タオのセメレディ論文の§6を読む (その三)

前の記事では一様概周期関数に対して良い $\mathbb{Z}_N$ 上の $\sigma$ -加法族が存在することを示しましたが、この記事では複数の一様概周期関数によって生成される $\mathbb{Z}_N$ 上の $\sigma$ -加法族について議論します。

定義 (Definition 6.4) 整数 $d \geq 0$ に対して、 $\mathbb{Z}_N$ 上の $\sigma$ -加法族 $\mathcal{B}$ が $d$ -コンパクトであるとは

$\displaystyle X \geq 0, \ 0 \leq r \leq X \quad (X , \ r \in \mathbb{Z})$ ,
$\displaystyle \frac{1}{X+1} \leq \varepsilon_1, \dots, \varepsilon_r \leq 1,$
$G_1, \dots, G_r \in UAP^{d} \quad \left(\left\|G_j\right\|_{UAP^d}\leq X \ (1 \leq j \leq r)\right)$

が存在して、

$\displaystyle \mathcal{B}=\mathcal{B}_{\varepsilon_1}(G_1)\vee \cdots \vee \mathcal{B}_{\varepsilon_r}(G_r)$

と書けるときにいう( $r=0$ の場合は $\mathcal{B}=\{\emptyset, \mathbb{Z}_N\}$ )。また、 $d$ -コンパクトな $\mathbb{Z}_N$ 上の $\sigma$ -加法族 $\mathcal{B}$ の( $d$ -)複雑度を上記定義によって存在する $X$ の最小値とする。

$d$ -コンパクトでない $\sigma$ -加法族の $d$ -複雑度は $\infty$ と定義します。

補題 $n$ を正の整数とする。 $1 \leq j \leq n$ に対する実数 $0 \leq a_j, b_j \leq 1$ に対して、不等式

$\displaystyle \left| \prod_{j=1}^na_j-\prod_{j=1}^nb_j \right| \leq \sum_{j=1}^n\left|a_j-b_j\right|$

が成立する。

証明. $n=2$ のときを示せば十分(一般の場合は帰納法)*1。三角不等式と $\left|b_1\right|, \left|a_2\right| \leq 1$ より

$\begin{align} \left|a_1a_2-b_1b_2\right| &= \left|\det\begin{pmatrix}a_1 & b_1 \\ b_2 & a_2\end{pmatrix}\right|= \left|\det\begin{pmatrix}a_1-b_1 & b_1 \\ b_2-a_2 & a_2\end{pmatrix}\right| \\ &\leq \left|a_1-b_1\right| \left|a_2\right|+\left|b_1\right|\left|a_2-b_2\right| \leq \left|a_1-b_1\right|+\left|a_2-b_2\right|\end{align}$

と評価できる。 Q.E.D.

コンパクトな $\sigma$ -加法族上可測な関数であれば、一様概周期関数による良い近似が存在します：

命題 (コンパクト $\sigma$ -加法族における一様概周期関数の稠密性, Proposition 6.6) $d \geq 0, \ X \geq 0$ を整数、 $0 < \delta \leq 1$ を実数とする。 $\mathcal{B}$ を複雑度が高々 $X$ の $d$ -コンパクトな $\mathbb{Z}_N$ 上の $\sigma$ -加法族とし、 $f$ を非負値有界 $\mathcal{B}$ -可測関数とする。このとき、非負値有界関数 $f_{UAP} \in UAP^d$ が存在して、

$\displaystyle \left\|f-f_{UAP}\right\|_{L^2} \leq \delta$

かつ

$\displaystyle \left\|f_{UAP}\right\|_{UAP^d} \ll_{\delta, X} 1$

が成り立つ。

証明. $\mathcal{B}$ に対して定義によって存在するデータ1. 2. 3. をとり、 $\mathcal{B}$ のアトムからなる集合を $\mathrm{Atom}(\mathcal{B})$ とする。複雑度 $0$ の場合は自明なので、 $r \geq 1$ としてよい。このとき、§6を読む(その一)の補題４及び§6を読む(その二)の命題により

$\displaystyle \#\mathrm{Atom}(\mathcal{B}) \leq \prod_{j=1}^r\#\mathrm{Atom}\left(\mathcal{B}_{\varepsilon_j}(G_j)\right) = \prod_{j=1}^rO_{X, \varepsilon_j}(1) = O_X(1)$

である。これに注意すれば、§6を読む(その二)の命題の証明と全く同じ理由で $f=\mathbf{1}_A$ ( $A$ は $\mathcal{B}$ のアトム)の場合に帰着される。 $A \in \mathrm{Atom}(\mathcal{B})$ を固定すると、§6を読む(その一)の補題４より $\mathcal{B}_{\varepsilon_j}(G_j)$ のアトム $A_j$ が存在して

$A=A_1 \cap \cdots \cap A_r$ −①

と書ける。また、§6を読む(その二)の命題によって、各 $1 \leq j \leq r$ に対して非負値有界関数 $f_{UAP}^{(j)} \in UAP^d$ が存在して

$\displaystyle \left\|\mathbf{1}_{A_j}-f_{UAP}^{(j)}\right\|_{L^2} \leq \frac{\delta}{r}, \quad \left\|f_{UAP}^{(j)}\right\|_{UAP^d} = O_{\frac{\delta}{r}, \varepsilon_j, X}(1) = O_{\delta, X}(1)$

が成り立つ。そこで、 $\displaystyle f_{UAP}:=\prod_{j=1}^rf_{UAP}^{(j)}$ としよう。これは明らかに非負値有界関数。 $UAP^d$ の積閉性より $f_{UAP} \in UAP^d$ であり

$\displaystyle \left\|f_{UAP}\right\|_{UAP^d} \leq O_{\delta, X}(1)^r = O_{\delta, X}(1)$

が成立する。補題より

$\displaystyle \left|\prod_{j=1}^r\mathbf{1}_{A_j}-\prod_{j=1}^rf_{UAP}^{(j)}\right| \leq \sum_{j=1}^r\left|\mathbf{1}_{A_j}-f_{UAP}^{(j)}\right|$

という評価が成り立つので、①と $L^2$ -ノルムの定義・三角不等式より

$\begin{align} \left\|\mathbf{1}_{A}-f_{UAP}\right\|_{L^2} &= \left\|\prod_{j=1}^r\mathbf{1}_{A_j}-\prod_{j=1}^rf_{UAP}^{(j)}\right\|_{L^2} \leq \left\|\sum_{j=1}^r\left|\mathbf{1}_{A_j}-f_{UAP}^{(j)}\right|\right\|_{L^2} \\ &\leq \sum_{j=1}^r\left\|\mathbf{1}_{A_j}-f_{UAP}^{(j)}\right\|_{L^2} \leq r\times \frac{\delta}{r} = \delta\end{align}$

が得られ、証明が完了する。 Q.E.D.

*1:ここに紹介する証明は松森先生によります。私は最初次のように証明していました： $a_1 \geq b_1, \ a_2 \geq b_2$ のとき。 $a_1a_2 \geq b_1b_2$ に注意する。 $0 \geq a_1-1 \geq b_1-1$ 及び $0 \geq a_2-1 \geq b_2-1$ なので