次の補題を証明します:
指数持ち上げ補題 を奇素数とし、で割り切れない相異なる整数がなる関係を満たすとき、任意の正整数に対してが成り立つ。
ただし、の一意的な表示に対して、と定める。
証明. として、と表す()。因数分解
の右辺の右側の因数を☆とする。Fermatの小定理により、およびが成り立つが、今 なので、
が成り立つ。すなわち、
である。このように指数をの冪のみにした上で、逐次的に回素因数分解する:
これより、次の主張を証明すれば十分であることがわかる(, として適用すればよい):
主張 を満たすようなで割れない整数に対して、が成り立つ。
しかし、で割れない数で割ってやれば、次の主張'を証明すれば十分であることがわかる:
主張' を満たすような整数に対してが成り立つ。
としよう。なので、と整数を用いて表せば
を得る。ここで、であることを使った。これで、証明は完了している。 Q.E.D.