インテジャーズ

読者です 読者をやめる 読者になる 読者になる

インテジャーズ

数、特に整数に関する記事。

数列lcm[1,2,…,n]のgrowthと素数定理

今回は2つの数列を紹介します(両数列とも数値例を最後の方に掲載しています)。

一つ目は数列\{d_n\}。自然数nに対して1, 2, \dots, nの最小公倍数をd_nと定義します:

\displaystyle d_n := \mathrm{lcm}[ 1, 2, \dots, n].


二つ目はSylvester数列です。これは、s_1:=2

\displaystyle s_{n+1} := s_1s_2\cdots s_n + 1

で定義される数列\{s_n\}です。

Sylvester数列については思い出深い話があるのですが、それについては別の記事で紹介します。今回は脇役です。

定義式がEuclid数の定義に似ていますが、Sylvester数列を用いて素数の無限性を証明することもできます。

Sylvester数列を用いた素数の無限性証明
定義式よりn < mならばs_m \equiv 1 \pmod{s_n}が成り立つので、特にs_ns_mは互いに素である。よって、\{s_n\}_{n=1}^{\infty}の素因数を一つずつ取っていけば素数が無数に得られる。

integers.hatenablog.com
integers.hatenablog.com

Sylvester数列は次の漸化式でも定義できます(s_1=2は当然同じ):

s_{n+1}=s_n(s_n-1)+1=s_n^2-s_n+1

一方の漸化式から他方を導出するのは簡単です。

Sylvester数列の成長スピードは二重指数関数的に成長しますが、次は容易に分かります:

補題1 \ n\geq 3のとき、s_n > 2^{2^{n-2}}+1が成り立つ。

証明. nに関する帰納法で示す。s_3=7 > 2^{2^{1}}+1である。nのときに成立すると仮定すると、

s_{n+1}=s_n(s_n-1)+1 > (s_n-1)^2+1 > (2^{2^{n-2}})^2+1=2^{2^{n-1}}+1

n+1のときも成立することがわかる。 Q.E.D. 

また、Sylvester数列は1のエジプト分数分解を無数に提供します:

命題1 任意の自然数Nに対して
\displaystyle 1 = \sum_{n=1}^N\frac{1}{s_n}+\frac{1}{s_{N+1}-1}
が成り立つ。

証明. 漸化式より

\displaystyle \frac{1}{s_{n+1}-1} = \frac{1}{s_n(s_n-1)} = \frac{1}{s_n-1}-\frac{1}{s_n}

と分解できるので、次のように望遠鏡和の変形が行える:

\displaystyle \sum_{n=1}^N\frac{1}{s_n} = \sum_{n=1}^N\left( \frac{1}{s_n-1}-\frac{1}{s_{n+1}-1}\right) = 1-\frac{1}{s_{N+1}-1}.
Q.E.D.

例)\ \ \ \ \ \ \displaystyle 1=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{7}+\frac{1}{43}+\frac{1}{1806}.

\displaystyle \lim_{n \to \infty}s_n=\inftyなので、次の系が得られます:

系1 \ \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{s_n} = 1.

integers.hatenablog.com
integers.hatenablog.com

d_nのgrowthと素数定理

明らかにd_n=O(n!)ですが、実際には指数関数のオーダーで成長します:

定理 次の極限公式が成り立つ:
\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{\log d_n}{n}=1.
また、任意の正の数\varepsilon > 0に対して
\displaystyle d_n < e^{(1+\varepsilon)n}
が十分大きいnに対して成り立つ。

証明. n > 1を考える。nが素数pの冪乗、すなわちn=p^kであったとする(kは自然数)。このとき、n未満の自然数にはp^kの倍数はないがp^{k-1}の倍数はあるので、pと互いに素な自然数mが存在して

\displaystyle d_{n-1}=p^{k-1}m

と書ける。このとき、

\displaystyle d_n=p^km

となるので、

\displaystyle \log d_n-\log d_{n-1} = \log p

を得る。一方、nが素数冪でない場合を考える。このとき、n=ab0 < a, b < nを満たす互いに素な整数a, bを用いてnを分解できる。a \mid d_{n-1}およびb \mid d_{n-1}であるため、互いに素であるという条件からn \mid d_nが分かる。すなわち、このケースでは

\displaystyle d_n = d_{n-1}

が成り立つ。従って、n > 1に対して

\displaystyle \log d_n- \log d_{n-1} = \Lambda (n)

が成立する。ここで、\Lambda (n)はVon-Mangoldt関数である:

integers.hatenablog.com

よって、望遠鏡和をとることによって

\displaystyle \psi (n) = \sum_{k \leq n}\Lambda (k) = \log d_n

が得られる。ここで、\psi(n)については

integers.hatenablog.com
を参照せよ。Chebyshevの定理の記事で示したように素数定理は

\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{\psi(n)}{n}=1

と同値であるから、前半の証明が終わる*1。たった今証明した極限公式を用いれば、任意の正の数\varepsilonに対して

\displaystyle \frac{\log d_n}{n} < 1+\varepsilon

が十分大きいnに対して成立することがわかる。これを言い換えると後半の主張になる。 Q.E.D.

証明を見れば分かるように、前半の極限公式は素数定理と同値です*2

この定理は無理数性証明などで活躍することがあるのですが、実際には次の系で十分であることが多いです:

系2 十分大きいnに対して、\displaystyle d_n \leq 3^nが成り立つ。

実はこれだけを証明するなら次のように初等的に証明することができます(この証明でSylvester数列が活躍します)*3

系2の初等的証明

補題3 \ x \geq 1ならば、
\displaystyle [x]-\sum_{i=1}^{\infty}\left[ \frac{x}{s_i} \right] \geq 1
が成り立つ。ここで、[\cdot ]はGauss記号でs_iはSylvester数列の第i項である。

証明. s_k \leq x < s_{k+1}なるkをとる。一般に自然数mに対して、

\displaystyle \left[ \frac{x}{m}\right] = \left[ \frac{[x]}{m}\right]

が成り立つことに注意すると、

\displaystyle \sum_{i=1}^{\infty}\left[ \frac{x}{s_i}\right] = \sum_{i=1}^{k}\left[ \frac{x}{s_i}\right]= \sum_{i=1}^{k}\left[ \frac{[x]}{s_i}\right] \leq \sum_{i=1}^k\frac{[x]}{s_i} < [ x]

と評価できる。最後の不等号は命題1よりわかる。整数の差は1以上なので、

\displaystyle [ x]-\sum_{i=1}^{\infty}\left[ \frac{x}{s_i}\right] \geq 1

を得る。 Q.E.D.

補題4 \ n, iを自然数とする。このとき、
\displaystyle \frac{\left(\frac{n}{s_i}\right)^{\frac{n}{s_i}}}{\left[ \frac{n}{s_i} \right]^{\left[\frac{n}{s_i}\right]}} < \left( \frac{en}{s_i}\right)^{1-\frac{1}{s_i}}
が成り立つ。

証明. \frac{n}{s_i}-\left[ \frac{n}{s_i} \right] < 1であるが、\frac{n}{s_i}-\left[ \frac{n}{s_i} \right]  \in \frac{1}{s_i}\mathbb{Z}なので、\frac{n}{s_i}-\left[ \frac{n}{s_i} \right]  \leq 1-\frac{1}{s_i}が成り立つ。よって、

\displaystyle \left[ \frac{n}{s_i} \right] \geq \frac{n}{s_i}-\left( 1-\frac{1}{s_i} \right) = \frac{n}{s_i}\left( 1+\frac{s_i-1}{n-s_i+1}\right)^{-1}

なので、x \geq 1に対して成り立つ\left( 1+ \frac{1}{x} \right)^x < eを用いることにより、

\displaystyle \frac{\left(\frac{n}{s_i}\right)^{\frac{n}{s_i}}}{\left[ \frac{n}{s_i} \right]^{\left[\frac{n}{s_i}\right]}} \leq \left( \frac{n}{s_i} \right)^{1-\frac{1}{s_i}}\left( 1+\frac{s_i-1}{n-s_i+1} \right)^{\frac{n-s_i+1}{s_i-1}\frac{s_i-1}{s_i}} < \left( \frac{en}{s_i} \right)^{1-\frac{1}{s_i}}.
Q.E.D.

補題5 \ \ \ \displaystyle \sum_{i=1}^{\infty}\frac{\log s_i}{s_i} < 1.08241.

証明. s_nの漸化式よりs_{i+1} < s_i^2がわかるので、

\log s_{i+1} < 2\log s_i

が成り立つ。一方、i \geq 3ならば

\displaystyle s_i < \frac{1}{4}s_{i+1}

が成り立つことを数学的帰納法で示すことができる。よって、n\geq 3のとき

\displaystyle \frac{\log s_{i+1}}{s_{i+1}} < \frac{1}{2}\frac{\log s_i}{s_i}.

故に、

\displaystyle \sum_{i=6}^{\infty}\frac{\log s_i}{s_i} < \left( 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\cdots \right) \frac{\log s_6}{s_6} = 2\times \frac{\log 3263443}{32663443} < 10^{-5}

および

\displaystyle \sum_{i=1}^{\infty}\frac{\log s_i}{s_i} < \sum_{i=1}^5\frac{\log s_i}{s_i} + 10^{-5} < 1.08241

を得る。 Q.E.D.

\displaystyle a_n := \frac{n!}{\displaystyle \prod_{i=1}^k\left( \left[ \frac{n}{s_i} \right]!\right)}

とします。ただし、k=k(n)s_k \leq n < s_{k+1}なるkとします。

命題2 \ \ \ d_n \leq a_n.

証明. d_nの素因数分解は

\displaystyle d_n=\prod_{p \leq n}p^{[\log_pn]}

で与えられる。一方、Legendreの公式よりa_nの素因数分解は

\displaystyle a_n=\prod_{p \leq n}p^{e_p(n)},

\displaystyle e_p(n)=\sum_{m=1}^{[\log_pn]}\left( \left[ \frac{n}{p^m} \right] -\sum_{i=1}^k\left[ \frac{n/s_i}{p^m} \right] \right)

で与えられる。補題3においてx=n/p^mとすることによってe_p(n) \geq [\log_pn]

を得る。 Q.E.D.

Legendreの公式については
integers.hatenablog.com
に書いたことがあります。

命題2より、系2を証明するには次を示せばよいです:

命題3 十分大きいnに対してa_n < 3^nが成り立つ。

証明. \displaystyle \ell := \sum_{i=1}^k\left[ \frac{n}{s_i}\right]とおく。このとき、多項定理より

\displaystyle \ell^{\ell} > \frac{\ell!}{\displaystyle \prod_{i=1}^k\left( \left[ \frac{n}{s_i}\right]!\right)}\prod_{i=1}^k\left( \left[ \frac{n}{s_i}\right]^{\left[ \frac{n}{s_i}\right]}\right).

補題3より\displaystyle n \geq 1+\sum_{i=1}^{\infty}\left[\frac{n}{s_i}\right]=1+\ellであることから、

\displaystyle a_n = \frac{n(n-1)\cdots (\ell +1)\ell !}{\displaystyle \prod_{i=1}^k\left( \left[ \frac{n}{s_i}\right]!\right)} < \frac{n(n-1)\cdots (\ell +1)\ell^{\ell}}{\displaystyle \prod_{i=1}^k\left( \left[ \frac{n}{s_i}\right]^{\left[ \frac{n}{s_i}\right]}\right)} < \frac{n^n}{\displaystyle \prod_{i=1}^k\left( \left[ \frac{n}{s_i}\right]^{\left[ \frac{n}{s_i}\right]}\right)}

と評価できる。補題4より

\displaystyle a_n < n^n\frac{\displaystyle \prod_{i=1}^k\left(\frac{en}{s_i}\right)^{1-\frac{1}{s_i}}}{\displaystyle \prod_{i=1}^k\left( \frac{n}{s_i} \right)^{\frac{n}{s_i}}}

を得る。両辺の自然対数をとることにより

\begin{align}\log a_n &< n\log n+\sum_{i=1}^k\left( 1-\frac{1}{s_i}\right) \left( 1+\log \frac{n}{s_i} \right) - \sum_{i=1}^k\frac{n}{s_i}\log \frac{n}{s_i} \\ &< n\log n+k(1+\log n)-n\log n\sum_{i=1}^k\frac{1}{s_i} + n\sum_{i=1}^k\frac{\log s_i}{s_i}.\end{align}

補題2およびn < s_{k+1}より

\displaystyle \sum_{i=k+1}^{\infty}\frac{1}{s_i} = \frac{1}{s_{k+1}-1} \leq \frac{2}{s_{k+1}} < \frac{2}{n}

であり、補題1より(s_k < nに注意して)、n \geq 7ならば

k=k(n) < \log_2 \log_2 n+2.

従って、補題5と合わせて

\log a_n < 2\log n+2\log n\log_2\log_2 n + 1.08241n

を得る。すなわち、nが十分大きいとき、\log a_n < 1.08242nが成り立つ。 Q.E.D.

この証明は

D. Hanson, On the product of the primes, Canad. Math. Bull., 15, (1972), 33–37.

によるものです。最後の部分はeffectiveに計算可能なため、怠けずに計算することによって、命題3は「十分大きい」ではなく、全ての自然数nで成立することを示すことができます。

d_nの数値

d_1=1
d_2=2
d_3=6
d_4= 12
d_5= 60
d_6= 420
d_7= 840
d_8= 2520
d_9= 27720
d_{10}= 360360
d_{11}= 720720
d_{12}= 12252240
d_{13}= 232792560
d_{14}= 5354228880
d_{15}= 26771144400
d_{16}= 80313433200
d_{17}= 2329089562800
d_{18}= 72201776446800
d_{19}= 144403552893600
d_{20}= 5342931457063200
d_{21}= 219060189739591200
d_{22}= 9419588158802421600
d_{23}= 442720643463713815200
d_{24}= 3099044504245996706400
d_{25}= 164249358725037825439200
d_{26}= 9690712164777231700912800
d_{27}= 591133442051411133755680800
d_{28}= 1182266884102822267511361600
d_{29}= 79211881234889091923261227200
d_{30}= 5624043567677125526551547131200
d_{31}= 410555180440430163438262940577600
d_{32}= 32433859254793982911622772305630400
d_{33}= 97301577764381948734868316916891200
d_{34}= 8076030954443701744994070304101969600
d_{35}= 718766754945489455304472257065075294400
d_{36}= 69720375229712477164533808935312303556800
d_{37}= 7041757898200960193617914702466542659236800
d_{38}= 725301063514698899942645214354053893901390400
d_{39}= 77607213796072782293863037935883766647448772800
d_{40}= 8459186303771933270031071135011330564571916235200
d_{41}= 955888052326228459513511038256280353796626534577600
d_{42}= 10514768575588513054648621420819083891762891880353600
d_{43}= 52573842877942565273243107104095419458814459401768000
d_{44}= 6676878045498705789701874602220118271269436344024536000
d_{45}= 13353756090997411579403749204440236542538872688049072000
d_{46}= 1749342047920660916901891145781670987072592322134428432000
d_{47}= 239659860565130545615559086972088925228945148132416695184000
d_{48}= 33312720618553145840562713089120360606823375590405920630576000

\begin{align}d_{49} = &\ 4963595372164418730243844250278933730416682962970482173955824\\ &\ 000\end{align}

\begin{align}d_{50}= &\ 7495029011968272282668204817921189932929191274085428082673294\\ &\ 24000\end{align}

\begin{align}d_{51}= &\ 1176719554879018748378908156413626819469883030031412208979707\\ &\ 19568000\end{align}

\begin{align}d_{52}= &\ 1918052874452800559857620294954211715735909338951201900636922\\ &\ 7289584000\end{align}

\begin{align}d_{53}= &\ 3203148300336176934962225892573533565278968596048507174063660\\ &\ 957360528000\end{align}

\begin{align}d_{54}= &\ 4164092790437030015450893660345593634862659174863059326282759\\ &\ 2445686864000\end{align}

\begin{align}d_{55}= &\ 7203880527456061926730046032397876988312400372513092634469173\\ &\ 493103827472000\end{align}

\begin{align}d_{56}= &\ 1289494614414635084884678239799219980907919666679843581569982\\ &\ 055265585117488000\end{align}

\begin{align}d_{57}= &\ 2333985252090489503641267614036588165443334596690516882641667\\ &\ 52003070906265328000\end{align}

\begin{align}d_{58}= &\ 4457911831492834951954821142809883395996769079678887245845584\\ &\ 9632586543096677648000\end{align}

\begin{align}d_{59}= &\ 8603769834781171457272804805623074954273764323780252384481978\\ &\ 979089202817658786064000\end{align}

\begin{align}d_{60}= &\ 1694942657451890777082742546707745765991931571784709719742949\\ &\ 858880572955078780854608000\end{align}

\begin{align}d_{61}= &\ 3372935888329262646394657667948414074323943827851572342288470\\ &\ 21917234018060677390066992000\end{align}

\begin{align}d_{62}= &\ 7116894724374744183892727679371153696823521476766817642228672\\ &\ 1624536377810802929304135312000\end{align}

\begin{align}d_{63}= &\ 1587067523535567953008078272499767274391645289319000334216993\\ &\ 8922271612251809053234822174576000\end{align}

\begin{align}d_{64}= &\ 3602643278425739253328337678574471712869034806754130758672576\\ &\ 135355655981160655084304633628752000\end{align}

\begin{align}d_{65}= &\ 8250053107594942890121893283935540222470089707466959437360199\\ &\ 34996445219685790014305761100984208000\end{align}

\begin{align}d_{66}= &\ 1922262374069621693398401135156980871835530901839801548904926\\ &\ 44854171736186789073333242336529320464000\end{align}

\begin{align}d_{67}= &\ 4594207074026395847222178713025184283686918855397125701882774\\ &\ 2120147044948642588526644918430507590896000\end{align}

\begin{align}d_{68}= &\ 1107203904840361399180545069839069412368547444150707294153748\\ &\ 5850955437832622863834921425341752329405936000\end{align}

\begin{align}d_{69}= &\ 3321611714521084197541635209517208237105642332452121882461245\\ &\ 7552866313497868591504764276025256988217808000\end{align}

\begin{align}d_{70}= &\ 8337245403447921335829504375888192675135162254454825924977726\\ &\ 845769444687965016467695833282339504042669808000\end{align}

\begin{align}d_{71}= &\ 
1667449080689584267165900875177638535027032450890965184995545\\ &\ 3691538889375930032935391666564679008085339616000\end{align}

\begin{align}d_{72}= &\ 4285344137372231566616365249206531035019473398789780525438551\\ &\ 598725494569614018464395658307122505077932281312000\end{align}

\begin{align}d_{73}= &\ 1127045508128896902020104060541317662210121503881712278190339\\ &\ 070464805071808486856136058134773218835496189985056000\end{align}

\begin{align}d_{74}= &\ 3031752416866732666434079922856144511345226845441806028332012\\ &\ 09955032564316482964300599638253995866748475105980064000\end{align}

\begin{align}d_{75}= &\ 8216049049708845526036356590940151625745564751147294336779752\\ &\ 7897813824929766883325462501966832879888836753720597344000\end{align}

\begin{align}d_{76}= &\ 2275845586769350210712070775690422000331521436067800531287991\\ &\ 5227694429505545426681153113044812707729207780780605464288000\end{align}

\begin{align}d_{77}= &\ 6395126098821874092100918879690085820931575235350519492919256\\ &\ 1789821346910582648974040247655923708719073863993501354649280\\ &\ 00\end{align}

\begin{align}d_{78}= &\ 1809820685966590368064560042952294287323635791604197016496149\\ &\ 4986519441175694889659653390086626409567497903510160883365746\\ &\ 24000\end{align}

\begin{align}d_{79}= &\ 3076695166143203625709752073018900288450180845727134928043454\\ &\ 1477083049998681312421410763147264896264746435967273501721768\\ &\ 608000\end{align}

\begin{align}d_{80}= &\ 9014716836799586623329573573945377845159029877980505339167320\\ &\ 6527853336496136245394733536021486146055707057384111360044782\\ &\ 02144000\end{align}

\begin{align}d_{81}= &\ 2767518068897473093362179087201230998463822172540015139124367\\ &\ 4404050974304313827336183195558596246839102066616922187533748\\ &\ 08058208000\end{align}

\begin{align}d_{82}= &\ 8606981194271141320356376961195828405222486956599447082676782\\ &\ 7396598530086416003015529738187234327669607427178628003229956\\ &\ 5306102688000\end{align}

\begin{align}d_{83}= &\ 2693985113806867233271545988854294290834638417415626936877832\\ &\ 9975135339917048208943860808052604344560587124706910565010976\\ &\ 3940810141344000\end{align}

\begin{align}d_{84}= &\ 8539932810767769129470800784668112901945803783207537389902730\\ &\ 6021179027537042822352038761526755772257061185320906491084795\\ &\ 169236814806048000\end{align}

\begin{align}d_{85}= &\ 2826717760364131581854835059725145370544061052241694876057803\\ &\ 8293010258114761174198524830065356160617087252341220048549067\\ &\ 201017385700801888000\end{align}

\begin{align}d_{86}= &\ 9526038852427123430850794151273739898733485746054511732314798\\ &\ 9047444569846745157049028677320250261279584040389911563610356\\ &\ 46742858981170236256000\end{align}

\begin{align}d_{87}= &\ 6668227196698986401595555905891617929113440022238158212620359\\ &\ 2333211198892721609934320074124175182895708828272938094527249\\ &\ 527200012868191653792000\end{align}

\begin{align}d_{88}= &\ 2313874837254548281353657899344391421402363687716640899779264\\ &\ 6539624286015774398647209065721088788464810963410709518800955\\ &\ 585938404465262503865824000\end{align}

\begin{align}d_{89}= &\ 8075423182018373501924266068711926060694249270131076740229633\\ &\ 6423288758195052651278759639366599871742190262303376220615334\\ &\ 99492503158376613849172576000\end{align}

\begin{align}d_{90}= &\ 2850624383252485846179265922255309899425069992356270089301060\\ &\ 6757420931642853585901402152696409754724993162593091805877213\\ &\ 25320853614906944688757919328000\end{align}

\begin{align}d_{91}= &\ 1023374153587642418778356466089656253893600127255900962059080\\ &\ 7825914114459784437338603372818011101946272545370919958309919\\ &\ 55790186447751593143264093038752000\end{align}

\begin{align}d_{92}= &\ 1944410891816520595678877285570346882397840241786211827912253\\ &\ 4869236817473590430943346408354221093697917836204747920788847\\ &\ 160013542507280269722017767736288000\end{align}

\begin{align}d_{93}= &\ 7135987972966630586141479638043173058400073687355397408437970\\ &\ 2970099120128076881562081318659991413871358458871424869295069\\ &\ 07724970100171858987980520759217696000\end{align}

\begin{align}d_{94}= &\ 2661723513916553208630771904990103550783227485383563233347362\\ &\ 9207846971807772676822656331860176797374016705159041476247060\\ &\ 76581413847364103402516734243188200608000\end{align}

\begin{align}d_{95}= &\ 1008793211774373666071062551991249245746843216960370465438650\\ &\ 5469774002315145844515786749775007006204752331255276719497636\\ &\ 03024355848150995189553842278168328030432000\end{align}

\begin{align}d_{96}= &\ 3863678001095851141052169574126484611210409520958218882630031\\ &\ 5949234428867008584495463251638276833764201428707709835675945\\ &\ 9958328289841831157599121592538469635655456000\end{align}

\begin{align}d_{97}= &\ 1502970742426286093869293964335202513760849303652747145343082\\ &\ 2904252192829266339368735204887289688334274355767299126077942\\ &\ 9923789704748472320306058299497464688269972384000\end{align}

\begin{align}d_{98}= &\ 5966793847432355792661097038410753979630571735501406167012036\\ &\ 6929881205532187367293878763402540062687069192396177530529433\\ &\ 679744512785143511161505144900493481243179036448000\end{align}

\begin{align}d_{99}= &\ 2392684332820374672857099912402712345831859265936063872971826\\ &\ 7138882363418407134284845384124418565137514746150867189742302\\ &\ 905577549626842547975763563105097885978514793615648000\end{align}

\begin{align}d_{100}= &\ 978607892123533241198553864172709349445230439767850124045477\\ &\ 125980288663812851792250176210688719314124353117570468060460\\ &\ 1888381217797378602122087297309985035365212550588800032000\end{align}

Sylvester数列の数値

s_1=2
s_2=3
s_3=7
s_4=43
s_5=1807
s_6=3263443
s_7=10650056950807
s_8=113423713055421844361000443
s_9=12864938683278671740537145998360961546653259485195807

\begin{align}s_{10}=&\ 1655066473245199641984681954444391800175131527063774978418513\\
&\ 88766535868639572406808911988131737645185443\end{align}

\begin{align}s_{11}=&\ 2739245030860303142341023429167468628119436436758091462794736\\
&\ 7941608692026226993634332118404582438634929548737283992369758\\
&\ 4879743063177305807538834294603449564100770347613304760167394\\
&\ 54649828385541500213920807\end{align}

\begin{align}s_{12}=&\ 7503463339092863114642183483642930173847241400737323631766843\\
&\ 9176837423823720023320372427483981973622749306010738694206952\\
&\ 1875902258281351952761393460726027774387698896086030486687796\\
&\ 2756619501998354844183841030968994995246660070732987978529321\\
&\ 2787692398334049744823196004883309419542523184647878503560233\\
&\ 9261149953564729371337917773386670133413581537490788020231265\\
&\ 093210310224397095644371148893261284201611453610443\end{align}

\begin{align}s_{13}=&\ 5630196208111061887353457930291311276451264562015083283959347\\
&\ 0994871336987501742839861652651535080197890128084842923602378\\
&\ 0360625686785326318172135941491985234945009397938528773976977\\ 
&\ 8873566303279177214196667515915598834558280276433297409303205\\ 
&\ 4808983657515658107088006684729472235325511964834127140272316\\
&\ 7206816552066010592134725124376810874159292118224274440907862\\
&\ 9963440673250251517515066473396849594794383541929894704704886\\
&\ 2117274598008643580151957558166403870364180197445335486423812\\
&\ 3148678312993828328158261237284571445163949954735321181426755\\
&\ 4855638608049357550999280855087856376064522070079846386106041\\
&\ 1371873872780416924021304148864514215566470660001932980918612\\
&\ 1988322464207409749450811638629159492106903853533242008723387\\
&\ 1183977949805758783571562851112587338624315221783284414699801\\
&\ 10808406224908967784943255608168545045807\end{align}

*1:当ブログでは既に素数定理を証明しています。カテゴリー欄の『素数定理』を参照してください。

*2:素数定理の最大公倍数のみを用いた表示!

*3:なので、この系しか使わないのに「我々は素数定理を用いて~を証明する」と宣言している論文には注意した方がよいです。