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数、特に整数に関する記事。

1767218027:非正則指数世界記録更新!?

1767218027

以前、2011年にBuhlerとHarveyによって得られた非正則指数i(p)の世界記録(=7)を紹介しましたが、今日arXivに投稿されたプレプリント

W. Hart, D. Harvey, W. Ong, Irregular primes to two billion, preprint.

において世界記録が5年ぶりに更新されたと宣言されています(そのプレプリント自体は非正則素数をサーチすることによって、非正則指数だけではなくKummer-Vandiver予想や岩澤不変量についても新データを与えています)。

2011年のデータについては
integers.hatenablog.com
を参照してください。

前回は163577856以下の素数をサーチしたものでしたが、今回は2147483648以下の素数がサーチされたようです。特に、前回は非正則指数が7であるような素数が5つ発見されていましたが、今回のサーチによって2147483648以下の非正則素数の中にはi(p)=7のものが86個、i(p)=8のものが4個、i(p)=9であるものが1個見つかったようです。

i(p)=8なるp = 381348997, 717636389, 778090129, 1496216791

i(p)=9なるp=1767218027

とのこと。また、i(p)=9ということはB_j\equiv 0 \pmod{1767218027}なるj2から1767218024の間に9個あることになりますが、それは

\begin{equation}\begin{split} j&=63562190, 275233542, 290632386, 619227758, 902737892, \\ \ \ \ \ \ \ \ &1279901568, 1137429618, 1603159110, 1692877044\end{split}\end{equation}

だそうです。以下に、数値データを引用します:

k N_k N_k/N P_k
0 63751120 0.606590 0.606531
1 31873681 0.303277 0.303265
2 7963496 0.075772 0.075816
3 1326171 0.0126185 0.0126361
4 165211 0.00157198 0.00157951
5 16410 0.000156141 0.000157951
6 1384 0.000013169 0.000013163
7 86 0.000000818 0.000000940
8 4 0.0000000381 0.0000000588
9 1 0.0000000095 0.0000000033

ここで、N=\pi (2147483648)であり、\pi_{\text{irr}, k}(x):= \{ p \leq x \mid i(p)=k \}とするとき、N_k:=\#\pi_{\text{irr}, k}(2147483648)\displaystyle P_k=\frac{e^{-\frac{1}{2}}}{2^kk!}は非正則指数がkであるような素数の割合の予想値です。

ちなみに、予想値はheuristicに導出しただけなのに実際のデータが裏付けているのは個人的にはかなり衝撃的です*1。う~む、どうやったら証明できるのだろう?

ちなみにちなみに

"Depite this conclusion, we point out that it is still unknown whether there are infinitely many regular primes!"

という文章がありました。

*1:つまり、heuristicな議論における仮定が妥当だと思える理論的根拠が皆目見当つかない。