相異なるr個の素数の積で表されるような数の個数に関するラマヌジャンの不等式

半素数の記事で $\pi_{\text{半}}(x)$ を導入しましたが、 $\pi_2(x)$ を $x$ 以下の相異なる二つの素数の積として表せる数の個数とすると

$\pi_{\text{半}}(x)= \pi_2(x)-\pi (\sqrt{x})$

が成り立つため314：半素数 - INTEGERSで示した漸近公式より

$\displaystyle \pi_2(x) \sim \frac{x\log \log x}{\log x}$

が成り立つことが分かります。実はこれは次のように拡張されます：

定理 (Landau) $x > 0$ 、 $r$ は正の整数とし、 $\pi_r(x)$ を $x$ 以下の相異なる $r$ 個の素数の積として表せる数の個数とすると、

$\displaystyle \pi_r (x) \sim \frac{x}{\log x}\frac{(\log \log x)^{r-1}}{(r-1)!}$

が成り立つ。

この定理の証明は紹介しませんが*1、Ramanujanは素数定理を用いることなく、初等的な手法で次の不等式を証明しています*2：

定理 $x, r$ に依らない定数 $k, c$ が存在して、 $r \geq 1, x \geq 2$ に対して不等式

$\displaystyle \pi_r (x) < \frac{kx}{\log x}\frac{(\log \log x+c)^{r-1}}{(r-1)!}$

が成り立つ。

証明. $r=1$ の場合はChebyshevの定理より $c$ によらずに成立することがわかる。さて、Mertensの第一・第二定理

メルテンスの第一定理 - INTEGERS
メルテンスの第二定理 - INTEGERS

より、ある定数 $B, H > 0$ が存在して

$\displaystyle \sum_{p \leq x}\frac{\log p}{p} < H\log x,\quad \sum_{p \leq x}\frac{1}{p} < \log \log x + B$

が成立する(証明をよく見直せば全ての $x \geq 2$ で言えることがわかる)。このとき、 $c > B+H$ を満たす $c$ に対して主張が成り立つことを $r$ に関する帰納法で証明する。

$p^2 \leq x$ なる素数 $p$ に対して、 $x$ 以下の自然数であって

$pq_1 q_2 \cdots q_r$

と書ける数をカウントする。ただし、 $q_1 < \dots < q_r$ は素数で、 $q_r \geq p$ を満たすものとする。このような数の個数は

$\displaystyle \pi_r\left( \frac{x}{p} \right)$

を超えない。 $p^2 \leq x$ なる素数を動かしてカウントすると(積が同じ自然数となっても別々に数える)、そのカウント総数は

$\displaystyle \sum_{p^2 \leq x}\pi_r \left( \frac{x}{p} \right)$

を超えないことになる。

次に、 $\omega_1 < \omega_2 < \dots < \omega_{r+1}$ なる素数を用いて

$\omega_1 \omega_2 \cdots \omega_{r+1} \leq x$

と書ける数をカウントすることにする*3。このような数 $\omega_1 \omega_2 \cdots \omega_{r+1}$ は先ほどのカウントにおいて少なくとも $r$ 回カウントされている( $1 \leq i \leq r$ に対して $\omega_i$ を $p^2 \leq x$ なる素数とみる)。以上の考察から、

$\displaystyle r\pi_{r+1}(x) \leq \sum_{p^2 \leq x}\pi_r \left( \frac{x}{p} \right)$

なる不等式が得られた。 $r$ のときに主張が成り立つと仮定すると( $c$ は $c > B+H$ であるようにとって固定)、

$\displaystyle \pi_{r+1}(x) \leq \frac{1}{r} \sum_{p^2 \leq x}\pi_r \left( \frac{x}{p} \right) < \frac{kx}{r!}\sum_{p^2 \leq x}\frac{1}{p\log \frac{x}{p}}\left( \log \log \frac{x}{p}+c \right)^{r-1} < \frac{kx(\log \log x+c)^{r-1}}{r!}\sum_{p^2 \leq x}\frac{1}{p\log \frac{x}{p}}$

と評価できる。 $\log p \leq \frac{1}{2}\log x$ であるから、

$\displaystyle \frac{1}{\log x-\log p} = \frac{1}{\log x}+\frac{\log p}{\log^2x}\left( 1+ \frac{\log p}{\log x}+\cdots \right) \leq \frac{1}{\log x} + \frac{2\log p}{\log^2x}.$

従って、

$\displaystyle \sum_{p^2 \leq x}\frac{1}{p\log \frac{x}{p}} \leq \frac{1}{\log x}\sum_{p^2 \leq x}\frac{1}{p} + \frac{2}{\log^2 x}\sum_{p^2 \leq x}\frac{\log p}{p} < \frac{\log \log x+B}{\log x} + \frac{H}{\log x} < \frac{\log \log x+c}{\log x}$

となって、 $r+1$ のときも主張が成立することが示された。 Q.E.D.

*1:書きました： integers.hatenablog.com

*2:S. Ramanujan, The normal number of prime factors of a number $n$ , Quarterly Journal of Mathematics, XLVIII, 1917, 76 – 92. なお、 $x\geq 2$ で成り立つ不等式を示しているため、必ずしもLandauの定理より弱いとは言えない。

*3:素数を $\omega_i$ と書くのは普通ではないですが、Ramanujanがそうしていたので真似ることにします。