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数、特に整数に関する記事。

61:正則素数に関するSiegel予想と非正則指数

61

61e^{-\frac{1}{2}}に最も近い整数。なお、正則素数である。

Siegelの予想

正則素数の無限性は未解決ですが、素数全体における割合がe^{-\frac{1}{2}}、すなわち約61%であると予想されています(Siegelの予想)。
tsujimotter氏の記事
tsujimotter.hatenablog.com
において

Wikipedia の情報によると Siegel が1964年に「正則素数の割合は全体のe^{−\frac{1}{2}}である」と予想しているそうです。予想の根拠が気になります。

と書かれています。根拠の1つはデータなのですが、データだけでeが出てくることまでは普通は予想できませんよね。確かに気になります。というわけで、この記事ではheuristicな議論によって、どうしてe^{-\frac{1}{2}}が出てくるかをなんとなく理解してみましょう。

ちなみに、e^{-\frac{1}{2}}=0.6065306\cdotsですが、40000000以下の素数における正則素数の割合は0.605866だそうです。

正則素数が関係する過去の記事を紹介しておきます:
integers.hatenablog.com
integers.hatenablog.com
integers.hatenablog.com
integers.hatenablog.com

e^xの極限公式

\displaystyle e^x = \lim_{n \to \infty} \left( 1+\frac{x}{n} \right)^n.

反復試行の確率

忘れた方は例えば
反復試行の確率の公式といろんな例題 | 高校数学の美しい物語
で復習してみましょう。

非正則指数

pが非正則素数\Longleftrightarrow B_2, \dots, B_{p-3}のいずれかをpが割り切る。

でした(B_jは関-Bernoulli数。過去の記事ではB_jではなく、既約分数表示した際の分子N_jと書いていました。面倒なので、今後はB_jを用います。これは、\mathbb{Z}_{(p)}で合同式を考えることによって正当化されます。なお、B_j \ (2 \leq j \leq p-3)\mathbb{Z}_{(p)}の元であることはVon-Staudt-Clausenの定理から分かります)。そして、非正則素数でないような素数のことを正則素数と言いました。今回は更に踏み込んで、素数pに対して非正則指数i(p)を導入しましょう:

i(p) := \# \{ j \mid 2 \leq j \leq p-3, p \mid B_j \}

つまり、i(p)=0 \Longleftrightarrow正則素数であり、i(p)\geq 1 \Longleftrightarrow非正則素数です。i(p)が大きい程、高度に非正則であると考えることが出来ます。

このとき、Siegelの予想は次のように拡張できます:

予想 素数全体集合における非正則指数がnであるような素数の割合d(n)
\displaystyle d(n)=\frac{e^{-\frac{1}{2}}}{2^nn!}
であろう。

この予想において、n=0とした場合(d(0)=e^{-\frac{1}{2}})がSiegelの予想です。次の節で、この予想をheuristicな議論で導いてみましょう。

Heuristicな議論

素数pに対して、B_jpの倍数である確率は1/pと見做すことにします。そうすると、i(p)=nとなる確率P_{i(p)=n}は反復試行の確率を用いて

\displaystyle P_{i(p)=n}=\binom{\frac{p-3}{2}}{n}\left( 1-\frac{1}{p} \right)^{\frac{p-3}{2}-n}\left( \frac{1}{p} \right)^n

と求めることができます。そして、極限値\displaystyle \lim_{p \to \infty}P_{i(p)=n}が存在すれば、十分大きい全ての素数pについてi(p)=nとなる確率はその値であると考えてもある程度妥当だと思えます。そして、その値をd(n)と見做すことも妥当です。

\displaystyle \binom{\frac{p-3}{2}}{n}\left( 1-\frac{1}{p} \right)^{\frac{p-3}{2}-n}\left( \frac{1}{p} \right)^n = \frac{{}_{\frac{p-3}{2}}P_n}{n!}\left( 1-\frac{1}{p} \right)^{\frac{p}{2}}\left( 1-\frac{1}{p} \right)^{-\frac{3}{2}}\frac{1}{(p-1)^n}

において、

\displaystyle \lim_{p \to \infty}\left( 1 - \frac{1}{p}\right)^{\frac{p}{2}} = e^{-\frac{1}{2}}\displaystyle \lim_{p \to \infty} \left( 1-\frac{1}{p} \right)^{-\frac{3}{2}} =1

であり、

\begin{equation}\begin{split} {}_{\frac{p-3}{2}}P_n &:= \frac{p-3}{2}\left( \frac{p-3}{2}-1 \right) \cdots \left( \frac{p-3}{2}-n+1 \right) \\ &= \left( \frac{p-1}{2}-1 \right) \left( \frac{p-1}{2}-2 \right) \cdots \left( \frac{p-1}{2} - n \right) \end{split}\end{equation}

なので、

\displaystyle \frac{{}_{\frac{p-3}{2}}P_n}{(p-1)^n} = \left( \frac{1}{2}-\frac{1}{p-1} \right) \left( \frac{1}{2}-\frac{2}{p-1} \right) \cdots \left( \frac{1}{2}-\frac{n}{p-1} \right) \longrightarrow \frac{1}{2^n} \ (p \to \infty )

得ます。よって、

\displaystyle \lim_{p \to \infty}P_{i(p)=n} = \frac{e^{-\frac{1}{2}}}{2^nn!}

と予想値が得られました*1

*1:この論法をSiegelの予想(n=0)のときに限って書き下すととても簡単にe^{-\frac{1}{2}}が出ることが分かります。