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数、特に整数に関する記事。

タオのセメレディ論文の§6を読む (その三)

前の記事では一様概周期関数に対して良い\mathbb{Z}_N上の\sigma-加法族が存在することを示しましたが、この記事では複数の一様概周期関数によって生成される\mathbb{Z}_N上の\sigma-加法族について議論します。

定義 (Definition 6.4) 整数 d \geq 0に対して、\mathbb{Z}_N上の\sigma-加法族\mathcal{B}d-コンパクトであるとは

  1. \displaystyle X \geq 0, \ 0 \leq r \leq X \quad (X , \ r \in \mathbb{Z}),
  2. \displaystyle \frac{1}{X+1} \leq \varepsilon_1, \dots, \varepsilon_r \leq 1,
  3. G_1, \dots, G_r \in UAP^{d} \quad \left(\left\|G_j\right\|_{UAP^d}\leq X \ (1 \leq j \leq r)\right)

が存在して、

\displaystyle \mathcal{B}=\mathcal{B}_{\varepsilon_1}(G_1)\vee \cdots \vee \mathcal{B}_{\varepsilon_r}(G_r)

と書けるときにいう(r=0の場合は\mathcal{B}=\{\emptyset, \mathbb{Z}_N\})。また、d-コンパクトな\mathbb{Z}_N上の\sigma-加法族\mathcal{B}の(d-)複雑度を上記定義によって存在するXの最小値とする。

d-コンパクトでない\sigma-加法族のd-複雑度は\inftyと定義します。

補題 nを正の整数とする。1 \leq j \leq nに対する実数 0 \leq a_j, b_j \leq 1に対して、不等式
\displaystyle \left| \prod_{j=1}^na_j-\prod_{j=1}^nb_j \right| \leq \sum_{j=1}^n\left|a_j-b_j\right|
が成立する。

証明. n=2のときを示せば十分(一般の場合は帰納法)*1。 三角不等式と\left|b_1\right|, \left|a_2\right| \leq 1より

\begin{align} \left|a_1a_2-b_1b_2\right| &= \left|\det\begin{pmatrix}a_1 & b_1 \\ b_2 & a_2\end{pmatrix}\right|= \left|\det\begin{pmatrix}a_1-b_1 & b_1 \\ b_2-a_2 & a_2\end{pmatrix}\right| \\ &\leq \left|a_1-b_1\right| \left|a_2\right|+\left|b_1\right|\left|a_2-b_2\right| \leq \left|a_1-b_1\right|+\left|a_2-b_2\right|\end{align}

と評価できる。 Q.E.D.

コンパクトな\sigma-加法族上可測な関数であれば、一様概周期関数による良い近似が存在します:

命題 (コンパクト\sigma-加法族における一様概周期関数の稠密性, Proposition 6.6) d \geq 0, \ X \geq 0を整数、0 < \delta \leq 1を実数とする。\mathcal{B}を複雑度が高々Xd-コンパクトな\mathbb{Z}_N上の\sigma-加法族とし、fを非負値有界\mathcal{B}-可測関数とする。このとき、非負値有界関数 f_{UAP} \in UAP^dが存在して、
\displaystyle \left\|f-f_{UAP}\right\|_{L^2} \leq \delta
かつ
\displaystyle \left\|f_{UAP}\right\|_{UAP^d} \ll_{\delta, X} 1
が成り立つ。

証明. \mathcal{B}に対して定義によって存在するデータ1. 2. 3. をとり、\mathcal{B}のアトムからなる集合を\mathrm{Atom}(\mathcal{B})とする。複雑度0の場合は自明なので、r \geq 1としてよい。このとき、§6を読む(その一)の補題4及び§6を読む(その二)の命題により

\displaystyle \#\mathrm{Atom}(\mathcal{B}) \leq \prod_{j=1}^r\#\mathrm{Atom}\left(\mathcal{B}_{\varepsilon_j}(G_j)\right) = \prod_{j=1}^rO_{X, \varepsilon_j}(1) = O_X(1)

である。これに注意すれば、§6を読む(その二)の命題の証明と全く同じ理由で f=\mathbf{1}_A(A\mathcal{B}のアトム)の場合に帰着される。A \in \mathrm{Atom}(\mathcal{B})を固定すると、§6を読む(その一)の補題4より \mathcal{B}_{\varepsilon_j}(G_j)のアトム A_jが存在して

A=A_1 \cap \cdots \cap A_r −①

と書ける。また、§6を読む(その二)の命題によって、各1 \leq j \leq rに対して非負値有界関数 f_{UAP}^{(j)} \in UAP^dが存在して

\displaystyle \left\|\mathbf{1}_{A_j}-f_{UAP}^{(j)}\right\|_{L^2} \leq \frac{\delta}{r}, \quad \left\|f_{UAP}^{(j)}\right\|_{UAP^d} = O_{\frac{\delta}{r}, \varepsilon_j, X}(1) = O_{\delta, X}(1)

が成り立つ。そこで、\displaystyle f_{UAP}:=\prod_{j=1}^rf_{UAP}^{(j)} としよう。これは明らかに非負値有界関数。UAP^dの積閉性よりf_{UAP} \in UAP^dであり

\displaystyle \left\|f_{UAP}\right\|_{UAP^d} \leq O_{\delta, X}(1)^r = O_{\delta, X}(1)

が成立する。補題より

\displaystyle \left|\prod_{j=1}^r\mathbf{1}_{A_j}-\prod_{j=1}^rf_{UAP}^{(j)}\right| \leq \sum_{j=1}^r\left|\mathbf{1}_{A_j}-f_{UAP}^{(j)}\right|

という評価が成り立つので、①とL^2-ノルムの定義・三角不等式より

\begin{align} \left\|\mathbf{1}_{A}-f_{UAP}\right\|_{L^2} &= \left\|\prod_{j=1}^r\mathbf{1}_{A_j}-\prod_{j=1}^rf_{UAP}^{(j)}\right\|_{L^2} \leq \left\|\sum_{j=1}^r\left|\mathbf{1}_{A_j}-f_{UAP}^{(j)}\right|\right\|_{L^2} \\ &\leq \sum_{j=1}^r\left\|\mathbf{1}_{A_j}-f_{UAP}^{(j)}\right\|_{L^2} \leq r\times \frac{\delta}{r} = \delta\end{align}

が得られ、証明が完了する。 Q.E.D.

*1:ここに紹介する証明は松森先生によります。私は最初次のように証明していました:a_1 \geq b_1, \ a_2 \geq b_2のとき。 a_1a_2 \geq b_1b_2に注意する。0 \geq a_1-1 \geq b_1-1 及び 0 \geq a_2-1 \geq b_2-1 なので

(a_1-1)(a_2-1) \leq (b_1-1)(b_2-1)
であり、
a_1a_2-b_1b_2 \leq (a_1-b_1)+(a_2-b_2)
が示された。 a_1 \geq b_1, \ a_2 \leq b_2のとき。 a_1+1 \geq b_1+1 > 0 及び a_2 -1 \leq b_2-1 \leq 0 なので
(a_1+1)(a_2-1) \leq (b_1+1)(b_2-1)
であり、
a_1a_2-b_1b_2 \leq (a_1-b_1)+(b_2-a_2).
また、 0 \geq a_1-1 \geq b_1-1 及び 0< a_2 +1 \leq b_2+1 なので
(a_1-1)(a_2+1) \geq (b_1-1)(b_2+1)
であり、
b_1b_2-a_1a_2 \leq (a_1-b_1)+(b_2-a_2).
つまり、
\displaystyle \left|a_1a_2-b_1b_2\right| \leq (a_1-b_1)+(b_2-a_2)
が示された。残り二つのケースはこの二つのケースから従う。