本日の数遊び
以下の素数は
個あります:
や
は素数ではありませんのでご注意を。このとき、
という数に着目して、
以下の素数を足し合わせると
となっています。
実は、はこのような性質を持つ最大の自然数なのです。本日は次の定理を証明することにいたしましょう。
実数に対して、
を
以下の素数の個数、
を
以下の素数の総和とします。
が成り立つような は
に限る。
定理の証明(の一例)
なので、素数定理より が十分大きい
に対して成立しないことは即座にわかる。ただし、定理を証明するにはeffectiveな評価をする必要があるため、以下にその一例を示す。
素数定理のeffective版として、次の定理を利用する(証明は当ブログでは残念ながら紹介できない)。
しばらくは、とする*1。以前も紹介したように
が成り立つので、Rosser-Schoenfeldより
と評価できる。以上
以下の整数の和は
であるが、
に対して
が成り立つ。これに注意して、アーベルの総和法を適用すると
を得る。ここで更に、例えば
が成り立つことに注意すると、
となり、
が証明された。すると、であれば*2
と下から押さえることができるが、
なので、が成り立つならば
でなければならないことが示された。
後は以下の表を見れば定理の証明が完了する。ただし、は
番目の素数までの素数の総和を表す。
Q.E.D.
追記
記事を書いた後に調べてみたところ、この問題はGolombによって雑誌Amer. Math. Month. に提出されており、1991年にMarcin E. Kuczmaという人の解答が掲載されていました。私はある程度精密な①を示してについては
以下を調べる形にまとめましたが、Marcin E. Kuczma氏の解答は
についてのより自明な評価しか用いていないにも関わらず
以下を調べればよいという形にまとまっています(Rosser-Schoenfeldを使うのは同じ)。以下にその解答を記述します。
Marcin E. Kuczmaによる証明. 問題は なる
を求めることと同値である。
番目の素数を
とすると明らかに
なので、帰納法によって
がわかる。Rosser-Schoenfeldの定理*3のうち、
を使うと、
と数値計算を合わせて、であれば
が成り立つことがわかる。よって、
であれば*4
が成り立つ。
なので、
であれば
が示された。よって、後はについて表を確認すればよい。 Q.E.D.