前の記事では一様概周期関数に対して良い上の
-加法族が存在することを示しましたが、この記事では複数の一様概周期関数によって生成される
上の
-加法族について議論します。
,
が存在して、
と書けるときにいう(の場合は
)。また、
-コンパクトな
上の
-加法族
の(
-)複雑度を上記定義によって存在する
の最小値とする。
-コンパクトでない
-加法族の
-複雑度は
と定義します。
証明. のときを示せば十分(一般の場合は帰納法)*1。 三角不等式と
より
と評価できる。 Q.E.D.
コンパクトな-加法族上可測な関数であれば、一様概周期関数による良い近似が存在します:
証明. に対して定義によって存在するデータ1. 2. 3. をとり、
のアトムからなる集合を
とする。複雑度
の場合は自明なので、
としてよい。このとき、§6を読む(その一)の補題4及び§6を読む(その二)の命題により
である。これに注意すれば、§6を読む(その二)の命題の証明と全く同じ理由で (
は
のアトム)の場合に帰着される。
を固定すると、§6を読む(その一)の補題4より
のアトム
が存在して
と書ける。また、§6を読む(その二)の命題によって、各に対して非負値有界関数
が存在して
が成り立つ。そこで、 としよう。これは明らかに非負値有界関数。
の積閉性より
であり
が成立する。補題より
という評価が成り立つので、①と-ノルムの定義・三角不等式より
が得られ、証明が完了する。 Q.E.D.
*1:ここに紹介する証明は松森先生によります。私は最初次のように証明していました:のとき。
に注意する。
及び
なので
のとき。
及び
なので
及び
なので