Carlitzの恒等式

$B_n$ は関-Bernoulli数*1とする。このとき、次の恒等式が成り立つ：

$\displaystyle (-1)^m\sum_{k=0}^m\binom{m}{k}B_{n+k}=(-1)^n\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}B_{m+k}.$

証明*2. 次のように母関数を計算する：

$\begin{align} \sum_{m, n=0}^{\infty}(-1)^m\sum_{k=0}^m\binom{m}{k}B_{n+k}\frac{x^my^n}{m!n!} &=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{y^n}{n!}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{B_{n+k}}{k!}\sum_{m=k}^{\infty}\frac{(-x)^m}{(m-k)!}\\ &=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{y^n}{n!}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{B_{n+k}}{k!}(-x)^ke^{-x} \\ &=e^{-x}\sum_{l=0}^{\infty}\frac{B_l}{l!}\sum_{k=0}^l\binom{l}{k}(-x)^ky^{l-k} \\ &=e^{-x}\sum_{l=0}^{\infty}\frac{B_l}{l!}(y-x)^l \\ &=e^{-x}\frac{y-x}{e^{y-x}-1}\\ &=\frac{y-x}{e^y-e^x} \end{align}$

これは $x$ と $y$ の入れ替えで不変である。 Q.E.D.

*1:この記事では $B_1=-1/2$ .

*2:by Prodinger.

INTEGERS

数、特に整数に関する記事。

Carlitzの恒等式