をposetとする(反射律・推移律・反対称律を満たす)。
が局所有限であるとは、任意の
に対して
が有限集合であるときにいう。
局所有限なposet に対して、Möbius関数
を
が成り立つように定義する(に対してのみ
を定義する。
はKroneckerのデルタ。well-defined)。
定理 (Möbiusの反転公式)
を局所有限なposetとし、
を関数
とする。このとき、
が有限集合であるような
に対して
が成り立つことと
が成り立つことは同値である。
証明. が有限集合であるような
をとって固定する。
とする(
)。横ベクトル
,
-行列
を
と定義する。ここで、
である。
なので、に対する主張の同値性を
だけではなく
全てに対して同時に考えたものは
という同値性で表すことができる。これはと
が逆行列の関係にあれば成立するが、実際
なので証明が完了する。 Q.E.D.
(正整数全体集合)のときを考える。整除関係によって順序を与えると、
であるとき
が成り立つ。ここで、右辺のは通常のMöbius関数である。過去記事
実際、過去記事の補題1より、
が成り立っている。従って、この場合の定理は過去記事のMöbiusの反転公式(その一)を与える。
次に、通常の大小関係によってに順序を与えると、正整数
に対して
であり、
であれば
、
であれば
(
)がわかる。よって、定理は数列
に対して
となり()、これは望遠鏡和に他ならない。