芸術家の作品

$2, 5, 13$ の三つ組はどの二つをとっても掛け合わせて $1$ 引けば平方数となります*1：

$\begin{equation}\begin{split}&2\times 5-1=3^2\\ &2\times 13-1=5^2　\\ &5\times 13-1=8^2\end{split}\end{equation}$

これを四つ組には延長できないことを証明させるのが1986年の国際数学オリンピック第一問です。

証明. 自然数 $d$ が存在して、 $2d-1, 5d-1, 13d-1$ が全て平方数になったと仮定する。法 $16$ における平方剰余は $0, 1, 4, 9$ であることに注意する。 $2d-1\equiv 0, 4\pmod{16}$ なる自然数 $d$ は存在しないので、 $2d-1 \equiv 1, 9\pmod{16}$ でなければならない。そうなるのは、 $d \equiv 1, 5, 9, 13\pmod{16}$ のときである。しかしながら、 $d \equiv 5, 9\pmod{16}$ ならば $5d-1 \equiv 8, 12 \pmod{16}$ は平方非剰余、 $d \equiv 1, 13\pmod{16}$ ならば $13d-1 \equiv 12, 8\pmod{16}$ は平方非剰余となる。矛盾。 Q.E.D.

さっき、少し計算してみたら $2, 41, 61$ の３つ組も同じ性質を満たすことがわかりました：

$\begin{equation}\begin{split}&2\times 41-1=9^2 \\ &2\times 61-1=11^2 \\ &41\times 61-1=50^2\end{split}\end{equation}$

これも四つ組には延長できません。~~どなたか四つ組の例を見つけてくださるプログラマがおられると嬉しいです。~~

追記１

三つ組はサーチすればたくさん見つかるようです。

$100$ 以下の範囲では

$\begin{align}&[1, 2, 5]\\ &[1, 5, 10]\\ &[1, 5, 65]\\ &[1, 10, 17]\\ &[1, 17, 26]\\ &[1, 26, 37]\\ &[1, 37, 50]\\ &[1, 50, 65]\\ &[1, 65, 82]\\ &[2, 5, 13]\\ &[2, 13, 25]\\ &[2, 25, 41]\\ &[2, 41, 61]\\ &[2, 61, 85]\\ &[5, 10, 29]\\ &[5, 13, 34]\\ &[5, 29, 58]\\ &[5, 34, 65]\\ &[5, 58, 97]\\ &[10, 17, 53]\\ &[10, 29, 73]\\ &[13, 25, 74]\\ &[13, 34, 89]\\ &[17, 26, 85]\end{align}$