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数、特に整数に関する記事。

ディクソンの恒等式

Dixonの恒等式 (1891/1903) 非負整数a, b, cに対し、
\displaystyle \sum_{k=-a}^a(-1)^k\binom{a+b}{a+k}\binom{b+c}{b+k}\binom{c+a}{c+k} = \frac{(a+b+c)!}{a!b!c!}
が成り立つ。

a=b=c=nとおくと、

mathtrain.jp

で紹介されている

\displaystyle \sum_{k=-n}^n(-1)^k\binom{2n}{n+k}^3 = \frac{(3n)!}{(n!)^3}

となります。

正整数jに対して、多項式 \binom{x}{j}

\displaystyle \binom{x}{j} := \frac{x(x-1)\cdots (x-j+1)}{j!}

で定義します。\binom{x}{j}x=0, 1, \dots, j-1を根に持つj次の多項式です。

証明*1. m, rを非負整数とする。多項式P(x)

\displaystyle P(x) := (-1)^r\binom{x}{r}\binom{x+m+r}{m+r}

と定義する。このとき、P(x)m+2r個の整数 x=-m-r, -m-r-1, \dots, r-1を根に持つm+2r次の多項式である。

理由: \binom{x}{r}x=0, 1, \dots, r-1を根に持つr次の多項式であり、\binom{x+m+r}{m+r}x=-m-r, -m-r+1, \dots, -1を根に持つm+r次の多項式であることからわかる

次に、多項式 Q(x)

\displaystyle Q(x) := \sum_{k=0}^{2r}(-1)^k\binom{m+2r}{m+k}\binom{x}{k}\binom{x+m}{m+2r-k}

と定義する。このとき、Q(x)m+2r個の整数 x=-m-r, -m-r-1, \dots, r-1を根に持つm+2r次の多項式である。

理由:k毎に \binom{x}{k}k次、\binom{x+m}{m+2r-k}m+2r-k次、よって \binom{x}{k}\binom{x+m}{m+2r-k}m+2r次である。よって、Q(x)m+2r次。根については3通りに場合分けして確認しよう。

x=0, 1, \dots, r-1の場合: このような非負整数xを固定して、各kに対してkに関する項

\displaystyle (-1)^k\binom{m+2r}{m+k}\binom{x}{k}\binom{x+m}{m+2r-k}

が消えていることを確認する。

x < kの場合:
\ \binom{x}{k}=0である。

x\geq kの場合:
x+k \leq 2x < 2rなのでx < 2r-kであり、x+m < m+2r-kである。これは、\binom{x+m}{m+2r-k}=0を意味している。

x=-m, -m+1, \dots, -1の場合:
同様にx, kを固定するとき、0 \leq x+m < m \leq m+2r-kなので \binom{x+m}{m+2r-k}=0であり、Q(x)=0

x=-m-r, -m-r+1, \dots, -m-1の場合:
x=-y-1とおくと、y=m, m+1, \dots, m+r-1である。

\begin{align} \binom{x}{k} &= \binom{-y-1}{k} \\
&= \frac{(-y-1)(-y-2)\cdots (-y-k)}{k!}\\ &= (-1)^k\frac{(y+k)(y+k-1)\cdots (y+1)}{k!} \\
&=(-1)^k\binom{y+k}{k}\end{align}

および

\begin{align} \binom{x+m}{m+2r-k} &= \binom{-y+m-1}{m+2r-k} \\
&= \frac{(-y+m-1)(-y+m-2) \cdots (-y-2r+k)}{(m+2r-k)!} \\
&= (-1)^{m+2r-k}\frac{(y+2r-k)(y+2r-k-1)\cdots (y-m+1)}{(m+2r-k)!} \\
&= (-1)^{m-k}\binom{y+2r-k}{m+2r-k}\end{align}

より

\displaystyle Q(x) = \sum_{k=0}^{2r}(-1)^{m-k}\binom{m+2r}{m+k}\binom{y+k}{k}\binom{y+2r-k}{m+2r-k}

と書き換えられる。以下、整数m \leq y < m+rを固定する。整数k-m \leq k < 0を満たしているとすると、0 \leq y+k \leq y-1であることから

\displaystyle \binom{y+k}{k} = \binom{y+k}{y} = \frac{(y+k)(y+k-1)\cdots (k+1)}{y!} = 0

となる。これより、

\begin{align} Q(x) &= \sum_{k=-m}^{2r}(-1)^{k-m}\binom{m+2r}{m+k}\binom{y+k}{y}\binom{y+2r-k}{y-m}\\
&= \sum_{l=0}^{m+2r}(-1)^l\binom{m+2r}{l}\binom{y-m+l}{y}\binom{y+m+2r-l}{y-m}\end{align}

と変形できる。ここで、\binom{y-m+l}{y}\binom{y+m+2r-l}{y-m}lに関する多項式だと思えば、それはy+(y-m)=2y-m次である。2y-m < m+2rなので

\displaystyle \binom{y-m+l}{y}\binom{y+m+2r-l}{y-m} = \sum_{i=0}^{m+2r-1}a_il^i

と書ける*2。よって、

\displaystyle Q(x) = \sum_{i=0}^{m+2r-1}a_i\left\{\sum_{l=0}^{m+2r}(-1)^l\binom{m+2r}{l}l^i\right\}

を得る。

\displaystyle \sum_{l=0}^{m+2r}(-1)^l\binom{m+2r}{l}l^i=0

なので*3、結局 Q(x)=0 が示された

また、x=rのときを考えると、k > r ならば \binom{r}{k}=0であるし、0 \leq k < r ならば r+m < m+2r-k なので \binom{r+m}{m+2r-k}=0 である。すなわち、

\displaystyle Q(r) = (-1)^r\binom{m+2r}{m+r} = P(r)

が成り立つ。以上によって、P(x)Q(x)は次数より一つ多いm+2r+1個の相異なる数で値を共有していることが判明し、P(x) \equiv Q(x)であることが示された:

\displaystyle \sum_{k=0}^{2r}(-1)^k\binom{m+2r}{m+k}\binom{x}{k}\binom{x+m}{m+2r-k} = (-1)^r\binom{x}{r}\binom{x+m+r}{m+r} −(⭐︎)

a, b, c が与えられたときに

  • x=c+a
  • x+m=b+c
  • m+2r=a+b

となるように x, m, r を選ぶ(m=b-a \equiv a+b \pmod{2}であることに注意)。このとき、(⭐︎)の左辺は

\begin{align} &\sum_{k=0}^{2a}(-1)^k\binom{a+b}{b-a+k}\binom{c+a}{k}\binom{b+c}{a+b-k} \\
&= \sum_{k=-a}^a(-1)^{a+k}\binom{a+b}{b+k}\binom{c+a}{a+k}\binom{b+c}{b-k} \\
&= (-1)^a\sum_{k=-a}^a(-1)^k\binom{a+b}{a-k}\binom{b+c}{b-k}\binom{c+a}{c-k} \\
&=(-1)^a\sum_{k=-a}^a(-1)^k\binom{a+b}{a+k}\binom{b+c}{b+k}\binom{c+a}{c+k}\end{align}

となり、(⭐︎)の右辺は

\displaystyle (-1)^a\binom{c+a}{a}\binom{a+b+c}{b} = (-1)^a\frac{(c+a)!}{a!c!}\frac{(a+b+c)!}{b!(a+c)!} = (-1)^a\frac{(a+b+c)!}{a!b!c!}

となる。 Q.E.D.

*1:Victor J. W. Guoによる。

*2:定数a_iy, m, rに依って定まるが、記号が煩雑になるので明示しない。重要なのはlに依らないこと。

*3:0 \leq j < nであれば、

\displaystyle \sum_{k=0}^n(-1)^k\binom{n}{k}k^j=0
である。これは、
\displaystyle \left( x\frac{d}{dx} \right)^j(1+x)^n=\sum_{k=0}^nk^j\binom{n}{k}x^k
であり、
\displaystyle \left. \left( x\frac{d}{dx} \right)^j(1+x)^n \right|_{x=-1} = 0
0 \leq j < n で成り立つことからわかる。