5407：関-Bernoulli数の分子を分母で割った余り

$5407$ は $713$ 番目の素数。この記事では $5407$ が現れる数列を一つ紹介します。

オンライン整数列大辞典に載っている数列です：A180315 - OEIS

$B_n$ を関-Bernoulli数とします：関-ベルヌーイ数 - INTEGERS

$B_{2n}$ の既約分数としての分子を $N_{2n}$ 、分母を $D_{2n}$ とします( $(-1)^{n-1}N_{2n} > 0, \ D_{2n} > 0$ )。このとき、数列 $a_n$ を

$\displaystyle (-1)^{n-1}N_{2n} \equiv a_n \pmod{D_{2n}}, \ \ \ a_n \in \{1, 2, \dots, D_{2n}-1\}$

で定めます。例えば、

$\displaystyle B_{2} = \frac{1}{6}, \ B_4=-\frac{1}{30}, \ B_6=\frac{1}{42}, \ B_8=-\frac{1}{30}, \ B_{10}=\frac{5}{66}, \ B_{12}=-\frac{691}{2730}$

なので

$a_1=a_2=a_3=a_4=1, \ a_5=5, \ a_6=691$

であり、

$\displaystyle B_{14}=\frac{7}{6}, \ B_{16}=\frac{-3617}{510}, \ B_{18}=\frac{43867}{798},$

$\displaystyle 7 \equiv 1 \pmod{6}, \quad 3617 \equiv 47 \pmod{510}, \quad 43867 \equiv 775 \pmod{798}$

なので

$\displaystyle a_7=1, \ a_8=47, \ a_9=775$

となります。この数列に $a_{44}=5407$ と $5407$ が現れます:

${\small \left|N_{88}\right|=1311426488674017507995511424019311843345750275572028644296919890574047},$

$D_{88}=61410.$

${\small \begin{equation}\begin{split}&1311426488674017507995511424019311843345750275572028644296919890574047 \\ &= 61410 \times 21355259545253501188658385019041065678973298739163469211804590304 \\ &\quad + 5407.\end{split}\end{equation}}$

定義が出来たので、とりあえず $a_1$ から $a_{100}$ の値を眺めて見ましょう：

$\begin{align}a_{1}&= 1\\ a_{2}&= 1\\ a_{3}&= 1\\ a_{4}&= 1\\ a_{5}&= 5\\ a_{6}&= 691\\ a_{7}&= 1\\ a_{8}&= 47\\ a_{9}&= 775\\ a_{10}&= 41\\ a_{11}&= 17\\ a_{12}&= 691\\ a_{13}&= 1\\ a_{14}&= 59\\ a_{15}&= 12899\\ a_{16}&= 47\\ a_{17}&= 1\\ a_{18}&= 638653\\ a_{19}&= 1\\ a_{20}&= 2011\\ a_{21}&= 1\\ a_{22}&= 53\\ a_{23}&= 41\\ a_{24}&= 14477\\ a_{25}&= 5\\ a_{26}&= 83\\ a_{27}&= 775\\ a_{28}&= 59\\ a_{29}&= 53\\ a_{30}&= 22298681\\ a_{31}&= 1\\ a_{32}&= 47\\ a_{33}&= 62483\\ a_{34}&= 1\\ a_{35}&= 289\\ a_{36}&= 48540859\\ a_{37}&= 1\\ a_{38}&= 1\\ a_{39}&= 37\\ a_{40}&= 47717\\ a_{41}&= 77\\ a_{42}&= 1058237\\ a_{43}&= 1\\ a_{44}&= 5407\\ a_{45}&= 230759\\ a_{46}&= 77\\ a_{47}&= 1\\ a_{48}&= 1450679\\ a_{49}&= 1\\ a_{50}&= 4471\\ a_{51}&= 61\\ a_{52}&= 83\\ a_{53}&= 101\\ a_{54}&= 71532367\\ a_{55}&= 49\\ a_{56}&= 226439\\ a_{57}&= 1\\ a_{58}&= 89\\ a_{59}&= 1\\ a_{60}&= 971032651\\ a_{61}&= 1\\ a_{62}&= 1\\ a_{63}&= 4096615\\ a_{64}&= 47\\ a_{65}&= 589\\ a_{66}&= 1310531\\ a_{67}&= 1\\ a_{68}&= 167\\ a_{69}&= 273107\\ a_{70}&= 117419\\ a_{71}&= 1\\ a_{72}&= 965295473\\ a_{73}&= 1\\ a_{74}&= 179\\ a_{75}&= 1933427\\ a_{76}&= 1\\ a_{77}&= 17\\ a_{78}&= 522242099\\ a_{79}&= 1\\ a_{80}&= 47717\\ a_{81}&= 125527\\ a_{82}&= 113\\ a_{83}&= 161\\ a_{84}&= 1058237\\ a_{85}&= 5\\ a_{86}&= 203\\ a_{87}&= 17\\ a_{88}&= 153329\\ a_{89}&= 173\\ a_{90}&= 3452862432953\\ a_{91}&= 1\\ a_{92}&= 77\\ a_{93}&= 1\\ a_{94}&= 1\\ a_{95}&= 889\\ a_{96}&= 284482817\\ a_{97}&= 1\\ a_{98}&= 12493\\ a_{99}&= 222138827\\ a_{100}&= 216641\end{align}$

この数列を眺めていると「 $1$ が多く現れるな～」と思います。他の数についても、

$\begin{align}&a_5=a_{25}=a_{85}=5\\ &a_{11}=a_{77}=a_{87}=17\\ &a_{8}=a_{16}=a_{32}=47\end{align}$

と複数回現れています。 $691$ も $a_6$ の次に $a_{654}=691$ と現れます。

実際、次の定理が成り立ちます：

定理任意の自然数 $k$ に対して、 $a_n=a_k$ が成り立つような $n$ が無数に存在する。

最初に紹介した記事で証明したvon-Staudt－Clausenの定理を用いることによって証明することができます。

補題１ 任意の自然数 $k$ に対して、 $D_{2n}=D_{2k}$ が成り立つような自然数 $n$ が無数に存在する。

証明. $2k$ の約数を $d_1, \dots, d_r$ とし、そのうち偶数であるものが最初にくるように並び替える( $d_1, \dots, d_s$ が偶数の約数であるとする( $s < r$ ) )。また、 $d_1+1, \dots, d_s+1$ の最小の素因数をそれぞれ $p_1, \dots, p_s$ とする(等しいものがあってもよい)。そうして、奇素数 $p$ を $k$ と互いに素であり、

$\begin{equation}\begin{split}p &\equiv 1 \pmod{p_1} \\ p &\equiv 1 \pmod{p_2} \\ &\cdots \\ p &\equiv 1 \pmod{p_s} \end{split}\end{equation}$ -①

を満たすようにとる。

このとき $n:=kp$ とすれば、 $2n$ の約数は $d_1, d_2, \dots, d_r, d_1p, \dots, d_rp$ である。このうち、 $2k$ の約数とかぶらないものについては $1$ 加えると必ず合成数になる。実際、 $d_{s+1}p+1, \dots, d_rp+1$ は偶数なので素数ではない。また、 $d_1p+1, \dots, d_sp+1$ は $p$ の取り方からそれぞれ $p_1, \dots, p_s$ の倍数である( $p_1, \dots, p_s$ そのものにはならないことは明らか)。よって、von-Staudt－Clausenの定理から