巨大合体ナンプレと社交数

2017年10月7, 8日に開催されたイベントMATH POWE $\mathbb{R}^{2017}$ では来場者参加型耐久企画「巨大合体ナンプレに挑戦」がありました。

こちらは、通常のナンプレを $247$ 個合体させた「巨大合体ナンプレ」で、総ヒント数 $4168$ 、総マス数 $16047$ でした。この巨大ナンプレのPDFを公式ホームページからダウンロードすることができます。

mathpower.sugakubunka.com

このイベントのニコニコ生放送は巨大合体ナンプレ完成とともに終了し、私は会場にいましたが大変感動しました。整数好きとして、 $247, 4168, 16047$ を記憶に留めておこうと思います。

素因数分解はそれぞれ

$247 = 13\times 19, \quad 4168=2^3\times 521, \quad 16047=3^2\times 1783$

です。 $521$ といえばPerrin擬素数を思い出しますが、 $1783$ といえばEulerがなくなった年が1783年です。

ところで、このブログではまだ社交数について書いたことがありませんでした。数論的関数 $s$ を $s(n):=\sigma(n)-n$ と定義します( $\sigma$ は約数総和関数)。 $s$ を繰り返し適用して、

$s(n_1)=n_2, \quad s(n_2)=n_3, \quad \dots, \quad s(n_k)=n_1$

と周期 $k$ でもとに戻るような自然数のペア $(n_1, \dots, n_k)$ を考察します。 $k=1$ のときが完全数で、 $k=2$ のときが友愛数です。そして、 $k \geq 3$ のときに社交数といいます。

1918年にPouletによって初めて社交数が発見されました。彼が発見したのは次の二つです( $k=5$ と $k=28$ )。

周期5の社交数

$\begin{align} s(12496) &= 1+ 2+ 4+ 8+ 11+ 16+ 22+ 44+ 71+ 88+ 142+ 176+ 284+ 568+ 781\\ &\quad + 1136+ 1562+ 3124+ 6248=14288 \\ s(14288) &=1+ 2+ 4+ 8+ 16+ 19+ 38+ 47+ 76+ 94+ 152+ 188+ 304+ 376+ 752\\ &\quad + 893+ 1786+3572+ 7144 =15472 \\ s(15472) &= 1+ 2+ 4+ 8+ 16+ 967+ 1934+ 3868+ 7736 =14536\\ s(14536) &=1+ 2+ 4+ 8+ 23+ 46+ 79+ 92+ 158+ 184+ 316+ 632+ 1817+ 3634\\ &\quad + 7268 =14264 \\ s(14264) &=1+ 2+ 4+ 8+ 1783+ 3566+ 7132 =12496 \end{align}$

周期28の社交数

$\begin{align} s(14316) &=1+ 2+ 3+ 4+ 6+ 12+ 1193+ 2386+ 3579+ 4772+ 7158 =19116\\ s(19116) &=1+ 2+ 3+ 4+ 6+ 9+ 12+ 18+ 27+ 36+ 54+ 59+ 81+ 108+ 118+ 162\\ &\quad + 177+ 236+ 324+ 354+ 531+ 708+ 1062+ 1593+ 2124+ 3186+ 4779\\ &\quad + 6372+ 9558 =31704\\ s(31704) &= 1+ 2+ 3+ 4+ 6+ 8+ 12+ 24+ 1321+ 2642+ 3963+ 5284+ 7926\\ &\quad + 10568+ 15852=47616\\ s(47616) &=1+ 2+ 3+ 4+ 6+ 8+ 12+ 16+ 24+ 31+ 32+ 48+ 62+ 64+ 93+ 96\\ &\quad + 124+ 128+ 186+ 192+ 248+ 256+ 372+ 384+ 496+ 512+ 744+ 768\\ &\quad + 992+ 1488+ 1536+ 1984+ 2976+ 3968+ 5952+ 7936+ 11904+ 15872\\ &\quad + 23808 =83328 \\ s(83328) &= 1+ 2+ 3+ 4+ 6+ 7+ 8+ 12+ 14+ 16+ 21+ 24+ 28+ 31+ 32+ 42+ 48\\ &\quad + 56+ 62+ 64+ 84+ 93+ 96+ 112+ 124+ 128+ 168+ 186+ 192+ 217\\ &\quad + 224+ 248+ 336+ 372+ 384+ 434+ 448+ 496+ 651+ 672+ 744+ 868\\ &\quad + 896+ 992+ 1302+ 1344+ 1488+ 1736+ 1984+ 2604+ 2688+ 2976\\ &\quad + 3472+ 3968+ 5208+ 5952+ 6944+ 10416+ 11904+ 13888+ 20832\\ &\quad + 27776+ 41664 =177792\\ s(177792) &= 1+ 2+ 3+ 4+ 6+ 8+ 12+ 16+ 24+ 32+ 48+ 64+ 96+ 128+ 192+ 384\\ &\quad + 463+ 926+ 1389+ 1852+ 2778+ 3704+ 5556+ 7408+ 11112+ 14816\\ &\quad + 22224+ 29632+ 44448+ 59264+ 88896 =295488\\ s(295488) &=1+ 2+ 3+ 4+ 6+ 8+ 9+ 12+ 16+ 18+ 19+ 24+ 27+ 32+ 36+ 38+ 48\\ &\quad + 54+ 57+ 64+ 72+ 76+ 81+ 96+ 108+ 114+ 144+ 152+ 162+ 171\\ &\quad + 192+ 216+ 228+ 243+ 288+ 304+ 324+ 342+ 432+ 456+ 486+ 513\\ &\quad + 576+ 608+ 648+ 684+ 864+ 912+ 972+ 1026+ 1216+ 1296+ 1368\\ &\quad + 1539+ 1728+ 1824+ 1944+ 2052+ 2592+ 2736+ 3078+ 3648+ 3888\\ &\quad + 4104+ 4617+ 5184+ 5472+ 6156+ 7776+ 8208+ 9234+ 10944+ 12312\\ &\quad + 15552+ 16416+ 18468+ 24624+ 32832+ 36936+ 49248+ 73872\\ &\quad + 98496+ 147744 =629072 \\ s(629072) &=1+ 2+ 4+ 8+ 16+ 39317+ 78634+ 157268+ 314536 =589786 \\ s(589786) &=1+ 2+ 294893 =294896 \\ s(294896) &=1+ 2+ 4+ 7+ 8+ 14+ 16+ 28+ 56+ 112+ 2633+ 5266+ 10532+ 18431\\ &\quad + 21064+ 36862+ 42128+ 73724+ 147448 =358336 \\ s(358336) &= 1+ 2+ 4+ 8+ 11+ 16+ 22+ 32+ 44+ 64+ 88+ 176+ 352+ 509+ 704\\ &\quad + 1018+ 2036+ 4072+ 5599+ 8144+ 11198+ 16288+ 22396+ 32576\\ &\quad + 44792+ 89584+ 179168 =418904 \\ s(418904) &=1+ 2+ 4+ 8+ 52363+ 104726+ 209452=366556 \\ s(366556) &= 1+ 2+ 4+ 91639+ 183278 =274924\\ s(274924) &=1+ 2+ 4+ 13+ 17+ 26+ 34+ 52+ 68+ 221+ 311+ 442+ 622+ 884\\ &\quad + 1244+ 4043+ 5287+ 8086+ 10574+ 16172+ 21148+ 68731+ 137462\\ &= 275444\\ s(275444) &=1+ 2+ 4+ 13+ 26+ 52+ 5297+ 10594+ 21188+ 68861+ 137722=243760 \\ s(243760) &=1+ 2+ 4+ 5+ 8+ 10+ 11+ 16+ 20+ 22+ 40+ 44+ 55+ 80+ 88+ 110\\ &\quad + 176+ 220+ 277+ 440+ 554+ 880+ 1108+ 1385+ 2216+ 2770+ 3047\\ &\quad + 4432+ 5540+ 6094+ 11080+ 12188+ 15235+ 22160+ 24376+ 30470\\ &\quad + 48752+ 60940+ 121880 =376736 \\ s(376736) &=1+ 2+ 4+ 8+ 16+ 32+ 61+ 122+ 193+ 244+ 386+ 488+ 772+ 976\\ &\quad + 1544+ 1952+ 3088+ 6176+ 11773+ 23546+ 47092+ 94184+ 188368 \\ &=381028 \\ s(381028) &=1+ 2+ 4+ 95257+ 190514=285778 \\ s(285778) &=1+ 2+ 43+ 86+ 3323+ 6646+ 142889 =152990 \\ s(152990) &=1+ 2+ 5+ 10+ 15299+ 30598+ 76495 =122410 \\ s(122410) &=1+ 2+ 5+ 10+ 12241+ 24482+ 61205 =97946 \\ s(97946) &=1+ 2+ 48973 =48976 \\ s(48976) &=1+ 2+ 4+ 8+ 16+ 3061+ 6122+ 12244+ 24488=45946 \\ s(45946) &=1+ 2+ 22973=22976 \\ s(22976) &=1+ 2+ 4+ 8+ 16+ 32+ 64+ 359+ 718+ 1436+ 2872+ 5744+ 11488 \\ &=22744 \\ s(22744) &=1+ 2+ 4+ 8+ 2843+ 5686+ 11372=19916 \\ s(19916) &=1+ 2+ 4+ 13+ 26+ 52+ 383+ 766+ 1532+ 4979+ 9958 =17716 \\ s(17716) &= 1+ 2+ 4+ 43+ 86+ 103+ 172+ 206+ 412+ 4429+ 8858 =14316\end{align}$

何故突然社交数の話をしたかというと、Pouletによる周期 $5$ の例の $5$ 数の素因数分解

$\begin{align} 12496 &= 2^4\times 11 \times 71 \\ 14288 &= 2^4 \times 19 \times 47 \\ 15472 &= 2^4 \times 967 \\ 14536&= 2^3\times 23 \times 79 \\ 14264 &= 2^3 \times 1783\end{align}$