120：ディオファントスの５つ組予想

Diophantusは次のような興味深い３つ組を発見しました：

３つ組 $[ 1, 3, 8]:$

$\begin{equation}\begin{split}&1\times 3+1 = 2^2\\ &1\times 8+1 = 3^2\\ &3\times 8+1=5^2\end{split}\end{equation}$

すなわち、どの２つの数を取っても、その積に $1$ を加えれば平方数となる３つ組なのです。このような自然数の３つ組をDiophantusの３つ組と言います。

この記事だけの記号として、 $(a, b, c)$ ではなく $[a, b, c]$ と書いたら、 $a < b < c$ と仮定されているものとします（４つ以上でも同様）。

疑問：Diophantusの３つ組は無数に存在するか？

答はYes！
なんと、Diophantus自身が証明しています：

定理
$k$ を自然数とすると、 $[ k, k+2, 4k+4]$ はDiophantusの３つ組である。特に、Diophantusの３つ組は無数に存在する。

証明. 計算です：

$\begin{equation}\begin{split}&k(k+2)+1=(k+1)^2, \\ &k(4k+4)+1=(2k+1)^2, \\ &(k+2)(4k+4)+1=(2k+3)^2.\end{split}\end{equation}$

Q.E.D.

一般にDiophantusの $n$ タプルが考えられます：

定義
自然数の $n$ タプル $[ a_1, \dots, a_n ]$ がDiophantusの $n$ タプルであるとは、

$\displaystyle i \neq j \Longrightarrow {}^{\exists}b_{ij} \in \mathbb{N} \ \text{s.t.} \ a_ia_j+1=b_{ij}^2$

が成り立つときにいう。

疑問：Diophantusの４つ組は存在するか？

答はYes！これはFermatが発見しました：

４つ組 $[ 1, 3, 8, 120]:$

$\begin{equation}\begin{split}&1\times 3+1 = 2^2\\ &1\times 8+1 = 3^2\\ &3\times 8+1=5^2 \\ & 1\times 120+1=11^2 \\ &3\times 120 +1 = 19^2 \\ &8\times 120+1=31^2\end{split}\end{equation}$

これが一番有名なDiophantusの４つ組です*1。ところで、1969年にBakerとDavenportは次の定理を証明しました：

定理（Baker-Davenport）
$[ 1, 3, 8, d]$ がDiophantusの４つ組ならば $d=120$ である。

これから、特に $[ 1, 3, 8, 120]$ はDiophantusの５つ組には延長できないことがわかります。

疑問：Diophantusの４つ組は無数に存在するか？

答はYes！
Diophantusの３つ組からDiophantusの４つ組を作る手続きがあります：

定理（Arkin-Hoggatt-Straus(1979)）
$[a, b, c]$ がDiophantusの３つ組であると仮定する。すると、

$ab+1=r^2, ac+1=s^2, bc+1=t^2$

なる自然数 $r, s, t$ が一意的に定まり、

$f(a, b, c):=a+b+c+2abc+2rst$

とする。このとき、 $[ a, b, c, f(a, b, c)]$ はDiophantusの４つ組である。

証明. 単純なる計算で証明できる：

$\begin{equation}\begin{split}&af(a, b, c)+1=(at+rs)^2, \\ &bf(a, b, c)+1=(bs+rt)^2, \\ &cf(a, b, c)+1=(cr+st)^2.\end{split}\end{equation}$

Q.E.D.

定義
$[ a, b, c, f(a, b, c)]$ なる形のDiophantusの４つ組を正則なDiophantusの４つ組とよぶ。

Diophantusの５つ組はあるの？

答は恐らくNo！
すなわち、次が予想されています:

予想１（Diophantusの５つ組予想） Diophantusの５つ組は存在しない。

また、数値計算から次も予想されています：

予想２ 任意のDiophantusの４つ組は正則である。

命題予想２ $\Longrightarrow$ 予想１。

証明. 予想２が正しいと仮定して、Diophantusの５つ組 $[ a, b, c, d, e]$ が存在したと仮定する。このとき、定義から $[ a, b, c, d]$ および $[ a, b, c, e]$ はともにDiophantusの４つ組である。従って、予想２から

$\displaystyle d=f(a, b, c) = e$

となって矛盾する。 Q.E.D.

次のような先行研究があります：

定理（Dujella(2004)）
Diophantusの５つ組は有限個しか存在しない。また、Diophantusの６つ組は一切存在しない。

定理（Elsholtz-Filipin-Fujita(2013)）
Diophantusの５つ組の個数は $6.8\times 10^{32}$ 個を超えることはない。

追記: 予想１は解決宣言されています。
integers.hatenablog.com

他のDiophantus条件への一般化

以上において解説してきたDiophantusの問題の一般化がBrownおよびDujellaなどによって研究されています：

定義
$n$ を整数とする。このとき、自然数の $m$ タプル $[a_1, \dots, a_m]$ がDiophantus条件 $D(n)$ を満たすとは

$\displaystyle i \neq j \Longrightarrow {}^{\exists}b_{ij} \in \mathbb{N} \ \text{s.t.} \ a_ia_j+n=b_{ij}^2$

が成り立つときにいう。

この一般化に対して彼らは次の結果を証明しています：

定理（Brown(1985), etc.）
$n$ を $4$ で割った余りが $2$ であるならば $D(n)$ を満たす４つ組は存在しない。

定理（Dujella(1993)）
$n$ を $4$ で割った余りが $2$ でない場合、更に

$n \not \in S:= \{ -4, -3, -1, 3, 5, 8, 12, 20\}$

を満たせば $D(n)$ を満たす４つ組が必ず存在する。

一方、次の予想は非常に難しい予想のようです：

予想
$n \in S$ ならば、 $D(n)$ を満たす４つ組は存在しない。

特に、 $D(-1)$ を満たす４つ組も存在しないと予想されています。これについては、昨日の記事
integers.hatenablog.com
をご覧ください。

$D(-1)$ に関する先行結果として次が知られています；

定理（Dujella-Fuchs(2005)）
$D(-1)$ を満たす５つ組は存在しない。また、４つ組 $[a, b, c, d]$ が存在すれば、 $a=1$ である。

定理（Elsholtz-Filipin-Fujita(2013)）
$D(-1)$ を満たす４つ組の個数は $5\times 10^{60}$ 個を超えることはない。

他にも多数の先行結果が知られています。

*1:全部素数の二乗！