm 3.5)は前半で導入した一様概周期性と§4で導入したGowers一様性のある種の双対性と思うことができます。ここでは二つの双対性(命題１＆命題２)を示しますが、命題１はSzemerédiの定理の証明には使わないのでとばしてもかまいません。(命題１とはある意味逆の関係にある)命題２は構造定理の証明で重要な役割を果たします。

命題１ (Gowers一様性と一様概周期性の直交性, Proposition 5.9) $k$ を $2$ 以上の整数とする。このとき、関数 $f \in \mathrm{Map}(\mathbb{Z}_N, \mathbb{C})$ と $f' \in UAP^{k-2}$ に対して

$\displaystyle \left|\langle f, f' \rangle \right| \leq \left\|f\right\|_{U^{k-1}}\left\|f'\right\|_{UAP^{k-2}}$

が成り立つ。

証明. $k$ に関する帰納法で証明する。 $k=2$ のときは $f' \in UAP^0$ は定数関数なので、

$\displaystyle \left|\langle f, f'\rangle\right| = \left|\int_{\mathbb{Z}_N}f\overline{f'}\right| = \left|\int_{\mathbb{Z}_N}f\right| \left\|f'\right\|_{L^{\infty}} = \left\|f\right\|_{U^1}\left\|f'\right\|_{UAP^0}$

が成り立つ。ここで、§4の基本性質１を使った。 $k \geq 3$ とする。 $k-1$ で成立すると仮定して $k$ の場合を示そう。

$\displaystyle \left\|f\right\|_{U^{k-1}} \leq 1, \ \left\|f'\right\|_{UAP^{k-2}} < 1 \Longrightarrow \left|\langle f, f'\rangle\right| \leq 1$

を示せば十分である。理由: $\ f, f' \neq 0$ の場合に主張を示せば十分である。非斉次性より

$\displaystyle \widehat{f} := \frac{1}{\left\|f\right\|_{U^{k-1}}}f, \quad \widehat{f'}:=\frac{1}{\left\|f'\right\|_{UAP^{k-2}}}f'$

を考えることができる。内積の線型性より、任意の $0 < t < 1$ に対して

$\displaystyle \langle \widehat{f}, t\widehat{f'} \rangle = \frac{t\langle f, f'\rangle}{\left\|f\right\|_{U^{k-1}}\left\|f'\right\|_{UAP^{k-2}}}$

であるから、 $\left|\langle \widehat{f}, t\widehat{f'} \rangle\right| \leq 1$ と $t$ の任意性から所望の不等式が得られる。

そこで、 $\left\|f\right\|_{U^{k-1}} \leq 1, \ \left\|f'\right\|_{UAP^{k-2}} < 1$ であると仮定しよう。このとき、空でない有限集合 $H$ 、 $c_{n, h} \in B(UAP^{k-3}) \ (n \in \mathbb{Z}_N \ h \in H)$ 、有界関数 $g_h \ (h \in H)$ が存在して

$\displaystyle T^nf' = \mathbb{E}_{h \in H}\left( c_{n, h}g_h\right) \quad ({}^{\forall}n \in \mathbb{Z}_N)$

と表示できる。任意の $n \in \mathbb{Z}_N$ に対して

$\displaystyle \langle T^nf, T^nf'\rangle = \int_{\mathbb{Z}_N}T^nf \mathbb{E}_{h \in H}\left( \overline{c_{n, h}g_h}\right)$

が成り立つので、内積のユニタリ性より

$\displaystyle \langle f, f'\rangle = \mathbb{E}_{n \in \mathbb{Z}_N}\left(\langle T^nf, T^nf'\rangle\right) = \mathbb{E}_{h \in H}\left(\int_{\mathbb{Z}_N}\overline{g_h}\mathbb{E}_{n \in \mathbb{Z}_N}\left(T^nf\overline{c_{n, h}}\right)\right)$

と計算できる(和の入れ替えを行っている)。 $g_h$ は有界関数なので、Cauchy-Schwarzの不等式により

$\displaystyle \left| \langle f, f' \rangle\right| \leq \sqrt{\mathbb{E}_{h \in H}\left(\int_{\mathbb{Z}_N}\left|\mathbb{E}_{n \in \mathbb{Z}_N}\left(T^nf\overline{c_{n, h}}\right)\right|^2\right)}$

を得る。ここで、点 $x \in \mathbb{Z}_N$ 毎に次の等式が成立することに注意する(ただし、最初の $T^r$ は $n \in \mathbb{Z}_N$ を変数とする関数への作用と考えており、三行目の $T^r$ は $x$ についての関数に対する作用を考えている):

$\begin{align} &\overline{(T^nf)(x)\cdot \overline{c_{n, h}(x)}}\cdot T^r\left( (T^nf)(x)\cdot \overline{c_{n, h}(x)}\right)\\ &= (T^n\overline{f})(x)\cdot c_{n, h}(x) \cdot (T^{n+r}f)(x) \cdot \overline{c_{n+r, h}(x)}\\ &=(T^n\overline{f})(x)\cdot c_{n, h}(x) \cdot \left(T^n(T^rf)\right)(x) \cdot \overline{c_{n+r, h}(x)}\\ &=\left(T^n\left( \overline{f}(T^rf)\right)\right)(x)\cdot c_{n, h}(x) \cdot \overline{c_{n+r, h}(x)}.\end{align}$

よって、§4のvan der Corputの補題により、点 $x \in \mathbb{Z}_N$ 毎に

$\displaystyle \left|\mathbb{E}_{n \in \mathbb{Z}_N}\left(T^nf\overline{c_{n, h}}(x)\right)\right|^2 = \mathbb{E}_{n, r \in \mathbb{Z}_N}\left( T^n(\overline{f}T^rf)c_{n, h}\overline{c_{n+r, h}}(x)\right)$

と変形できる。従って、積分と順序を入れ替えて内積のユニタリ性によって $T^{-n}$ を作用させることにより

$\displaystyle \left|\langle f, f'\rangle\right| \leq \sqrt{\mathbb{E}_{h \in H}\left(\mathbb{E}_{n, r \in \mathbb{Z}_N}\left(\langle \overline{f}T^rf, T^{-n}(\overline{c_{n, h}}c_{n+r, h})\rangle \right)\right)}$

を得る。ここで、 $UAP^{k-3}$ はシフト不変なBanach代数なので(特に複素共役不変性・積閉性より)

$\left\|T^{-n}(\overline{c_{n, h}}c_{n+r, h})\right\|_{UAP^{k-3}} \leq \left\|c_{n, h}\right\|_{UAP^{k-3}}\left\|c_{n+r, h}\right\|_{UAP^{k-3}}\leq 1$

であり、帰納法の仮定により

$\displaystyle \left|\langle \overline{f}T^rf, T^{-n}(\overline{c_{n, h}}c_{n+r, h})\rangle \right| \leq \left\|\overline{f}T^rf\right\|_{U^{k-2}}\left\|T^{-n}(\overline{c_{n, h}}c_{n+r, h})\right\|_{UAP^{k-3}} \leq \left\|\overline{f}T^rf\right\|_{U^{k-2}}$

が成立する。従って、

$\begin{align}\left|\langle f, f'\rangle\right| &\leq \sqrt{\mathbb{E}_{h \in H}\left(\mathbb{E}_{n, r \in \mathbb{Z}_N}\left( \left\|\overline{f}T^rf\right\|_{U^{k-2}}\right) \right)}\\ &= \sqrt{\mathbb{E}_{r \in \mathbb{Z}_N}\left(\left\|\overline{f}T^rf\right\|_{U^{k-2}} \right)}\\ &\leq \left( \mathbb{E}_{r \in \mathbb{Z}_N}\left( \left\|\overline{f}T^rf\right\|_{U^{k-2}}^{2^{k-2}}\right) \right)^{\frac{1}{2^{k-1}}}= \left\|f\right\|_{U^{k-1}} \leq 1\end{align}$

と所望の不等式に到達する。ここで、三行目最初の不等号にはHölderの不等式を用いている。 Q.E.D.

注意 (Remark 5.11): 命題１によって、Green-Taoの論文で使うGowers反一様性ノルム $\left\|\cdot \right\|_{(U^{k-1})^{\ast}}$ に対して

$\displaystyle \left\|\cdot \right\|_{(U^{k-1})^{\ast}} \leq \left\| \cdot \right\|_{UAP^{k-2}}$

なる関係があることがわかる。

これから、命題２の証明のための準備を行います。

定義関数 $f\in \mathrm{Map}(\mathbb{Z}_N, \mathbb{C})$ に対して、 $f$ の $d$ -双対関数 $\mathcal{D}_d(f) \in \mathrm{Map}(\mathbb{Z}_N, \mathbb{C})$ を次のように帰納的に定義する:

$\mathcal{D}_0(f) := 1,$
$\mathcal{D}_d(f) := \mathbb{E}_{h \in \mathbb{Z}_N}\left(\overline{\mathcal{D}_{d-1}(\overline{f}T^hf)}T^hf\right), \quad (d \geq 1).$

$\overline{\mathcal{D}_d(f)}=\mathcal{D}_d(\overline{f})$ が成り立つことは帰納法ですぐに示せます*1。 $f$ が有界であれば $\mathcal{D}_d(f)$ も有界です。理由: 帰納法で示す。 $d=0$ のときは明らか。 $d-1$ で成り立つと仮定すると、 $\left\|\cdot \right\|_{L^{\infty}}$ の三角不等式、積閉性、複素共役不変性、シフト不変性により

$\displaystyle \left\|\mathcal{D}_d(f) \right\|_{L^{\infty}} \leq \mathbb{E}_{h \in \mathbb{Z}_N}\left( \left\|\overline{\mathcal{D}_{d-1}(\overline{f}T^hf)}\right\|_{L^{\infty}}\left\|T^hf\right\|_{L^{\infty}}\right)\leq 1$

と評価できる( $\overline{f}T^hf, \ T^hf$ は有界であることに注意)。

補題２ 任意の $f \in \mathrm{Map}(\mathbb{Z}_N, \mathbb{C})$ と $d \geq 0$ に対して

$\langle f, \mathcal{D}_d(f) \rangle = \left\|f\right\|_{U^d}^{2^d}$

が成り立つ。

証明. $d$ に関する帰納法で証明する。 $d=0$ のときは双対関数と $\left\| \cdot \right\|_{U^0}$ の定義より

$\displaystyle \langle f, \mathcal{D}_0(f) \rangle = \langle f, 1 \rangle = \int_{\mathbb{Z}_N}f = \left\|f\right\|_{U^0}$

と所望の式が成立している。 $d-1$ のときに成立すると仮定すると、

$\begin{align}\langle f, \mathcal{D}_d(f) \rangle &= \left\langle f, \mathbb{E}_{h \in \mathbb{Z}_N}\left( \overline{\mathcal{D}_{d-1}(\overline{f}T^hf)}T^hf\right) \right\rangle\\ &= \int_{\mathbb{Z}_N}f\mathbb{E}_{h \in \mathbb{Z}_N}\left( \mathcal{D}_{d-1}(\overline{f}T^hf)T^h\overline{f}\right) \\ &= \mathbb{E}_{h \in \mathbb{Z}_N}\left( \left\langle fT^h\overline{f}, \mathcal{D}_{d-1}(fT^h\overline{f})\right\rangle \right) \\ &= \mathbb{E}_{h \in \mathbb{Z}_N}\left( \left\|fT^h\overline{f}\right\|_{U^{d-1}}^{2^{d-1}}\right) \quad (\text{帰納法の仮定}) \\ &= \left\|\overline{f}\right\|_{U^d}^{2^d} = \left\|f\right\|_{U^d}^{2^d} \quad (\left\| \cdot \right\|_{U^d}\text{の複素共役不変性})\end{align}$

と変形でき、 $d$ の場合も成立することがわかる。 Q.E.D.

補題３ $\ f$ が有界で $d \geq 1$ であれば、 $\mathcal{D}_d(f) \in B(UAP^{d-1})$ が成り立つ。

証明. $d=1$ のときは $\mathcal{D}_1(f)=\mathbb{E}_{h \in \mathbb{Z}_N}(T^hf) = \int_{\mathbb{Z}_N}f$ は定数であり、 $f$ が有界であることからその絶対値は $1$ 以下。よって、 $\mathcal{D}_1(f) \in B(UAP^{0})$ である。 $d-1$ で成立すると仮定する。 $n \in \mathbb{Z}_N$ に対して

$\displaystyle T^n\mathcal{D}_d(f) = \mathbb{E}_{h \in \mathbb{Z}_N}\left(T^n\overline{\mathcal{D}_{d-1}(\overline{f}T^hf)}T^{n+h}f\right) \stackrel{n+h\mapsto h}{=}\mathbb{E}_{h \in \mathbb{Z}_N}\left(T^n\overline{\mathcal{D}_{d-1}(\overline{f}T^{h-n}f)}T^hf\right)$

であり、 $c_{n, h}:=T^n\overline{\mathcal{D}_{d-1}(\overline{f}T^{h-n}f)}, \ g_h:=T^hf$ とおく。 $\overline{f}T^{h-n}f$ は有界なので、シフト不変性、複素共役不変性、帰納法の仮定より $c_{n, h} \in B(UAP^{d-2})$ である。また、 $g_h$ は有界なので、 $\mathcal{D}_d(f) \in B(UAP^{d-1})$ であることが従う。 Q.E.D.

以上の準備のもと、命題２を証明することができます：

命題２ (Gowers一様性の欠如が導く一様概周期関数との相関性, Lemma 5.12) $k \geq 3, \ \varepsilon > 0$ とする。
$f$ が $\left\|f\right\|_{U^{k-1}} \geq \varepsilon$ を満たすような有界関数であれば、或る有界関数 $f' \in B(UAP^{k-2})$ が存在して

$\displaystyle \left|\langle f, f'\rangle\right|\geq \varepsilon^{2^{k-1}}$

が成立する。

証明. $f':=\mathcal{D}_{k-1}(f)$ とすれば、これは有界関数で、補題３より $f' \in B(UAP^{k-2})$ であり、補題２より

$\displaystyle \left|\langle f, f'\rangle\right| = \left\|f\right\|_{U^{k-1}}^{2^{k-1}}\geq\varepsilon^{2^{k-1}}$

を得る。 Q.E.D.

*1:なので、最初から $\mathcal{D}_d(f) := \mathbb{E}_{h \in \mathbb{Z}_N}\left(\mathcal{D}_{d-1}(fT^h\overline{f})T^hf\right)$ と定義した方がよい気もします。

INTEGERS

数、特に整数に関する記事。

タオのセメレディ論文の§6を読む (その二)

帰着

パラメータを固定した議論

$W$ を固定して $\alpha$ を動かす

$\delta$ 依存消去

$W$ 依存消去

タオのセメレディ論文の§6を読む (その一)

タオのセメレディ論文の§5を読む (その二)

帰着

パラメータを固定した議論

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$\delta$ 依存消去

$W$ 依存消去