Ramanujanのτ関数に関するLygeros-Rozierの定理

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において、 $|\tau (n)|$ が奇素数となるようなものをサーチしました。その際、「 $\tau (n)$ の乗法性から絶対値が素数になるような $n$ をサーチするには $n$ が素数冪のときだけを考えれば十分である。」と述べました。これは値だけをサーチしたい場合には正しい主張ですが、そのような全ての $n$ を調べたいという目的の場合には間違いとなります。というのも、もし $\tau (n) = \pm 1$ となるような $n$ が存在すれば(しかも仮に $251$ と互いに素だったと仮定すると)、 $\left|\tau (63001n)\right|$ も素数となるにも関わらず $63001n$ は素数冪ではないからです。というわけで、厳密には次の補題が必要です：

補題 $n > 1$ ならば、 $\tau (n) \neq \pm 1$ である。

証明. 乗法性から $n$ が素数冪 $p^n$ のときに考えれば十分である( $n$ は記号の乱用)。さて、 $\tau (p^n)$ を $p$ を固定して $n$ に関する数列であると考えよう。便宜的に $n$ を $1$ だけスライドして $\mathrm{LR}_p(n):= \tau (p^{n-1})$ と定義する。このとき、漸化式

$\tau (p^{n+1})=\tau (p)\tau (p^n) - p^{11}\tau (p^{n-1})$

は

$\mathrm{LR}_p(n) = \tau (p)\mathrm{LR}_p(n-1)-p^{11}\mathrm{LR}_p(n-2)$

となって、 $\mathrm{LR}_p(0):=0$ (こう定義する), $\mathrm{LR}_p(1)=1$ より $\mathrm{LR}_p(n)$ がLucas数列であることを意味する：30：Lucas数列と原始的約数 - INTEGERS

$\displaystyle \alpha_p:=\frac{\tau (p)+\sqrt{\tau (p)^2-4p^{11}}}{2}, \ \beta_p:=\frac{\tau (p)-\sqrt{\tau (p)^2-4p^{11}}}{2}$

とすると、

$\displaystyle \mathrm{LR}_p(n) = \frac{\alpha_p^n-\beta_p^n}{\alpha_p-\beta_p}$

が成り立つ。こうして、上記記事で紹介したBilu-Hanrot-Voutierの結果を適用して原始的約数をもつから $\mathrm{LR}_p(n)$ は $\pm 1$ ではないと結論付ける論法である。ところが、 $n=2, 3, 4, 6$ のときに本当に原始的約数をもたない例外ケースになっていないことを確認するのはそれなりに面倒そうである*1。 Q.E.D.

さて、証明には不満が残るものの、補題を認めれば $\tau (n)$ の絶対値が奇素数になるような $n$ は素数冪のときに限ることが分かりました。その上で、その冪指数は偶数でなければならないことを示しましたが、最初の方の数値例(最初に挙げた記事)を眺めていると $2$ ばかりが現れる一方、 $\tau(47^4)$ や $\tau (1511^6)$ のように $2$ 以外の指数も現れるようです。すると、次のような疑問が生じます。

疑問 $\tau (p^n)$ の絶対値が奇素数になるとき、 $n$ としてあり得る偶数はどのようなものか？

実は $\tau (p^8)$ の絶対値が奇素数になることはあり得ません。冪指数が大きい例としては $\tau (643^{11688}),$ $\tau (971^{15738}),$ $\tau (509^{18946}),$ $\tau (631^{32370}),$ $\tau (773^{34960})$ などが知られています。ここで、注目すべきは

$11688+1=11689$ 素数！
$15738+1=15739$ 素数！
$18946+1=18947$ 素数！
$32370+1=32371$ 素数！
$34960+1=34961$ 素数！

今回の記事のメインは次の定理を紹介することです：

定理 (Lygeros-Rozier) $\tau (n)$ の絶対値が奇素数となるのは、通常素数 $p$ と奇素数 $q$ を用いて $n=p^{q-1}$ と書けるときに限る。

通常素数については親愛なる素数7758337633へ。あなたが好きです。 - INTEGERSを参照してください。

証明. 素数 $p$ と $3$ 以上の奇数 $r$ を用いて $n=p^{r-1}$ と書けることは既に分かっている。Lucas数列の記事の命題より $d \mid r$ ならば $\mathrm{LR}_P(d) \mid \mathrm{LR}_p(r)$ なので、補題と合わせると $\mathrm{LR}_p(r)$ の絶対値が素数ならば $r$ は素数でなければならないことがわかる。
また、 $p$ が非通常素数であると仮定すると、 $p \mid \tau (p)$ なので、漸化式から $p^2 \mid \tau (p^{r-1})$ と割り切れる。これは仮定に反する。 Q.E.D.

*1:細かいが、 $n=2$ のときは例え原始的約数をもつケースだったとしても $\pm 1$ でないことだけなら簡単に分かる( $\tau (p) =\pm 2^k$ のとき、それは $\pm 1$ ではない( $k \geq 1$ ) )。 $\tau (p)=\pm m$ , $\tau (p)^2-4p^{11}=4-3m^2 \ (m > 1)$ ならば $\mathrm{LR}_p(3)$ は原始的約数をもたないケースとなるが、 $m^2-1=p^{11}$ が整数解 $m$ を持たないため、このケースは起き得ないとわかる。一方、 $\tau (p) = \pm m,$ $\tau (p)^2-4p^{11} = 4-m^2$ ( $m$ は $2$ より大きい偶数)ならば $\mathrm{LR}_p(4)$ は原始的約数をもたないケースとなるが、今度は $m^2=2(1+p^{11})$ が整数解を持たないことを示す必要があるなど面倒である。全てのケースをすっきりと証明できればこの部分を書き直したいが正直実行する気力は起きそうにない。そもそも、Lygeros-Rozierが論文にこの部分の証明を書いていないという始末である。