以前、2011年にBuhlerとHarveyによって得られた非正則指数の世界記録()を紹介しましたが、今日arXivに投稿されたプレプリント
W. Hart, D. Harvey, W. Ong, Irregular primes to two billion, preprint.
において世界記録が5年ぶりに更新されたと宣言されています*1(そのプレプリント自体は非正則素数をサーチすることによって、非正則指数だけではなくKummer-Vandiver予想や岩澤不変量についても新データを与えています)。
2011年のデータについては
integers.hatenablog.com
を参照してください。
前回は以下の素数をサーチしたものでしたが、今回は以下の素数がサーチされたようです。特に、前回は非正則指数がであるような素数が5つ発見されていましたが、今回のサーチによって以下の非正則素数の中にはのものが個、のものが個、であるものが個見つかったようです。
なる
なる
とのこと。また、ということはなるがからの間に個あることになりますが、それは
だそうです。以下に、数値データを引用します:
ここで、であり、とするとき、は非正則指数がであるような素数の割合の予想値です。
ちなみに、予想値はheuristicに導出しただけなのに実際のデータが裏付けているのは個人的にはかなり衝撃的です*2。う~む、どうやったら証明できるのだろう?
ちなみにちなみに
"Depite this conclusion, we point out that it is still unknown whether there are infinitely many regular primes!"
という文章がありました。