の定義については高校の数学の教科書等を参照してください。
しかしながら、
という表示も大切です。
第一証明
正整数を用いてと書けたと仮定する。このとき、
とすれば、仮定よりなので、
となってが従う。これはに矛盾。 Q.E.D.
追記)
とした後に、と合わせることによって、がいえて即矛盾する。
第三証明
非負整数に対して
とおく。に対して
より、
がわかる。また、部分積分により
が成り立つ。これとから整数が存在して
と表示されることが帰納的にわかる。(2)の両辺をで割ることによって、(1)より
なるが存在する。さて、なる整数が存在したと仮定すると、(3)、(4)より
が成り立つ。は整数なので、を十分大きくとると矛盾が生じる。 Q.E.D.
第四証明
証明. (5)は明らか。またはのときは である。のときは、を
と展開するとであることから
がわかる。であることから もわかる。 Q.E.D.
証明. とするとき、
が成り立つので、が無理数であることを示せば十分である。と仮定しよう。を固定して補題の を考える。
とおく。このとき、
なので、
(6)よりこれは整数である。一方、(5)より
が成り立つ。は任意であったので、十分大きいを考えることにより階乗とガンマ関数 - INTEGERSで解説した極限公式によって矛盾が生じる。 Q.E.D.
第五証明(by Sondow)
とし、閉区間を次のように帰納的に定義する:
とすると、
であって両方に収束する。すなわち、区間縮小法による確定実数はである:
さて、が有理数であったと仮定しよう。すると、が存在して
と書ける。一方、ある整数が存在して
と書けるので、であることからはの端点のいずれかに一致せざるを得ない。これは(7)に反する。 Q.E.D.