グリーン・タオ論文の§7を読む（その一）

等間隔に並ぶ素数を追い求めて

§7 Generalized Bohr sets and $\sigma$ -algebras を二記事に分けて読みます。最初は $\mathbb{Z}_N$ 上の $\sigma$ -加法族に関する基本用語が述べられていて、Tao(2006) §6(その一)の内容と重複しています。ので、全部省略できますが、前の記事で述べていなかった点を補足しておきます。

$\mathcal{B}$ を $\mathbb{Z}_N$ 上の $\sigma$ -加法族とします。

可測関数について

$f \in \mathrm{Map}(\mathbb{Z}_N, \mathbb{R})$ が $\mathcal{B}$ -可測であることを $f$ が $\mathcal{B}$ のアトム上で定数関数であることと定義したが、これは通常の測度論における $\mathcal{B}$ -可測関数の定義と一致する。

理由: $\mathbb{Z}_N$ が有限集合であることから、通常の意味での $\mathcal{B}$ -可測関数の定義は任意の $x \in \mathbb{R}$ に対して $f^{-1}(\{x\}) \in \mathcal{B}$ が成り立つことと同値である。これが成り立つと仮定して、 $\mathcal{B}$ のアトム $A$ を任意にとる。 $a_0 \in A$ を一つとって、 $f(a_0)=x$ であったとすると、 $a_0 \in f^{-1}(\{x\})$ かつ $f^{-1}(\{x\}) \in \mathcal{B}$ なので、 $A \subset f^{-1}(\{x\})$ である。よって、任意の $a \in A$ に対して $f(a) = x$ が成り立つ。逆に、 $f$ が $\mathcal{B}$ の任意のアトム上で定数関数であると仮定する。 $f^{-1}(\{x\}) \neq \emptyset$ なる $x \in \mathbb{R}$ を任意に考える。このとき、仮定より任意の $a \in f^{-1}(\{x\})$ に対して $\mathcal{B}(a) \subset f^{-1}(\{x\})$ が成り立つ。ここで、 $\mathcal{B}(a)$ は $a$ を含む $\mathcal{B}$ のアトム。よって、

$\displaystyle f^{-1}(\{x\}) = \bigcup_{a \in f^{-1}(\{x\})}\mathcal{B}(a)$

が成り立ち、これは $f^{-1}(\{x\}) \in \mathcal{B}$ を意味する。

$L^q(\mathcal{B}) \subset L^q(\mathbb{Z}_N)$ を $\mathcal{B}$ -可測関数全体からなる部分空間で $L^q$ -ノルムを付随させたBanach空間とします。 $L^q(\mathcal{B})$ は集合としては $q$ に依りません。

条件付き期待値作用素について

条件付き期待値作用素をHilbert空間の直交射影 $\left.\mathbb{E}( \cdot \right| \mathcal{B}) \colon L^2(\mathbb{Z}_N) \to L^2(\mathcal{B})$ として定義する(任意の関数 $f \in \mathrm{Map}(\mathbb{Z}_N, \mathbb{R})$ に対して $\mathcal{B}$ -可測関数 $\left.\mathbb{E}(f \right| \mathcal{B})$ が定義されている)。これは、以前定義したものと同じである。すなわち、 $x \in \mathbb{Z}_N$ に対して

$\left.\mathbb{E}(f \right| \mathcal{B})(x) := \left.\mathbb{E}(f(y)\right| y \in \mathcal{B}(x)).$

理由: $\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B})=0$ となることと $f \in L^2(\mathcal{B})^{\perp}$ は同値である*1。理由: $\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B})=0$ と仮定して、 $g \in L^2(\mathcal{B})$ を任意にとる。このとき、

$\langle g, f\rangle=\langle \left.\mathbb{E}(g\right|\mathcal{B}), f\rangle = \langle g, \left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B})\rangle = 0$

なので、 $f \in L^2(\mathcal{B})^{\perp}$ が成り立つ。逆に、 $f \in L^2(\mathcal{B})^{\perp}$ とする。このとき、 $\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}) \in L^2(\mathcal{B})$ より

$\displaystyle \langle \left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}), \left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B})\rangle = \langle \left.\mathbb{E}( \left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B})\right|\mathcal{B}), f\rangle = \langle \left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B}), f\rangle = 0$

なので、 $\left.\mathbb{E}(f\right|\mathcal{B})=0$ が成り立つ。よって、Tao(2006) §6(その一)の補題２より二つの定義が一致することがわかる。

$\sigma$ -加法族 $\mathcal{B}_1, \dots, \mathcal{B}_K$ に対して、これが生成する $\sigma$ -加法族

$\displaystyle \bigvee_{j=1}^K\mathcal{B}_j=\mathcal{B}_1\vee \cdots \vee \mathcal{B}_K$

の記号を以前と同様に用います。ただし、 $K=0$ のときは便宜的に自明な $\sigma$ -加法族 $\bigvee_{j=1}^K\mathcal{B}_j:=\{\emptyset, \mathbb{Z}_N\}$ とします。

Tao(2006) §6で一様概周期関数達から $\sigma$ -加法族を作ったように、この節では基本Gowers反一様関数達に付随する $\sigma$ -加法族を作ります。まずは任意の関数に対して或る $\sigma$ -加法族を付随させることから始めます。

命題 (Proposition 7.2) $\nu$ を $k$ -擬ランダム測度とし、 $0 < \varepsilon < 1, \$ $0 < \eta < 1/2$ をパラメータとする。
また、 $G \in L^{\infty}(\mathbb{Z}_N)$ を $I:=[-2^{2^{k-1}}, 2^{2^{k-1}}]$ -値関数とする。このとき、 $\sigma$ -加法族 $\mathcal{B}_{\varepsilon, \eta}(G)$ が存在して以下の性質が成り立つ：
(i) 任意の $\sigma$ -加法族 $\mathcal{B}$ に対して

$\displaystyle \left\|G-\left.\mathbb{E}(G\right|\mathcal{B}\vee \mathcal{B}_{\varepsilon, \eta}(G) )\right\|_{L^{\infty}} \leq \varepsilon$

が成り立つ。
(ii) $\mathcal{B}_{\varepsilon, \eta}(G)$ のアトムの個数は高々 $O(1/\varepsilon)$ である。
(iii) $\mathcal{B}_{\varepsilon, \eta}(G)$ の任意のアトム $A$ に対して、連続関数 $\Psi_A\colon I \to [0, 1]$ が存在して

$\displaystyle \left\|(\mathbf{1}_A-\Psi_A\circ G)(\nu+1)\right\|_{L^1} = O_{\varepsilon}(\eta)$

が成り立つ。更に、或る( $G, \nu, N, A$ に依存しない)コンパクト集合 $E=E_{\varepsilon, \eta} \subset C^0(I)$ が存在して、 $\Psi_A \in E$ が成り立つ。

証明. まず、次の主張を証明する。

主張或る $0 \leq \alpha \leq 1$ が存在して、任意の整数 $n$ に対して

$\displaystyle \left.\mathbb{E}\left( \mathbf{1}_{G(x) \in [\varepsilon (n-\eta+\alpha), \varepsilon(n+\eta+\alpha)]}\cdot (\nu(x)+1)\right| x \in \mathbb{Z}_N\right) = O_{\varepsilon}(\eta)$

が成立する。

主張の証明: $x \in \mathbb{Z}_N$ と $0 \leq \alpha \leq 1$ を固定したとき、

$\displaystyle G(x) \in [\varepsilon(n-\eta+\alpha), \varepsilon(n+\eta+\alpha)]$ −①

となるのは

$\displaystyle \frac{G(x)}{\varepsilon}-n-\eta \leq \alpha \leq \frac{G(x)}{\varepsilon}-n+\eta$

のときなので、

$\displaystyle 0 \leq \int_0^1\mathbf{1}_{G(x) \in [\varepsilon(n-\eta+\alpha), \varepsilon(n+\eta+\alpha)]} \ d\alpha \leq 2\eta$

である。また、 $G$ が $I$ -値関数であることから、 $n, x$ を動かしたときに①が成り立つような $n$ の個数は高々 $O_{\varepsilon}(1)$ 個である。これらに注意すると、

$\begin{align} &\int_0^1\sum_{n \in \mathbb{Z}}\left.\mathbb{E}\left(\mathbf{1}_{G(x) \in [\varepsilon(n-\eta+\alpha), \varepsilon(n+\eta+\alpha)]} \ (\nu(x)+1) \ \right| x \in \mathbb{Z}_N\right)d\alpha \\ &= \sum_{n \in \mathbb{Z}}\left.\mathbb{E}\left(\int_0^1\mathbf{1}_{G(x) \in [\varepsilon(n-\eta+\alpha), \varepsilon(n+\eta+\alpha)]} \ d\alpha \times (\nu(x)+1) \ \right| \ x \in \mathbb{Z}_N\right) \\ &\leq O_{\varepsilon}\left(\eta\left.\mathbb{E}( (\nu(x)+1)\right| x \in \mathbb{Z}_N)\right) = O_{\varepsilon}(\eta)\end{align}$

が得られる。ここで、 $\nu$ が測度であることを使った。よって、Markovの不等式により或る $0 \leq \alpha \leq 1$ が存在して

$\displaystyle \sum_{n \in \mathbb{Z}}\left.\mathbb{E}\left(\mathbf{1}_{G(x) \in [\varepsilon(n-\eta+\alpha), \varepsilon(n+\eta+\alpha)]} \ (\nu(x)+1) \ \right| x \in \mathbb{Z}_N\right) = O_{\varepsilon}(\eta)$

が成り立つことがわかり*2、この $\alpha$ に対して主張が成立する。

主張により存在する $\alpha$ をとって固定する。このとき、 $\mathcal{B}_{\varepsilon, \eta}(G)$ を

$\displaystyle \left\{G^{-1}\left([\varepsilon(n+\alpha), \varepsilon(n+1+\alpha) )\right) \big| \ n \in \mathbb{Z}\right\}$

がアトムの集合となるように定義する。well-defined性:

$\displaystyle \bigsqcup_{n \in \mathbb{Z}}[\varepsilon(n+\alpha), \varepsilon(n+1+\alpha) ) = \mathbb{R}$

であり、異なる $n$ に対するアトム候補の集合は共通部分を持たないので、この集合は $\mathbb{Z}_N$ の分割を与えている。

$\mathcal{B}_{\varepsilon, \eta}(G)$ のアトムの個数は

$\displaystyle \#\bigl\{n \in \mathbb{Z} \ \big| \ [n+\alpha, n+1+\alpha) \subset \frac{1}{\varepsilon}I\bigr\}$

で押さえられるので、 $O(1/\varepsilon)$ 個である。次に、 $\mathcal{B}$ を任意の $\sigma$ -加法族として

$\displaystyle \left\|G-\left.\mathbb{E}(G\right|\mathcal{B}\vee \mathcal{B}_{\varepsilon, \eta}(G) )\right\|_{L^{\infty}} \leq \varepsilon$

が成り立つことを示す。そのためには、任意の $x \in \mathbb{Z}_N$ に対して

$\displaystyle \left|G(x)-\left.\mathbb{E}(G\right|\mathcal{B}\vee \mathcal{B}_{\varepsilon, \eta}(G) )(x)\right| \leq \varepsilon$ 　−②

が成り立つとこを言えばよい。 $x \in \mathbb{Z}_N$ を固定する。

$\displaystyle \left.\mathbb{E}(G\right|\mathcal{B}\vee \mathcal{B}_{\varepsilon, \eta}(G) )(x) = \mathbb{E}\left( \left.G(y)\right| y\in (\mathcal{B}\vee \mathcal{B}_{\varepsilon, \eta}(G) )(x)\right)$

であるが、或る $n \in \mathbb{Z}$ が存在して

$\displaystyle (\mathcal{B}\vee \mathcal{B}_{\varepsilon, \eta}(G) )(x) \subset \mathcal{B}_{\varepsilon, \eta}(x) = G^{-1}\left([\varepsilon(n+\alpha), \varepsilon(n+1+\alpha) )\right)$

なので、 $y\in (\mathcal{B}\vee \mathcal{B}_{\varepsilon, \eta}(G) )(x)$ に対して $\left|\delta_y\right| \leq 1$ なる $\delta_y$ が存在して

$G(y) = G(x)+\varepsilon \delta_y$

が成り立つ。よって、 $(\mathcal{B}\vee \mathcal{B}_{\varepsilon, \eta}(G) )(x)$ の全ての元が $y_1, \dots, y_m$ であったとすると

$\displaystyle \left.\mathbb{E}(G\right|\mathcal{B}\vee \mathcal{B}_{\varepsilon, \eta}(G) )(x) -G(x) = \frac{\varepsilon(\delta_{y_1}+\cdots +\delta_{y_m})}{m}$

であり、

$\displaystyle \left|\frac{\delta_{y_1}+\cdots+\delta_{y_m}}{m}\right| \leq 1$

であるから②が成立する。以上で性質(i), (ii)が示されたので、最後に性質(iii)が成り立つことを証明する。まず、関数 $\psi_{\eta} \colon \mathbb{R} \to [0, 1]$ を $[\eta, 1-\eta]$ では $1$ 、 $[-\eta, 1+\eta]$ の外では $0$ であり、残りの区間は直線で結んだグラフとなるような連続関数とする。

$\mathcal{B}_{\varepsilon, \eta}(G)$ のアトム

$\displaystyle A=G^{-1}\left([\varepsilon(n+\alpha), \varepsilon(n+1+\alpha) )\right)$

を任意にとる。このとき、連続関数 $\Psi_A \colon I \to [0, 1]$ を

$\displaystyle \Psi_A(x) := \psi_{\eta}\left(\frac{x}{\varepsilon}-n-\alpha\right)$

によって定義する。

$\displaystyle \left\|(\mathbf{1}_A-\Psi_A\circ G)(\nu+1)\right\|_{L^1} = O_{\varepsilon}(\eta),$

すなわち、

$\displaystyle \mathbb{E}\left(\left|(\mathbf{1}_A-\Psi_A\circ G)(\nu+1)\right|\right) = O_{\varepsilon}(\eta)$

を示す。 $x \in \mathbb{Z}_N$ に対して

$\mathbf{1}_A(x) = 1 \Longleftrightarrow \varepsilon(n+\alpha) \leq G(x) < \varepsilon(n+1+\alpha)$

$\displaystyle \Psi_A(G(x) )=1 \Longleftrightarrow \varepsilon(n+\eta+\alpha) \leq G(x) \leq \varepsilon (n+1-\eta+\alpha)$

$\displaystyle \Psi_A(G(x) )=0 \Longleftrightarrow G(x) \leq \varepsilon (n-\eta+\alpha) \ \text{or} \ \varepsilon(n+1+\eta+\alpha) \leq G(x)$

なので、

$\displaystyle (-\infty, \varepsilon(n-\eta+\alpha)] \cup [\varepsilon(n+\eta+\alpha), \varepsilon(n+1-\eta+\alpha)] \cup [\varepsilon(n+1+\eta+\alpha), \infty)$

上では $(\mathbf{1}_A-\Psi_A\circ G)(x)=0$ である。その他の区間では

$\displaystyle \left|(\mathbf{1}_A-\Psi_A\circ G)(x)\right| \leq 1$

なので、以上の考察により

$\begin{align} \mathbb{E}\left(\left|(\mathbf{1}_A-\Psi_A\circ G)(\nu+1)\right|\right) \leq & \ \left.\mathbb{E}\left( \mathbf{1}_{G(x) \in [\varepsilon (n-\eta+\alpha), \varepsilon(n+\eta+\alpha)]}\cdot (\nu(x)+1)\right| x \in \mathbb{Z}_N\right) \\ &+\left.\mathbb{E}\left( \mathbf{1}_{G(x) \in [\varepsilon (n+1-\eta+\alpha), \varepsilon(n+1+\eta+\alpha)]}\cdot (\nu(x)+1)\right| x \in \mathbb{Z}_N\right) \end{align}$

がわかった。主張により、これは $O_{\varepsilon}(\eta)$ である。後は、 $\Psi_A$ が $A$ の取り方に依らずに或るコンパクト集合 $E_{\varepsilon, \eta} \subset C^0(I)$ に属すことを示す。任意のアトム $A$ に対して、 $\Psi_A$ は集合

$\displaystyle \left\{\psi_{\eta}\left(\frac{x}{\varepsilon}+y\right) \ \bigg| \ y \in \mathbb{\mathbb{R}}\right\}$

に属している*3。これは $\varepsilon, \eta$ のみから決まる集合であり、閉包を取れば $C^0(I)$ の部分集合としてコンパクトである(理由は脚注で述べる*4 )。 Q.E.D.

*1:条件付き期待作用素の定義がどちらであっても成立する(どちらの定義であっても冪等な自己随伴線形写像で、証明で使う性質は共通している)。

*2:cf. タオのセメレディ論文の§6を読む (その二) - INTEGERS

*3: $\psi_{\eta}\left(\frac{x}{\varepsilon}+y\right)$ は値ではなく関数を表しているものとする。 $y=f(x)$ のような感じ。ただし、定義域は $I$ とする。

*4:コンパクトであることはAscoli-Arzeláの定理よりわかる。

Ascoli-Arzeláの定理 $X$ をコンパクト位相空間とし、 $n$ を正整数とする。このとき、連続関数のなす完備距離空間 $C(X, \mathbb{R}^n)$ の部分集合が相対コンパクトであるための必要十分条件はその集合が点毎に有界で同程度連続であることである。

相対コンパクトは閉包を取ればコンパクトになること。 $F \subset C(X, \mathbb{R}^n)$ が点毎に有界であるとは、任意の $x \in X$ に対して $\{f(x) \mid f \in F\}$ が有界であること。 $F$ が同程度連続であるとは、任意の $\varepsilon > 0$ に対して点 $x \in X$ 毎に開近傍 $U_x \subset X$ が存在して、 $y \in U_x$ であれば、任意の $f \in F$ に対して $\left|f(x)-f(y)\right| < \varepsilon$ が成り立つこと。